Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

29.6. Ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëü ñ ïåðåìåííûìè çàðÿäàìè

Ðàññìîòðèì ýëåêòðè÷åñêóþ êîëåáàòåëüíóþ ñèñòåìó, îáðàçîâàííóþ äâóìÿ ìàëû-
ìè ìåòàëëè÷åñêèìè ñôåðàìè, ñîåäèíåííûìè ïðîâîäíèêîì äëèíîé

l

. Ïðåäïîëî-

æèì, ÷òî âñÿ åìêîñòü òàêîãî âèáðàòîðà åñòü
åìêîñòü ìåæäó ñôåðàìè è ÷òî ñîåäèíèòåëü-
íûé ïðîâîäíèê îáëàäàåò òîëüêî èíäóêòèâíî-
ñòüþ. Ïðè âîçíèêíîâåíèè êîëåáàíèé â òàêîé
ñèñòåìå ïåðåìåííûé òîê

i

â ïðîâîäíèêå â êàæ-

äûé ìîìåíò âðåìåíè èìååò îäíî è òî æå çíà÷å-
íèå âäîëü âñåãî ïðîâîäíèêà.

Òàêîé âèáðàòîð íà ðàññòîÿíèÿõ

r

îò íåãî,

íàìíîãî ïðåâûøàþùèõ

l

, ìîæíî ðàññìàòðè-

âàòü êàê äèïîëü ñ ïåðåìåííûì ýëåêòðè÷åñêèì
ìîìåíòîì

ql

. Ïîìåñòèì äèïîëü â íà÷àëå êîîð-

äèíàò è íàïðàâèì åãî îñü ïî îñè

OZ

(ðèñ. 29.11).

Çàïàçäûâàþùèé âåêòîðíûé ïîòåíöèàë

A

â òî÷êå, óäàëåííîé íà ðàññòîÿíèå

r

îò âèáðàòîðà, ðàâåí

A

l

l

=

-

=

-

ò

m

p

m

p

4

4

i t

r v d
r

i t

r v

r

l

(

)

(

)

.

Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ó÷åñòü, ÷òî ïðè

r

>>

l

âåëè÷èíó 1/

r

,

à òàêæå, â ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåîòìå÷åííûì ïîëîæåíèåì îá îäèíàêîâîñòè òîêà
âäîëü ïðîâîäíèêà, è âåëè÷èíó

i

(

t

–

r

/

v

) ìîæíî âûíåñòè çà çíàê èíòåãðàëà.

Çàïàçäûâàþùèé ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë â òîé æå òî÷êå ðàâåí

U

q t

r v

r

q t

r v

r

=

-

-

-

é
ëê

ù
ûú

1

4

pe

(

)

(

)

.

'

'

"

"

Ïðè

r

>>

l

èìååì

r

r

' r l

" r l

» -

» +

2

2

cos ;

cos

j

j.

Ðàçëàãàÿ ýòè âûðàæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîé âåëè÷èíû

l

2

cos

j

è îãðàíè-

÷èâàÿñü äâóìÿ ïåðâûìè ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ, ïîëó÷àåì

q t

r v

r

q t

r v

r

l

r

q t

r v

r

q t

r

(

)

(

)

cos

(

)

;

(

-

=

-

-

-

é
ëê

ù
ûú

-

'

'

"

2

j ¶

¶

v

r

q t

r v

r

l

r

q t

r v

r

)

(

)

cos

(

)

.

"

=

-

+

-

é
ëê

ù
ûú

2

j ¶

¶

Ñëåäîâàòåëüíî,

U

l

r

q t

r v

r

= -

-

é
ëê

ù
ûú

cos

(

)

.

j

pe

¶

¶

4

Ãëàâà 29. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â äèýëåêòðèêå

221

Ðèñ. 29.11

Óñëîâèìñÿ â äàëüíåéøåì îïóñêàòü îáîçíà÷åíèå àðãóìåíòà (

t

–

r

/

v

) è êðàòêî

ïèñàòü

q t

r v

q

i t

r v

i

(

)

;

(

)

.

-

=

-

=

Çàìåòèâ, ÷òî

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

q

r

v

q

t

i

r

v

i

t

= -

= -

1

1

è

,

áóäåì, ïîëüçóÿñü ýòèìè ñîîòíîøåíèÿìè, ïðîèçâîäíûå

¶

q

/

¶

r

è

¶

i

/

¶

r

çàìåíÿòü óì-

íîæåííûìè íà (–1/

v

) ïðîèçâîäíûìè

¶

q

/

¶

t

è

¶

i

/

¶

t

. Êðîìå òîãî, çàìåòèì, ÷òî

¶

q

/

¶

t

=

i

è

¶

2

q

/

¶

t

2

= ¶

i

/

¶

t

.

Ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé:

B

B

B

x

x

y

y

z

z

=

=

=

rot

rot

rot

A

A

A

;

;

.

Çàìåòèâ, ÷òî

A

x

=

A

y

=

0 è

A

z

= m

p

il

r

4

, íàõîäèì

B

A

y

A

r

r

y

l

i

r

rv

i

t

y

r

x

z

z

=

=

=

-

-

æ
è

ç

ö
ø

÷

¶

¶

¶

¶

¶

¶

m

p

¶

¶

4

1

2

;

B

A

x

A

r

r

x

l

i

r

rv

i

t

x

r

B

y

z

z

z

= -

= -

= -

-

-

æ
è

ç

ö
ø

÷

=

¶

¶

¶

¶

¶

¶

m

p

¶

¶

4

1

2

;

0.

Òàê êàê

B

x

/

B

y

=

–

y

/

x

, òî âåêòîð

B

êàñàòåëåí ê îêðóæíîñòè, ëåæàùåé â ïëîñêî-

ñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê îñè

OZ

è èìåþùåé öåíòð íà ýòîé îñè (ñì. ðèñ. 29.11).

Ýòè îêðóæíîñòè ÿâëÿþòñÿ ìàãíèòíûìè ëèíèÿìè. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñôåðè÷å-
ñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò

r

,

j

,

a

âåêòîð

B

èìååò åäèíñòâåííóþ ñîñòàâëÿþùóþ

B

a

,

ðàâíóþ ïî çíà÷åíèþ |

B

a

|

=

B

B

x

y

2

2

+

. Òàê êàê

x

y

2

2

+

=

r

sin

j

è çíàê

B

a

äîëæåí

ñîâïàäàòü ñî çíàêîì

B

y

ïðè

y

=

0 è

x

> 0 (ñì. ðèñ. 29.11), òî

B

l

i

r

rv

i

t

l

rv

i

t

v

r

i

a

m

p

¶

¶

j m

j

p

¶

¶

=

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

=

+

æ
è

ç

4

1

4

2

sin

sin

ö
ø

÷

.

(*)

Îïðåäåëèì ñîñòàâëÿþùèå

E

a

,

E

r

è

E

j

â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ, ïîëüçóÿñü

âûðàæåíèåì

E

A

= -

-

¶

¶

t

U

grad ,

ïðè÷åì çàìåòèì, ÷òî

A

a

=

0,

A

r

=

A

z

cos

j

è

A

j

=

–

A

z

sin

j

è ÷òî

U

ìîæíî ïðåäñòà-

âèòü â âèäå

U

l

r

q

r

l

rv

q

t

q

r

= -

æ
è

ç

ö
ø

÷ = -

-

-

æ
è

ç

ö
ø

÷

cos

cos

j

pe

¶

¶

j

pe

¶

¶

4

4

1

2

=

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

l

i

rv

q

r

cos

.

j

pe

4

2

Òàê êàê

A

a

è

U

íå çàâèñÿò îò

a

, òî

E

a

=

0. Äàëåå èìååì

E

A

t

U

r

l

i

t

l

rv

i

t

i

r

r

r

= -

-

= -

-

-

-

¶

¶

¶

¶

m

j

pe

¶

¶

j

pe

¶

¶

cos

cos

4

4

1

2

2

2

3

1

2

v

r v

q

t

q

r

-

-

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

¶

¶

.

222

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Òàê êàê

1

2

e

v

= m

, òî ïåðâîå ñëàãàåìîå è ïåðâûé ÷ëåí â ñêîáêàõ ñîêðàùàþòñÿ è

ïîëó÷àåì

E

l

i

r v

q

r

l

r

v

r

i

v

r

q

r

=

+

æ
è

ç

ö
ø

÷ =

+

æ
è

ç

cos

cos

j

pe

m

j

p

4

2

2

2

4

2

3

2

2

ç

ö
ø

÷÷

.

(**)

Íàêîíåö,

E

A

t

r

U

l

r

i

t

l

r v

q

t

q

r

j

j

¶

¶

¶

¶j

m

j

p

¶

¶

j

pe

¶

¶

= -

-

=

+

+

1

4

4

1

2

sin

sin

3

æ
è

ç

ö
ø

÷

èëè

E

l

r

i

t

v

r

i

v

r

q

j

m

j

p

¶

¶

=

+

+

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

sin

.

4

2

2

(***)

Ïîñêîëüêó

E

a

=

0, òî

E

^

B

.

 äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü âàæíûé ïðàêòè÷åñêèé ñëó÷àé ñèíóñîè-

äàëüíîãî èçìåíåíèÿ òîêà â äèïîëå:

I

m

sin

w

t

. Ñ ó÷åòîì êîíå÷íîé ñêîðîñòè ðàñ-

ïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âûðàæåíèè äëÿ íàïðÿæåííîñòè ýëåê-
òðè÷åñêîãî ïîëÿ è äëÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè ìû äîëæíû ïîäñòàâèòü âåëè÷èíó

i

=

I

m

sin

w

(

t

–

r

/

v

). Çàìå÷àÿ, ÷òî

w

r

/

v

=

2

p

r

/(

Tv

)

=

2

p

r

/

l

, ãäå

T

— ïåðèîä êîëåáà-

íèé è

l =

vT

— äëèíà âîëíû, ïîëó÷àåì

¶

¶

w

w

l

p

w

w

i

t

I

t

r

v

v

r

i

r

I

t

r

v

m

m

=

-

æ
è

ç

ö
ø

÷

= æ

è

ç

ö
ø

÷

-

æ
è

cos

;

sin

2

ç

ö
ø

÷

;

v

r

q

r

I

t

r

v

m

2

2

2

2

= -æ

è

ç

ö
ø

÷

-

æ
è

ç

ö
ø

÷

l

p

w

w

cos

.

Ñëåäîâàòåëüíî, â âûðàæåíèÿõ äëÿ

B

a

,

E

r

è

E

j

àìïëèòóäà êàæäîãî ïîñëåäóþ-

ùåãî ÷ëåíà îòëè÷àåòñÿ îò àìïëèòóäû ïðåäûäóùåãî ìíîæèòåëåì

l

p

2

r

.

29.7. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå íà ðàññòîÿíèÿõ îò äèïîëÿ,

ìàëûõ ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé âîëíû

Ïóñòü

r

<< l

. Â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî îñòàâèòü òîëüêî ïîñëåäíèå ÷ëåíû â âûðàæå-

íèÿõ äëÿ

B

a

,

E

r

è

E

j

. Èìååì

B

l i

r

E

l q

r

E

l q

r

r

a

j

m

j

p

j

pe

j

pe

=

=

=

sin

;

cos

;

sin

.

4

2

4

4

2

3

3

Ïðè ýòîì ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà äëÿ

B

a

ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé Áèî–Ñàâàðà–

Ëàïëàñà, ñïðàâåäëèâîé äëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà. Ïðèáëèæåííûå ôîðìóëû äëÿ

E

r

è

E

j

ñîâïàäàþò ñ ôîðìóëàìè, âûâåäåííûìè ðàíåå äëÿ ñòàòè÷åñêîãî äèïîëÿ (ñì.

§ 24.2).

Ðàññìîòðåííûå çäåñü ÷ëåíû îáùèõ âûðàæåíèé äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðîâ

B

è

E

îïðåäåëÿþò òîëüêî ðåàêòèâíóþ ìîùíîñòü â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ìãíîâåííûå íà-

ïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî è ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëåé ñäâèíóòû îòíîñèòåëüíî äðóã

Ãëàâà 29. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â äèýëåêòðèêå

223

äðóãà ïî ôàçå íà óãîë

p

/2, òàê êàê íà ýòîò óãîë ñäâèíóòû ïî ôàçå

i

è

q

. Çàìåòèì,

÷òî ñîñòàâëÿþùèå, êîòîðûìè ìû çäåñü ïðåíåáðåãëè, íî êîòîðûå ñóùåñòâóþò è â
ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè (

r

<< l

), îïðåäåëÿþò àêòèâíóþ ìîùíîñòü, ÷òî áóäåò

ïîêàçàíî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.

29.8. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå íà ðàññòîÿíèÿõ îò äèïîëÿ,

çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàþùèõ äëèíó âîëíû

Ïðè

r

>> l

â âûðàæåíèÿõ äëÿ

B

a

è äëÿ

E

j

ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âñåìè ÷ëåíàìè, êðî-

ìå ïåðâûõ. Âåëè÷èíîé

E

r

ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïîëíîñòüþ, òàê êàê îáà åå ÷ëåíà

âåñüìà ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì ÷ëåíîì ñîñòàâëÿþùåé

E

j

. Èìååì

B

l

rv

I

t

r

v

l I

r

t

m

m

a

m

j

p

w

w

w

m

l

j

w

=

-

æ
è

ç

ö
ø

÷ =

-

sin

cos

sin cos

4

2

2

p

l

r

æ
è

ç

ö
ø

÷

;

E

l

r

I

t

r

v

vB

B

H

m

j

a

a

a

m

j

p

w

w

w

me

m

e

=

-

æ
è

ç

ö
ø

÷ =

=

=

sin

cos

.

4

1

Âîëíà, èìåþùàÿ òàêîé õàðàêòåð, íàçûâàåòñÿ ñ ô å ð è ÷ å ñ ê î é.
Ìû ïðèõîäèì ê çàìå÷àòåëüíîìó ñîîòíîøåíèþ, ïîëó÷åííîìó ðàíåå ïðè èñ-

ñëåäîâàíèè ïëîñêîé âîëíû:

e

m

E

H

2

2

2

2

=

.

Òàêèì îáðàçîì, è äëÿ ñôåðè÷åñêîé ýëåê-

òðîìàãíèòíîé âîëíû ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ ðàâíà ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.

Îòìåòèì îñîáî, ÷òî

E

è

H

èìåþò îäèíà-

êîâóþ ôàçó êîëåáàíèé è, ñëåäîâàòåëüíî, îï-
ðåäåëÿþò ñîáîé àêòèâíóþ ìîùíîñòü. Âåêòîð
Ïîéíòèíãà, êàê ýòî âèäíî èç ðèñ. 29.12, â ëþ-
áîé ìîìåíò âðåìåíè è â ëþáîé òî÷êå íàïðàâ-
ëåí ïî ðàäèóñó

r

â ñòîðîíó îò äèïîëÿ è, ñëåäî-

âàòåëüíî, ýíåðãèÿ ïåðåäàåòñÿ â íàïðàâëåíèè ðà-
äèóñîâ îò äèïîëÿ. Ýòà ýíåðãèÿ óæå íå âîçâðà-
ùàåòñÿ îáðàòíî ê èñòî÷íèêó è ÿâëÿåòñÿ ýíåð-
ãèåé èçëó÷åííîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.

29.9. Ìîùíîñòü è ñîïðîòèâëåíèå èçëó÷åíèÿ äèïîëÿ è àíòåííû

Îêðóæèì äèïîëü ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, èìåþùåé öåíòð â ìåñòå ðàñïî-
ëîæåíèÿ äèïîëÿ (ðèñ. 29.12), è âû÷èñëèì ìîùíîñòü ïîòîêà ýëåêòðîìàãíèòíîé
ýíåðãèè, ïðîõîäÿùåé ñêâîçü ýòó ïîâåðõíîñòü. Íîðìàëüíàÿ ê ïîâåðõíîñòè ñôåðû
ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà Ïîéíòèíãà ðàâíà

S

n

=

E

j

H

a

. Îòëè÷íîå îò íóëÿ ñðåäíåå

àðèôìåòè÷åñêîå çà ïåðèîä çíà÷åíèå ýòîé ñîñòàâëÿþùåé âåêòîðà Ïîéíòèíãà

S

n

ñð

=

1

0

T

E H dt

T

j

a

ò

ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ òîëüêî îò òåõ ñîñòàâëÿþùèõ ïðîèçâåäåíèÿ

224

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 29.12

E

j

H

a

=

E

j

B

a

/

m

, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèÿìè ÷ëåíîâ âûðàæåíèé (*) è (***)

â § 29.6 äëÿ

B

a

è

E

j

, íàõîäÿùèõñÿ â îäèíàêîâîé ôàçå. Ê íèì îòíîñÿòñÿ ïðîèçâå-

äåíèå ïåðâûõ ÷ëåíîâ

B

a

è

E

j

, ïðîèçâåäåíèå ïåðâîãî ÷ëåíà

B

a

è òðåòüåãî ÷ëåíà

E

j

è ïðîèçâåäåíèå âòîðûõ ÷ëåíîâ

B

a

è

E

j

. Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî äâà ïîñëåäíèõ ïðî-

èçâåäåíèÿ â ñóììå íå äàþò îòëè÷íîé îò íóëÿ ñðåäíåé ìîùíîñòè.

Òàêèì îáðàçîì, îñòàåòñÿ òîëüêî ïðîèçâåäåíèå ïåðâûõ ÷ëåíîâ

B

a

è

E

j

, êîòîðûå

áûëè ðàññìîòðåíû â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå. Èìååì

S

T

I l

r

t

r

dt

n

m

T

ñð

=

-

æ
è

ç

ö
ø

÷

ò

1

4

2

2

2

2

2

2

2

0

l

m

e

j

w

p

l

sin

cos

.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

1

2

1

2

2

0

T

t

r

dt

T

cos

w

p

l

-

æ
è

ç

ö
ø

÷ =

ò

, ïîëó÷àåì

S

I l

r

I l

r

n

m

ñð

=

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

8

4

l

m

e

j =

l

m

e

j

sin

sin

,

ãäå

I

=

I

m

/ 2 — äåéñòâóþùèé òîê.

Ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè ñôåðû (ñì. ðèñ. 29.12) ðàâåí

ds

=

r d

j

r

sin

j

d

a

. Ñðåäíÿÿ

ìîùíîñòü âñåãî ïîòîêà ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè ñêâîçü ïîâåðõíîñòü ñôåðû
îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé

P

I l

r

r

d d

I l

=

æ
è

çç

ö
ø

÷÷

=

ò

ò

2 2

2

2

2

2

0

2

0

2 2

4

2

l

m

e

j

j j a

p

p

p

sin

sin

l

m

e

j j

p

2

3

0

sin

.

d

ò

Íî

sin

sin

cos

(cos

) cos

.

3

0

2

1

1

2

1

1

1

4
3

j j

j

j

j

j

p

d

d

d

ò

ò

ò

= -

=

-

=

-

-

Ñëåäîâàòåëüíî,

P

l

I

=

2

3

2

2

2

p m

e l

.

Èòàê, ñðåäíÿÿ ìîùíîñòü ïîòîêà ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè, ïåðåäàâàåìîé

ñêâîçü ïîâåðõíîñòü ñôåðû, îêàçàëàñü îòëè÷íîé îò íóëÿ. Ýòà ìîùíîñòü ÷èñëåííî
ðàâíà ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ,

èçëó÷àåìîãî

äèïîëåì, îòíåñåííîé ê åäè-

íèöå âðåìåíè.

Ìíîæèòåëü ïðè

I

2

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êîëåáàòåëü-

íîãî êîíòóðà, õàðàêòåðèçóþùåå åãî ñïîñîáíîñòü ê èçëó÷åíèþ. Åãî íàçûâàþò ñ î -
ï ð î ò è â ë å í è å ì è ç ë ó ÷ å í è ÿ. Äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ ñîïðîòèâëåíèå
èçëó÷åíèÿ

R

¢

âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

R

l

'

=

2

3

2

2

p m

e l

.

Ðåàëüíàÿ àíòåííà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áîëåå ñëîæíóþ, ÷åì äèïîëü, èçëó÷àþ-

ùóþ ñèñòåìó. Îáû÷íî àíòåííà ñîñòîèò èç ïðîâîäîâ, ðàñïîëîæåííûõ íàä ïîâåðõ-

Ãëàâà 29. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â äèýëåêòðèêå

225