Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

Åñëè â âîëíîâîäå âñþäó

H

z

=

0, ò. å. ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ

ëåæàò öåëèêîì â ïîïåðå÷íûõ ïëîñêîñòÿõ, òî íåèçáåæíî äîëæåí ñóùåñòâîâàòü
ïðîäîëüíûé òîê ñìåùåíèÿ, îõâàòûâàåìûé ýòèìè ëèíèÿìè, à ñëåäîâàòåëüíî,

E

z

¹

0. Òàêèì îáðàçîì, âîëíû, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûìè â ëèíèè ïåðåäà÷è,

íå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü â âîëíîâîäå. Â âîëíîâîäå ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ òîëüêî
âîëíû, â êîòîðûõ ëèáî âåêòîð

H

, ëèáî âåêòîð

E

èìååò ïðîäîëüíûå ñîñòàâëÿþ-

ùèå. Ïðè ýòîì âåñüìà ñóùåñòâåííî, ÷òî ðàñïðîñòðàíåíèå ýòèõ âîëí âäîëü âîëíî-
âîäà âîçìîæíî, òîëüêî åñëè ÷àñòîòà

f

âûøå êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòû

f

0

. Êðèòè-

÷åñêàÿ äëèíà âîëíû

l

0

=

v

/

f

0

èìååò ïîðÿäîê ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ ïîïåðå÷íîãî

ñå÷åíèÿ âîëíîâîäà.

Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî è â ëèíèè ïåðåäà÷è âîçìîæíî âîçíèêíîâåíèå âîëí

ýòîãî òèïà, åñëè äëèíà âîëíû

l

áóäåò ñðàâíèìà ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó ïðîâîäàìè

ëèíèè, íî ïðè ýòîì ëèíèÿ áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé àíòåííó è ýëåêòðîìàãíèò-
íîå ïîëå áóäåò âåñüìà èíòåíñèâíî èçëó÷àòüñÿ â îêðóæàþùåå ïðîñòðàíñòâî, ÷òî
ïðèâåäåò ê áûñòðîìó çàòóõàíèþ âîëí âäîëü ëèíèè. Åñëè ëèíèÿ èìååò âèä êîí-
öåíòðè÷åñêîãî êàáåëÿ, èçëó÷åíèå ýòèõ âîëí íå áóäåò ïðîèñõîäèòü, òàê êàê îá-
ëàñòü, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âîëíû, ýêðàíèðîâàíà îò âíåøíåãî ïðîñòðàí-
ñòâà íàðóæíûì òðóá÷àòûì ïðîâîäîì êàáåëÿ. Îäíàêî êàáåëü èñïîëüçóþò îáû÷íî
ïðè áîëåå íèçêèõ ÷àñòîòàõ, òàê êàê îí ïðîâîäèò óïîìÿíóòûå âûøå ïîïåðå÷íûå
âîëíû, à ïðè ÷àñòîòàõ âûøå êðèòè÷åñêîé ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ âîëíîâîäîì.

Äëÿ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ âäîëü âîëíîâîäà, ìîæíî òàêæå ââåñòè ïîíÿ-

òèå âîëíîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Ïåðåäà÷à ýíåðãèè âäîëü âîëíîâîäà îïðåäåëÿåòñÿ
âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñîñòàâëÿþùèìè âåêòîðîâ

E

è

H

, ïåðïåíäèêóëÿð-

íûìè îñè âîëíîâîäà. Â ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå ïðÿìîóãîëüíîãî âîëíîâî-
äà ýòî áûëè ñîñòàâëÿþùèå

E

x

è

H

y

è ñîñòàâëÿþùèå

E

y

è

H

x

. Ïîëîæèòåëüíîå çíà-

÷åíèå âåêòîðà Ïîéíòèíãà (â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè

OZ

) ïîëó÷àåòñÿ

îò óìíîæåíèÿ

E

x

è

H

y

îäíîãî çíàêà è îò óìíîæåíèÿ

E

y

è

H

x

ðàçíûõ çíàêîâ. Ïî-

ýòîìó âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå ñëåäóåò îïðåäåëÿòü èç ñîîòíîøåíèé:

z

E

H

z

E

H

x

y

y

x

=

= -

&
&

&
&

.

èëè

Èç âûøåïðèâåäåííûõ óðàâíåíèé ïîëó÷àåì äëÿ âîëí òèïà

H

(òèïà

TE

)

z

j

v

=

=

=

=

wm

g

wm

b

m

l

m

e l

'

L

L

.

Íî

m e =

z

¢

åñòü âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå â ñëó÷àå, êîãäà ñðåäà, çàïîëíÿþùàÿ

âîëíîâîä, íå îãðàíè÷åíà ñòåíêàìè âîëíîâîäà. Êðîìå òîãî,

l

l

l

L

=

- æ

è

çç

ö
ø

÷÷ = -

æ
è

ç

ö
ø

÷

1

1

0

2

0

2

f

f

.

Ñëåäîâàòåëüíî,

z

z

f

f

=

-

'

1

0

2

(

)

.

236

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Òàêèì îáðàçîì, âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå

z

íå îïðåäåëÿåòñÿ êàê

z

¢

òîëüêî ïàðà-

ìåòðàìè ñðåäû, à çàâèñèò îò ÷àñòîòû

f

è õàðàêòåðà âîëíû, ò. å. îò ÷èñåë

m

è

n

, îò

êîòîðûõ çàâèñèò êðèòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà

f

0

. Îíî çàâèñèò òàêæå îò òèïà âîëíû. Òàê,

äëÿ âîëí òèïà

E

(òèïà

TM

) èìååì âûðàæåíèå

z

z

f

f

=

-

'

1

0

2

(

) .

Ñòîëü ñëîæíàÿ çàâèñèìîñòü

z

îò ìíîãèõ âåëè÷èí, õàðàêòåðèçóþùèõ íå òîëü-

êî ïåðåäàþùåå óñòðîéñòâî, íî è ïðîöåññû â íåì, åñòü ðåçóëüòàò òîãî, ÷òî âîëíî-
âîä íå ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí êàê ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñ îïðåäåëåííûìè ïàðà-
ìåòðàìè. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ïðîöåññîâ â âîëíîâîäå íåîáõîäèìî, êàê ýòî è áûëî
ñäåëàíî, îáðàòèòüñÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.

Ãëàâà 29. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â äèýëåêòðèêå

237

Ãëàâà òðèäöàòàÿ

Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå

â ïðîâîäÿùåé ñðåäå

30.1. Ïëîñêàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà â ïðîâîäÿùåé ñðåäå

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ïëîñêàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿ-
ñÿ â äèýëåêòðèêå, ïîäõîäèò íîðìàëüíî ê ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè, îãðàíè÷èâàþùåé
ñ îäíîé ñòîðîíû ïðîâîäÿùóþ ñðåäó (ðèñ. 30.1). Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïðîâî-

äÿùàÿ ñðåäà ïðîñòèðàåòñÿ âî âñåõ îñòàëüíûõ íàïðàâ-
ëåíèÿõ äî áåñêîíå÷íîñòè. Ïàäàþùàÿ âîëíà ÷àñòüþ
îòðàæàåòñÿ îò ïîâåðõíîñòè ïðîâîäÿùåé ñðåäû, ÷àñòüþ
ïðîíèêàåò â ýòó ñðåäó è ïîãëîùàåòñÿ â íåé. Ðàññìîò-
ðèì âîëíó, ïðîøåäøóþ ñêâîçü ïîâåðõíîñòü ðàçäåëà
è ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ â ïðîâîäÿùåé ñðåäå. Íàïðà-
âèì îñü

OZ

â ãëóáü ïðîâîäÿùåé ñðåäû íîðìàëüíî

ê åå ïîâåðõíîñòè. Ïëîñêîñòü

XOY

ñîâìåñòèì ñ ýòîé

ïîâåðõíîñòüþ.

 ïðîâîäÿùåé ñðåäå ïðàêòè÷åñêè âñåãäà ìîæíî

ïðåíåáðå÷ü òîêàìè ñìåùåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ òîêà-
ìè ïðîâîäèìîñòè. Â òàêîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ Ìàê-
ñâåëëà ïðèíèìàþò âèä

rot

rot

H

E

E

B

H

= =

= -

= -

J

g

¶

¶

m ¶

¶

;

.

t

t

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàïðÿæåííîñòè ïîëåé íå èìåþò ñîñòàâëÿþùèõ, ïîñòîÿí-

íûõ âî âðåìåíè.

Íàïðàâèâ îñü

OX

ïî âåêòîðó

E

è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ïëîñêîé âîëíå

E

è

H

íå çàâè-

ñÿò îò

x

è

y

, èç óðàâíåíèÿ (

ã

) èç § 29.1 ïîëó÷àåì

0

0

= -

=

=

m ¶

¶

H

t

H

x

x

,

.

ò. å.

const

Èç óðàâíåíèé (

à

) è (

ä

) íàõîäèì

-

=

= -

¶

¶

g

¶

¶

m

¶

¶

H

z

E

E

z

H

t

y

x

x

y

;

.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé èçìå-

íÿþòñÿ âî âðåìåíè ïî çàêîíó

E

E

t

H

H

t

x

m

E

y

m

H

=

+

=

+

sin(

);

sin(

).

w y

w y

Âûðàæàÿ ìãíîâåííûå íàïðÿæåííîñòè ïîëåé â ñèìâîëè÷åñêîé ôîðìå, áóäåì

èìåòü

&

&

;

&

(

)

(

)

E

E e

E e

e

E e

H

H e

x

m

j

t

m

j

j t

m

j t

y

m

j

t

E

E

H

=

=

=

=

+

+

w y

y

w

w

w y

=

=

H e

e

H e

m

j

j t

m

j t

H

y

w

w

&

.

Ðèñ. 30.1

Àìïëèòóäû

E

m

è

H

m

è íà÷àëüíûå ôàçû

y

E

è

y

H

, à ñëåäîâàòåëüíî, è êîìïëåêñ-

íûå àìïëèòóäû

&

E

m

è

&

H

m

ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè òîëüêî îäíîé êîîðäèíàòû

z

. Ïîä-

ñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ âåëè÷èí

&

E

x

è

&

H

y

â ñèìâîëè÷åñêîé ôîðìå â óðàâíåíèÿ, ñâÿ-

çûâàþùèå

E

x

è

H

y

, ïîëó÷àåì ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà îáùèé ìíîæèòåëü

e

j

w

t

ýòè

óðàâíåíèÿ â âèäå

-

=

= -

dH

dz

E

dE

dz

j

H

m

m

m

m

&

&

;

&

&

.

g

wm

(*)

Äèôôåðåíöèðóÿ ïåðâîå óðàâíåíèå ïî

z

è èñïîëüçóÿ âòîðîå, íàõîäèì

d H

dz

j

H

m

m

2

2

&

&

.

= wmg

Ðåøåíèå ýòîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûì êîýôôèöèåíòîì èìååò âèä

&

,

H

A e

A e

m

z

z

=

+

-

+

1

2

a

a

ãäå

a

wmg

=

j

.

Òàê êàê

j

=

1

2

(1 +

j

), ÷òî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ âîçâåäåíèåì ýòîãî ðàâåíñòâà â

êâàäðàò, òî, ââîäÿ åùå îáîçíà÷åíèå

wmg

2

=

k

,

ïîëó÷àåì

a

wmg

wmg

=

= +

= +

j

j

j k

(

)

(

) .

1

2

1

Âòîðîé ÷ëåí â âûðàæåíèè äëÿ

&

H

m

ïðè

A

2

¹

0 óâåëè÷èâàåòñÿ äî áåñêîíå÷íîñòè

ïðè âîçðàñòàíèè

z

, òàê êàê âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü

a

ïîëîæèòåëüíà. Íàïðÿæåííîñòü

ïîëÿ íå ìîæåò ðàñòè äî áåñêîíå÷íîñòè, è, ñëåäîâàòåëüíî, ìû äîëæíû ïðèíÿòü

A

2

=

0. Òàêèì îáðàçîì,

&

.

H

A e

m

z

=

-

1

a

Ïîñòîÿííàÿ

A

1

ïîëó÷àåòñÿ èç óñëîâèÿ, ÷òî ïðè

z

=

0 âåëè÷èíà

&

H

m

èìååò çà-

äàííîå çíà÷åíèå

&

H

H e

me

m

j

He

=

y

íà ïîâåðõíîñòè ñðåäû. Âñå âåëè÷èíû, îòíîñÿ-

ùèåñÿ ê ïîâåðõíîñòè ñðåäû, áóäåì îòìå÷àòü èíäåêñîì

e

. Ñòàëî áûòü,

A

1

=

&

H

me

,

è ðåøåíèå èìååò âèä

&

&

H

H e

e

m

me

kz

jkz

=

-

-

èëè

H

H e

t

kz

y

me

kz

He

=

+

-

-

sin(

).

w y

Âûðàæåíèå äëÿ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íàõîäèì èç ïåðâîãî

óðàâíåíèÿ (*). Èìååì

&

(

)

&

E

j kH e

e

m

me

kz

jkz

=

+

-

-

1

1

g

Ãëàâà 30. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ïðîâîäÿùåé ñðåäå

239

èëè

E

H e

t

kz

x

me

kz

He

=

+

-

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

-

wm

g

w

y

p

sin

,

4

òàê êàê

1

2

1

1

1

4

4

(

)

(

)

.

+

=

+

=

j

e

j k

e

j

j

p

p

g

wm

g

è

Ïëîòíîñòü òîêà èçìåíÿåòñÿ ïî òàêîìó æå çàêîíó, êàê íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè-

÷åñêîãî ïîëÿ, òàê êàê

J

= g

E

.

Âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå äëÿ ïðîâîäÿùåé ñðåäû îêàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíûì

è ðàâíûì

Z

E

H

j k

j

m

m

=

=

+

= +

&
&

(

)

(

)

.

1

1

2

g

wm

g

Ðàñïîëàãàÿ ýòèì âûðàæåíèåì, ìîæíî íàéòè ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íàïðÿæåí-

íîñòÿìè âîëí: ïàäàþùåé èç äèýëåêòðèêà íà ïîâåðõíîñòü ïðîâîäÿùåé ñðåäû (

&

E

j

1

,

&

H

j

1

), îòðàæåííîé îò ïîâåðõíîñòè ñðåäû (

&

E

y

1

,

&

H

y

1

) è ïðåëîìëåííîé (

&

E

j

2

,

&

H

j

2

),

ò. å. ïðîøåäøåé â ïðîâîäÿùóþ ñðåäó. Äëÿ ýòîé öåëè ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû
ôîðìóëû, âûâåäåííûå â ÷. II ïðè èññëåäîâàíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ
âîëí â îäíîðîäíîé ëèíèè, çàìêíóòîé â êîíöå íà ñîïðîòèâëåíèå

Z

. Èìååì íà ïî-

âåêðõíîñòè ðàçäåëà

&

&

;

&

&

;

&

&

E

Z

Z

z

E

E

Z

z

Z

z

E

H

z

z

Z

H

j

j

y

j

j

j

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

2

=

+

=

-
+

=

+

;

&

&

,

H

z

Z

z

Z

H

y

j

1

1

1

1

=

-
+

ãäå

z

1

= m e

1

1

— âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå äëÿ ïàäàþùåé è îòðàæåííîé âîëí â

äèýëåêòðèêå, ïðè÷åì

m

1

è

e

1

— àáñîëþòíûå ìàãíèòíàÿ è äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíè-

öàåìîñòè äèýëåêòðèêà.

 ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü ïðîâîäÿùåé ñðåäû áåñêî-

íå÷íà, ïîëó÷àåì

Z

=

0,

&

&

&

&

E

E

H

H

y

j

y

j

1

1

1

1

= -

=

è

è, ñëåäîâàòåëüíî, íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà

&

&

&

&

&

,

E

E

E

H

H

1

1

1

1

1

0

2

=

+

=

=

j

y

j

è

ò. å. âîëíà ïîëíîñòüþ îòðàæàåòñÿ îò ïîâåðõíîñòè ñâåðõïðîâîäÿùåé ñðåäû. Â äè-
ýëåêòðèêå ïðè ýòîì â ðåçóëüòàòå èíòåðôåðåíöèè ïàäàþùåé è îòðàæåííîé âîëí
óñòàíàâëèâàþòñÿ ñòîÿ÷èå âîëíû. Ýòîò ñëó÷àé àíàëîãè÷åí ðåæèìó êîðîòêîãî çà-
ìûêàíèÿ îäíîðîäíîé ëèíèè ïåðåäà÷è.

30.2. Äëèíà âîëíû è çàòóõàíèå âîëíû

Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïî-
ëåé ïðåæäå âñåãî ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî àìïëèòóäû íàïðÿæåííîñòåé ïî
ìåðå ïðîíèêíîâåíèÿ âîëíû â ãëóáü ïðîâîäÿùåé ñðåäû ïðè ïëîñêîé âîëíå óáû-

240

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ