Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003.pdf

íèÿ

i

¢(

t

) íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, ò. å. óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùåãî çàäàííûå ÝÄÑ

èëè çàäàííûå íàïðÿæåíèÿ, è ðåøåíèÿ

i

²

(

t

) îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå ïî-

ëó÷àåòñÿ èç òîãî æå óðàâíåíèÿ öåïè, åñëè ïðèíÿòü â íåì çàäàííûå ÝÄÑ èëè íà-

ïðÿæåíèÿ ðàâíûìè íóëþ, ò. å.

i t

i t

i t

( )

( )

( ).

= ¢

+ ¢¢

Ïðè

t

® ¥

òîê

i

²(

t

) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òàê êàê ïðîöåññ â öåïè, îáëàäàþùåé êî-

íå÷íûì ñîïðîòèâëåíèåì, äîëæåí çàòóõàòü ïðè îòñóòñòâèè â öåïè èñòî÷íèêîâ

ÝÄÑ. Ïîýòîìó òîê

i

²(

t

) íàçûâàþò ñ â î á î ä í û ì ò î ê î ì, òàê êàê îí îïðåäåëÿåò-

ñÿ èç óðàâíåíèé ïðè îòñóòñòâèè èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ.

Ñâîáîäíûé òîê âîçíèêàåò âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ïðè âêëþ÷åíèè èëè âûêëþ÷å-

íèè öåïè èëè ëþáîì äðóãîì âíåçàïíîì èçìåíåíèè â íåé èìåþùèåñÿ çàïàñû

ýíåðãèè â ïîëÿõ öåïè îò ïðåäûäóùåãî óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà íå ñîîòâåòñòâó-

þò çàïàñàì ýíåðãèè â ïîëÿõ, êîòîðûå äîëæíû áûëè áû áûòü â íîâîì óñòàíîâèâ-

øåìñÿ ðåæèìå ïîñëå ïðîèñøåäøèõ èçìåíåíèé â öåïè.

Òàê êàê ñâîáîäíûé òîê

i

²

(

t

) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òî òîê

i

(

t

) ñòðåìèòñÿ ê

i

¢

(

t

).

Ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòíîå ðåøåíèå

i

¢(

t

) ÿâëÿåòñÿ ò î ê î ì ó ñ ò à í î â è â ø å ã î ñ ÿ

ð e æ è ì à, êîòîðûé óñòàíàâëèâàåòñÿ ïîñëå ïðîèñøåäøèõ èçìåíåíèé â öåïè.

9.2. Îáùèé ïóòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

â ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ

Îáùèé ïóòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ëþáîé ñêîëü óãîäíî ñëîæíîé ëè-

íåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ñîñòàâëÿåì äèôôåðåí-

öèàëüíûå óðàâíåíèÿ öåïè ñîãëàñíî ïåðâîìó è âòîðîìó çàêîíàì Êèðõãîôà. Åñëè

çàäàííûìè ÿâëÿþòñÿ ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ, òî íåèçâåñòíûìè áóäóò òîêè âî âñåõ

p

âåòâÿõ öåïè. Ïóñòü æåëàåì íàéòè òîê

i

k

â

k

-é âåòâè. Èñêëþ÷àÿ ïîñëåäîâàòåëüíî

âñå îñòàëüíûå òîêè, ïîëó÷èì îäíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå

òîëüêî òîê

i

k

è åãî ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà

n

:

a d i

dt

a d i

dt

a d i

dt

a di

dt

a i

n

n

k

n

n

n

k

n

k

k

k

+

+ +

+

+

-

-

-

1

1

1

2

2

2

1

0

K

=

f t

k

( ),

ò. å.

a d i

dt

f t

s

s

k

s

s

n

k

=

å

=

0

( ).

Ïîðÿäîê

n

óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êîíôèãóðàöèåé öåïè è õàðàêòåðîì åå ýëå-

ìåíòîâ. Ñâîáîäíûé ÷ëåí

f

k

(

t

) ñîäåðæèò â ñåáå çàäàííûå ÝÄÑ.

Ïîëíûé èíòåãðàë ýòîãî óðàâíåíèÿ ðàâåí ñóììå ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ

¢

i

k

, îïðåäå-

ëÿåìîãî âèäîì ôóíêöèè

f

k

(

t

), è ïîëíîãî ðåøåíèÿ

¢¢

i

k

îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ:

a d i

dt

i

i

i

s

s

k

s

s

n

k

k

k

¢¢

=

= ¢ + ¢¢

=

å

0

0,

.

.

ò. å

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ

¢¢

i

k

íàõîäèì

n

êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ:

a

a

a

a

a

a

n

n

n

n

s

s

s

s

s

n

a

a

a

a

a

+

+ +

+ +

+

=

=

-

-

=

å

1

1

1

0

0

0

K

K

.

18

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

 ñëó÷àå åñëè âñå êîðíè ïðîñòûå, èìååì

¢¢ =

+

+ +

=

=

å

i

A e

A e

A e

A e

k

k

t

k

t

kn

t

ks

t

s

n

n

s

1

2

1

1

2

a

a

a

a

K

,

è, ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìîå ðåøåíèå èìååò âèä

i

i

A e

k

k

ks

t

s

n

s

= ¢ +

=

å

a

1

.

Çäåñü

A

ks

— ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. Îíè îïðåäåëÿþòñÿ èç

ôèçè÷åñêèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, î ÷åì áóäåò ñêàçàíî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.

 ñëó÷àå íàëè÷èÿ êðàòíûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðèâåäåí-

íîå âûøå âûðàæåíèå äëÿ

i

k

ïîñëå îïðåäåëåíèÿ âñåõ âåëè÷èí

A

ks

èç íà÷àëüíûõ

óñëîâèé áóäåò ñîäåðæàòü íåîïðåäåëåííîñòè, ðàñêðûâàÿ êîòîðûå, ïîëó÷èì âûðà-

æåíèå

i

k

äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ.

Èçëîæåííûé

ìåòîä

÷àñòî

íàçûâàþò êëàññè÷åñêèì

.

Âûøå áûëî ñêàçàíî, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ öåïè ñîñòàâëÿþòñÿ

ïî ïåðâîìó è âòîðîìó çàêîíàì Êèðõãîôà, ïðè ýòîì îáùåå ÷èñëî óðàâíåíèé ðàâ-

íî ÷èñëó âåòâåé öåïè. Ìîæíî ñîñòàâëÿòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ êîí-

òóðíûõ òîêîâ, è òîãäà ÷èñëî óðàâíåíèé áóäåò ðàâíî ÷èñëó íåçàâèñèìûõ êîíòó-

ðîâ öåïè, èëè æå äëÿ óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, è òîãäà ÷èñëî óðàâíåíèé áóäåò ðàâíî

÷èñëó óçëîâ öåïè áåç åäèíèöû.

9.3. Ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ

Äðóãîé ïóòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ çàêëþ÷àåòñÿ â âûäåëåíèè òàêèõ èñ-

êîìûõ âåëè÷èí, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðè÷åñêîé

öåïè, òàê êàê ïåðåõîäíûé ïðîöåññ è åñòü ïðîöåññ ñìåíû îäíîãî óñòàíîâèâøåãî-

ñÿ ýíåðãåòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ äðóãèì. Ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå â ëèíåéíûõ

ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ

òîêàìè èíäóêòèâíûõ êàòóøåê

è

íàïðÿæåíèÿìè êîíäåíñàòîðîâ

, ïîýòîìó åñòåñòâåííî âûáèðàòü èõ â êà÷åñòâå âå-

ëè÷èí, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå öåïè. Áóäåì íàçûâàòü ýòè âåëè÷èíû ï å ð å -

ì å í í û ì è ñ î ñ ò î ÿ í è ÿ. Òîêè è íàïðÿæåíèÿ ðåçèñòèâíûõ ýëåìåíòîâ ýëåê-

òðè÷åñêîé ñõåìû âñåãäà ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèÿ ïðè

ïîìîùè ñîñòàâëåíèÿ è ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîãëàñíî çàêîíàì Êèðõãî-

ôà. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü íåêóþ íîâóþ öåïü, ãäå âñå èíäóêòèâíîñòè

ïðåäñòàâëåíû èñòî÷íèêàìè òîêà, à åìêîñòè — èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ.

Óðàâíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñòàíîâÿòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè áëàãîäàðÿ

òîìó, ÷òî òîêè â êîíäåíñàòîðàõ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäíûå çàðÿäîâ, à íà-

ïðÿæåíèÿ èíäóêòèâíûõ êàòóøåê — ÷åðåç ïðîèçâîäíûå ïîòîêîñöåïëåíèé. Åñëè ê

óçëó, äëÿ êîòîðîãî çàïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèå ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà,

ïîäõîäèò òîëüêî îäíà âåòâü ñ êîíäåíñàòîðîì, òî ýòî óðàâíåíèå áóäåò äèôôåðåí-

öèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà. Åñëè â êîíòóð, äëÿ êîòîðîãî çàïèñûâà-

åòñÿ óðàâíåíèå ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà, âîéäåò òîëüêî îäíà èíäóê-

òèâíàÿ êàòóøêà, òî îíî òàêæå áóäåò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî

ïîðÿäêà. Òàêèå óñëîâèÿ ìîæíî îáåñïå÷èòü, åñëè îòíåñòè âñå âåòâè ñ êîíäåíñàòî-

ðàìè ê âåòâÿì äåðåâà, à âåòâè ñ èíäóêòèâíûìè êàòóøêàìè — ê ñâÿçÿì. Ïîñêîëü-

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

19

êó âåòâü äåðåâà îïðåäåëÿåò ñå÷åíèå â ãðàôå ñõåìû, äëÿ êîòîðîãî ñîñòàâëÿåòñÿ

áàëàíñ òîêîâ ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà, òî âñå óðàâíåíèÿ ñå÷åíèé, îï-

ðåäåëÿåìûå âåòâÿìè äåðåâà ñ êîíäåíñàòîðàìè, îêàæóòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè

óðàâíåíèÿìè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Åñëè âåòâü äåðåâà ñîäåðæèò ðåçèñòîð, òî óðàâíå-

íèå áóäåò àëãåáðàè÷åñêèì. Ïîñêîëüêó ñâÿçè îïðåäåëÿþò êîíòóðû, òî óðàâíåíèÿ

äëÿ íàïðÿæåíèé â êîíòóðàõ ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà ïðè íàëè÷èè â

ñâÿçÿõ èíäóêòèâíûõ êàòóøåê îêàæóòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ïåð-

âîãî ïîðÿäêà. Åñëè ñâÿçü ñîäåðæèò ðåçèñòèâíûé ýëåìåíò, òî óðàâíåíèå áóäåò àë-

ãåáðàè÷åñêèì. Èñêëþ÷èâ àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïóòåì èõ ðåøåíèÿ ÷åðåç ïå-

ðåìåííûå ñîñòîÿíèÿ, ìîæíî ïîëó÷èòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé

ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ. Îáîçíà÷èì ïåðåìåííûå

ñîñòîÿíèÿ áóêâàìè

x

1

,

x

2

,..,

x

n

. Òîãäà òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà-ñòîëáåö ïåðå-

ìåííûõ ñîñòîÿíèÿ áóäåò

X

t

= ||

x

1

,

x

2

,..,

x

n

||

. Â ìàòðè÷íîé ôîðìå ñèñòåìà äèôôå-

ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå

d

dt

X A X B V

=

+

1

1

.

Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà

A

1

ïîðÿäêà

n

îïðåäåëÿåòñÿ òîïîëîãèåé ýëåêòðè÷åñêîé

öåïè è ïàðàìåòðàìè åå ýëåìåíòîâ. Ñòîëáöîâàÿ ìàòðèöà

V

ïîðÿäêà

p

´

1 îïðå-

äåëÿåòñÿ èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ è òîêîâ â âåòâÿõ ñõåìû, åå âïðåäü áóäåì íàçûâàòü

â å ê ò î ð î ì â õ î ä í û õ â å ë è ÷ è í. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà

B

1

ïîðÿäêà

n

´

p

îïðåäåëÿåò âêëàä âõîäíûõ âåëè÷èí â áàëàíñ òîêîâ èëè íàïðÿæåíèé.

Òîêè è íàïðÿæåíèÿ íà âñåõ èíòåðåñóþùèõ íàñ ýëåìåíòàõ è ó÷àñòêàõ ýëåêòðè-

÷åñêîé öåïè ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèÿ. Îáîçíà÷èì

ñèñòåìó èíòåðåñóþùèõ íàñ âåëè÷èí áóêâîé

Y

è íàçîâåì åå âåêòîðîì â û õ î ä -

í û õ â å ë è ÷ è í. Ñâÿçü âûõîäíûõ âåëè÷èí, ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ è âõîäíûõ

âåëè÷èí â ìàòðè÷íîé ôîðìå ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå

Y A X B V

=

+

2

2

.

Ôîðìàëüíî ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî çà-

ïèñàòü òàê:

( )

{

}

X

A

X

A

B V

t

t

t

=

+

-

ò

[exp(

)]

[exp( (

( )

,

1

0

1

1

0

t))]

t

t

d

t

ãäå exp (

A

1

t

)

=

e

t

A

1

,

X

0

— ìàòðèöà-ñòîëáåö íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ ñî-

ñòîÿíèÿ.

Îñíîâíàÿ òðóäíîñòü ýòîãî ïîäõîäà çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè exp (

A

1

t

). Äëÿ

âû÷èñëåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà Ñèëüâåñòðà, ñî-

ãëàñíî êîòîðîé

e

e

t

i

i

i r

n

r

i

i

i r

n

r

n

t

r

A

A

1

1

1

1

1

=

-

-

= ¹

= ¹

=

Õ

Õ

å

(

(

)

,

,

,

a

a

a

a

1)

20

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ãäå

a

i

— êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ det (

A

1

—

a

1

)

=

0, îíè æå — ñîáñò-

âåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû

A

1

;

1 —

äèàãîíàëüíàÿ åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà

n

.

Èçëîæåííûé ìåòîä ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ íàçûâàåòñÿ ì å ò î ä î ì

ï å ð å ì å í í û õ ñ î ñ ò î ÿ í è ÿ, à ñîâîêóïíîñòü ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ è óðàâíåíèÿ

äëÿ âûõîäíûõ âåëè÷èí — ó ð à â í å í è ÿ ì è ñ î ñ ò î ÿ í è ÿ.

Çàìåòèì, ÷òî è â ìåòîäå ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ íåîáõîäèìî îïðåäåëÿòü êîð-

íè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïóòåì âû÷èñëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé

ìàòðèöû

A

1

. Âû÷èñëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèö òàêæå ÿâëÿåòñÿ òðóäî-

åìêîé ïðîöåäóðîé è äëÿ ñëîæíûõ öåïåé äîëæíî áûòü âûïîëíåíî ïðè ïîìîùè

ÝÂÌ. Íî äàæå ñîâðåìåííûå ÝÂÌ íå ïîçâîëÿþò ðåøàòü ýòó çàäà÷ó äëÿ î÷åíü

ñëîæíûõ öåïåé, êîãäà

n

áîëüøå íåñêîëüêèõ òûñÿ÷. Îäíàêî âàæíûì ÿâëÿåòñÿ òî

îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ ìîæíî ñôîðìèðîâàòü

ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà è äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøå-

íèÿ òàêîé ñèñòåìû íåïîñðåäñòâåííî èñïîëüçîâàòü ñòàíäàðòíîå ìàòåìàòè÷åñêîå

îáåñïå÷åíèå öèôðîâûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí.

Èòàê, ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ äëÿ îïðåäåëåííîãî êðóãà çàäà÷ ïîçâîëÿåò

ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé â áîëåå êîìïàêòíîé è îáùåé ôîðìå, ôîðìàëèçóÿ

âåñü ïðîöåññ ðåøåíèÿ òàêèì îáðàçîì. ÷òî îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ïîëó÷èòü ýòî

ðåøåíèå ïðè ïîìîùè ÝÂÌ.

9.4. Îïðåäåëåíèå ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ

èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé

Áóäåì íàçûâàòü êîììóòàöèåé ëþáîå èçìåíåíèå â öåïè, ïðèâîäÿùåå ê âîçíèêíî-

âåíèþ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà èëè èçìåíåíèþ ðåæèìà åå ðàáîòû; ïðè÷åì áóäåì

ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ýòî èçìåíåíèå ïðîèñõîäèò ìãíîâåííî, ò. å. ñîâåðøàåòñÿ çà èí-

òåðâàë âðåìåíè

D

t

=

0. Ýòî ìîæåò áûòü âêëþ÷åíèå öåïè ïîä äåéñòâèå èñòî÷íèêà

ÝÄÑ èëè îòêëþ÷åíèå öåïè îò èñòî÷íèêà, çàìûêàíèå öåïè íàêîðîòêî, ñêà÷êîîá-

ðàçíîå èçìåíåíèå ïàðàìåòðà öåïè, èçìåíåíèå ñêà÷êîì àìïëèòóäû, ÷àñòîòû èëè

ôàçû ïðèëîæåííîãî ê öåïè íàïðÿæåíèÿ è ò. ä. Ðåàëüíûé ïðîöåññ êîììóòàöèè

âñåãäà äëèòñÿ êîíå÷íîå, õîòÿ è âåñüìà ìàëîå âðåìÿ

D

t

, â òå÷åíèå êîòîðîãî ïðîèñ-

õîäèò èçìåíåíèå ñîïðîòèâëåíèÿ âûêëþ÷àòåëÿ îò áåñêîíå÷íîñòè äî íóëÿ ïðè

âêëþ÷åíèè öåïè è îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè ïðè îòêëþ÷åíèè öåïè èëè ïðîèñõî-

äèò èçìåíåíèå ïàðàìåòðà öåïè, àìïëèòóäû íàïðÿæåíèÿ è ò. ä. Îäíàêî, íå èíòå-

ðåñóÿñü ïðîöåññîì â òå÷åíèå ýòîãî âðåìåíè

D

t

, à ðàññìàòðèâàÿ ëèøü ïðîöåññ ïî-

ñëå òîãî, êàê êîììóòàöèÿ çàêîí÷åíà, ò. å. àáñòðàãèðóÿñü îò äåéñòâèòåëüíîé

êàðòèíû ÿâëåíèÿ, áóäåì ïîëàãàòü

D

t

=

0. Óñëîâèìñÿ äàëåå íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìå-

íè

t

=

0 ñîâìåùàòü ñ ìîìåíòîì êîììóòàöèè è îáîçíà÷àòü ÷åðåç

t

=

–

0 ìîìåíò

âðåìåíè, íåïîñðåäñòâåííî ïðèëåãàþùèé ê ìîìåíòó êîììóòàöèè, äî êîììóòà-

öèè, è ÷åðåç

t

=

+

0 ìîìåíò âðåìåíè, òàêæå íåïîñðåäñòâåííî ïðèëåãàþùèé ê ìî-

ìåíòó êîììóòàöèè, íî ïîñëå êîììóòàöèè.

 ëþáîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, â êîòîðîé íå ìîãóò ðàçâèâàòüñÿ áåñêîíå÷íî

áîëüøèå íàïðÿæåíèÿ èëè ïðîòåêàòü áåñêîíå÷íî áîëüøèå òîêè, ìãíîâåííàÿ ìîù-

íîñòü

p

— âåëè÷èíà âñåãäà êîíå÷íàÿ, è ïîýòîìó â òàêèõ öåïÿõ íå ìîæåò áûòü ìãíî-

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

21

âåííîãî èçìåíåíèÿ íàêîïëåííîé â ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëÿõ ýíåðãèè.

Åñëè èçìåíåíèå ýíåðãèè âî âðåìÿ êîììóòàöèè çà âðåìÿ

D

t

®

0 îáîçíà÷èì

D

W

=

W

(+0) –

W

(–0), òî ïîëó÷èì

D

W

=

p

D

t

®

0 è, ñëåäîâàòåëüíî,

W

(+0)

=

W

(– 0).

Òàê êàê ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà è ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî

ïîëÿ èíäóêòèâíîé êàòóøêè ðàâíû

W

Cu

W

Li

C

L

ý

ì

è

=

=

2

2

2

2,

òî ðàâåíñòâî

D

W

=

0 îçíà÷àåò, ÷òî â ìîìåíò êîììóòàöèè èìåþòñÿ óñëîâèÿ

u

u

i

i

C

C

L

L

( )

( )

( )

( ),

+

=

-

+

=

-

0

0

0

0

è

ò. å.

â ìîìåíò êîììóòàöèè îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè íàïðÿæåíèÿ íà îáêëàäêàõ

êîíäåíñàòîðîâ è òîêè â èíäóêòèâíûõ êàòóøêàõ

.

Òàê êàê â ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ öåïÿõ êàæäûé ýëåìåíò îáëàäàåò è èíäóêòèâíî-

ñòüþ, è åìêîñòüþ, òî â íèõ íå ìîãóò ñêà÷êîì èçìåíÿòüñÿ íè òîêè, íè íàïðÿæåíèÿ.

Îäíàêî åñëè, àáñòðàãèðóÿñü îò äåéñòâèòåëüíîñòè, ïðåíåáðå÷ü ðàñïðåäåëåííîé

åìêîñòüþ êàòóøêè, òî ïîëó÷èì, ÷òî íàïðÿæåíèå íà êàòóøêå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ

ñêà÷êîì. Òî÷íî òàê æå, åñëè ïîëíîñòüþ ïðåíåáðå÷ü èíäóêòèâíîñòüþ êîíäåíñàòî-

ðà, òî â íåì òîê ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ñêà÷êîì.

Íàêîíåö, åñëè â ðåçóëüòàòå èäåàëèçàöèè ïðîöåññîâ òåîðåòè÷åñêè îêàæåòñÿ

âîçìîæíûì ïîÿâëåíèå äëÿùèõñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîå âðåìÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèõ

íàïðÿæåíèé íà ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ îòäåëüíûõ èíäóêòèâíûõ ó÷àñòêàõ

öåïè, õîòÿ ñóììàðíîå íàïðÿæåíèå è îñòàåòñÿ êîíå÷íûì, èëè îêàæåòñÿ âîçìîæ-

íûì ïîÿâëåíèå äëÿùèõñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîå âðåìÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèõ òîêîâ â

îòäåëüíûõ åìêîñòíûõ ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åííûõ âåòâÿõ öåïè, õîòÿ ñóììàðíûé

òîê âî âñåõ âåòâÿõ è îñòàåòñÿ êîíå÷íûì, òî óñëîâèå

D

W

=

0, âîîáùå ãîâîðÿ, íå áó-

äåò èìåòü ìåñòà, òàê êàê ïðè ýòîì âåëè÷èíà

p

D

t

= ¥×

0 ñòàíîâèòñÿ íåîïðåäåëåí-

íîé. Ýòè îñîáûå ñëó÷àè ðàññìîòðèì â § 9.11.

Åñëè äî êîììóòàöèè ê ìîìåíòó

t

=

–0 ñóùåñòâîâàëè òîêè â êàòóøêàõ è íà-

ïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ, îïðåäåëÿåìûå ïðîöåññîì, ïðîèñõîäèâøèì äî êîì-

ìóòàöèè, òî ãîâîðÿò, ÷òî èìåþò ìåñòî í å í ó ë å â û å í à ÷ à ë ü í û å ó ñ ë î â è ÿ.

 ñëó÷àå æå, êîãäà òîêè â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ äî êîììó-

òàöèè áûëè ðàâíû íóëþ, ïðèíÿòî ãîâîðèòü, ÷òî èìåþò ìåñòî í ó ë å â û å í à -

÷ à ë ü í û å ó ñ ë î â è ÿ.

Ðàññìîòðåííûå âûøå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ

u

u

i

i

C

C

L

L

( )

( )

( )

( )

+

=

-

+

=

-

0

0

0

0

è

è ñëóæàò äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ

A

ks

. Ñ ýòîé

öåëüþ íàõîäèì íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ òîêà

i

k

è âñåõ åãî ïðîèçâîäíûõ äî (

n

– 1)-é

âêëþ÷èòåëüíî, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ öåïè è ïîäñòàâëÿÿ â íèõ çàäàííûå íà÷àëü-

íûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèé íà êîíäåíñàòîðàõ è òîêîâ â êàòóøêàõ.

Èìåÿ ðåøåíèÿ äëÿ òîêà

i

k

â ôîðìå

i

i

A e

k

k

ks

t

s

n

s

= ¢ +

=

å

a

1

22

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé