Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003.pdf

Íà ðèñ. 9.8 ïðèâåäåíû êðèâûå

u

(

t

)

, i

¢(

t

)

, i

²(

t

)

,

è

i

(

t

)

.

Ïðè

t

=

0 íà÷àëüíîå çíà÷å-

íèå ñâîáîäíîãî òîêà

i

²

ðàâíî è ïðîòèâîïîëîæíî òîêó

i

¢

è

i

=

0. Íà÷àëüíîå çíà÷å-

íèå ñâîáîäíîãî òîêà çàâèñèò îò íà÷àëüíîé ôàçû

y

íàïðÿæåíèÿ. Íàèáîëüøåå íà-

÷àëüíîå çíà÷åíèå ñâîáîäíîãî òîêà, ðàâíîå àìïëèòóäå

I

m

óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà,

èìååò ìåñòî, åñëè

y

–

j = ±p

/2

.

Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ðåçóëüòèðóþùåãî òîêà, êàê

âèäíî èç ðèñ. 9.8, íå ïðåâûøàåò äâîéíîé àìïëèòóäû

óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà. Ñâîáîäíûé òîê âîîáùå íå âîç-

íèêàåò, è ñðàçó íàñòóïàåò óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì ïðè

óñëîâèè

y = j

.

Ïðèìåíèòåëüíî ê ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å óðàâ-

íåíèå ñîñòîÿíèÿ äîëæíî áûòü ñîñòàâëåíî äëÿ åäèíñò-

âåííîé ïåðåìåííîé ñîñòîÿíèÿ — òîêà â èíäóêòèâíîé

êàòóøêå. Çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà ðåçèñòîðå, âûðàæåí-

íîå ÷åðåç ïåðåìåííóþ ñîñòîÿíèÿ

i,

ðàâíî

ri.

Èç âòîðîãî

çàêîíà Êèðõãîôà èìååì

di

dt

r

L

i U

L

t

m

= -

+

+

sin(

.

w y )

Ïðè

i

(+0)

=

I

îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåò èìåòü âèä

( )

i e I U

L

e

d

r

L

t

m

r

L

t

t

=

+

+

-

-

-

ò

t

wt y) t.

0

sin(

Ïðîèçâåäÿ äîâîëüíî ïðîñòûå, íî ìíîãî÷èñëåííûå îïåðàöèè ïî èíòåãðèðîâà-

íèþ, ïîäñòàíîâêå ïðåäåëîâ è ðÿä ïðåîáðàçîâàíèé, ïîëó÷èì

i Ie

U

r

L

t

U

r

L

e

r

L

t

m

m

r

=

+

+

+ -

+

-

-

-

2

2 2

2

2 2

w

w y j) -

w

yj)

sin(

sin(

L

t

L

r

; j

w

=

arctg

.

Ýòî âûðàæåíèå ïðè

I

=

0 ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííûì ðàíåå êëàññè÷åñêèì ìåòî-

äîì óðàâíåíèåì äëÿ òîêà

i

. Ïðèâåäåííûé ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ îáùåãî ðåøå-

íèÿ äëÿ ìåòîäà óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìå-

íåíèå åãî ñîïðÿæåíî ñ âûïîëíåíèåì áîëüøîãî ÷èñëà àíàëèòè÷åñêèõ îïåðàöèé

ïî âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà. Â ýòîì îòíîøåíèè êëàññè÷åñêèé ìåòîä, âî âñÿêîì

ñëó÷àå äëÿ òàêèõ ïðîñòûõ ñëó÷àåâ, áîëåå ïðîäóêòèâåí.

9.6. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè

ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè

r

è

C

Ðàññìîòðèì ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè, ñîñòîÿùåé èç ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ-

÷åííûõ ó÷àñòêà ñ ñîïðîòèâëåíèåì

r

è êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ

C.

Îáîçíà÷èâ íà-

ïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè ÷åðåç

u,

à íàïðÿæåíèå íà îáêëàäêàõ êîíäåíñàòîðà

è çíà÷åíèå åãî çàðÿäà ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç

u

C

è

q,

èìååì

ri u

u

C

+

=

.

Òàê êàê

i dq

dt

d Cu

dt

C du

dt

C

C

=

=

=

(

)

,

28

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 9.8

òî

rC du

dt

u

u

C

C

+

=

.

Ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ñâîáîäíîå íàïðÿæå-

íèå

¢¢

u

C

, áóäåò

rC du

dt

u

C

C

¢¢

+ ¢¢ =

0.

Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

rC

a + =

1 0

èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü

a =

–1/(

rÑ

)

.

Ïîýòîìó

¢¢ =

=

=

-

-

u

Ae

Ae

Ae

C

t

t

rC

t

a

t

,

ãäå

rÑ

=

t

—

ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè ðàññìàòðèâàåìîé öåïè.

Äëÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ïîëó÷èì

u

u

u

u

Ae

C

C

C

C

t

rC

= ¢ + ¢¢ = ¢ +

-

,

ïðè÷åì óñòàíîâèâøååñÿ íàïðÿæåíèå

¢

u

C

ìîæåò áûòü íàéäåíî, åñëè èçâåñòåí âèä

ôóíêöèè

è

(

t

)

,

à ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ

A

îïðåäåëÿåòñÿ ïî íà÷àëüíûì óñëî-

âèÿì.

Ðàññìîòðèì ðÿä ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.

1.

Ïóñòü öåïü (

r, Ñ

) çàìûêàåòñÿ íàêîðîòêî, ÷òî

ñîîòâåòñòâóåò ðàâåíñòâó íóëþ íàïðÿæåíèÿ

u

(ðèñ. 9.9). Äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ íàïðÿæåíèÿ

¢

u

C

íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà èìååì

¢

u

C

=

0 è, ñëåäî-

âàòåëüíî,

u

u

Ae

C

C

t

rC

= ¢¢ =

-

.

Ïîëîæèì, ÷òî ê ìîìåíòó êîììóòàöèè, äî êî-

ðîòêîãî çàìûêàíèÿ, íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ

êîíäåíñàòîðà áûëî ðàâíî

u

C

=

(–0)

=

U

0

. Ñëåäî-

âàòåëüíî, èç óñëîâèÿ

u

C

(+0)

=

u

C

(–0), ïîëàãàÿ

â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè

u

C

=

U

0

è

t

=

0

,

íàõîäèì

U

0

=

A.

Òàêèì îáðàçîì,

è

C

=

U

0

e

t

rC

-

.

Äëÿ òîêà â öåïè ïîëó÷èì

i C du

dt

U

r

e

C

t

rC

=

= -

-

0

.

Ñîãëàñíî ýòîìó ðåøåíèþ, òîê â íà÷àëüíûé ìîìåíò ìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì îò íóëÿ

äî

U

0

/

r.

Ýòî ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì òîãî, ÷òî ìû ïîëíîñòüþ ïðåíåáðåãëè èíäóê-

òèâíîñòüþ öåïè.

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

29

Ðèñ. 9.9

Ýíåðãèÿ, âûäåëÿåìàÿ â âèäå òåïëîòû â ñîïðîòèâëåíèè öåïè, ðàâíà ýíåðãèè,

çàïàñåííîé â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå êîíäåíñàòîðà â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè.

Äåéñòâèòåëüíî,

i r dt U

r

e

dt

CU

t

rC

2

0

0

2

2

0

2

0

1

2

¥

-

¥

ò

ò

=

=

.

Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè

t =

rC

â ðåàëüíûõ óñòðîéñòâàõ ìîæåò èìåòü ñàìûå ðàçëè÷-

íûå çíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð, åñëè êîíäåíñàòîð ñ åìêîñòüþ

C

=

100 ìêÔ ðàçðÿæàåòñÿ

÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå

r

=

100 Îì, òî ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè

t =

100

×

10

–6

×

100

=

0,01 ñ.

Åñëè òîò æå êîíäåíñàòîð îñòàâèòü çàðÿæåííûì è îòêëþ÷åííûì îò îñòàëüíîé

öåïè, òî îí áóäåò ìåäëåííî ðàçðÿæàòüñÿ ÷åðåç ñâîå ñîïðîòèâëåíèå óòå÷êè. Ïóñòü

ýòî ñîïðîòèâëåíèå

r

=

10

9

Îì

.

Òîãäà

t =

100

×

10

–6

×

10

9

=

10

5

ñ

=

27,8 ÷, ò. å. êîíäåíñà-

òîð ñ òàêîé õîðîøåé èçîëÿöèåé ñîõðàíèò ÷åðåç ñóòêè ïðèìåðíî îäíó òðåòü ñâîåãî

íà÷àëüíîãî çàðÿäà.

2.

 êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà èññëåäóåì ïðîöåññ ïðè âêëþ÷åíèè ðàññìàòðèâàå-

ìîé öåïè ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå

è

=

U

=

const (ðèñ. 9.10). Ïóñòü êîíäåíñà-

òîð äî âêëþ÷åíèÿ íå áûë çàðÿæåí, ò. å.

u

C

(–0)

=

0.

Óñòàíîâèâøååñÿ íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîí-

äåíñàòîðà ïîñëå çàâåðøåíèÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà

áóäåò

¢ =

u

U

C

. Òàêèì îáðàçîì,

u

u

u

U Ae

C

C

C

t

rC

= ¢ + ¢¢ = +

-

.

Ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ

A

îïðåäåëèì èç óñ-

ëîâèÿ

u

C

(+0)

=

u

C

(–0)

=

0 è, ïîëàãàÿ â ïîñëåäíåì

óðàâíåíèè

t

=

0, ïîëó÷èì

0

= +

= -

U A

A

U

èëè

.

Ñëåäîâàòåëüíî,

u

U Ue

U

e

C

t

rC

t

= -

=

-

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷

-

-

1

t

.

Äëÿ òîêà â öåïè èìååì

i C du

dt

U

r

e

C

t

=

=

-

t

.

Èç âûðàæåíèÿ äëÿ

è

C

âèäíî, ÷òî íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà è çà-

ðÿä åãî íàðàñòàþò ïî òîìó æå çàêîíó, ÷òî è òîê â öåïè (

r, L

) ïðè âêëþ÷åíèè åå

ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå. ×òî æå êàñàåòñÿ òîêà

i

(ðèñ. 9.10), òî ïðè âêëþ÷å-

íèè öåïè îí ñðàçó ïîëó÷àåò çíà÷åíèå

U

/

r,

òàê êàê â ìîìåíò

t

=

0 íàïðÿæåíèå íà

çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà ðàâíî íóëþ è òîê â öåïè îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü íàïðÿæåíè-

åì

U

è ñîïðîòèâëåíèåì

r

öåïè. Â äàëüíåéøåì íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñà-

òîðà ïîñòåïåííî âîçðàñòàåò è òîê â öåïè óáûâàåò ïî òîìó æå ïîêàçàòåëüíîìó çà-

êîíó, ÷òî è ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà.

Îïðåäåëÿÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëèâøåéñÿ â öåïè âî âðåìÿ çàðÿäà êîí-

äåíñàòîðà, ïîëó÷èì òî æå çíà÷åíèå

1

2

CU

2

, ÷òî è ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà, è ìî-

30

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 9.10

æåì ïîýòîìó ñêàçàòü, ÷òî ïðè

u

=

U

=

const êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïðåâðàùàåìîé

â òåïëîòó ïðè çàðÿäå êîíäåíñàòîðà ÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå, ðàâíî ýíåðãèè, çàïà-

ñàåìîé â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå êîíäåíñàòîðà. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàáîòà èñòî÷íèêà

âíåøíåé ÝÄÑ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ðàâíà

CU

2

, ò. å. óäâîåííîìó çíà÷åíèþ

ýíåðãèè, çàïàñàåìîé â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå êîíäåíñàòîðà. Îäíàêî òàêîå ñîîòíî-

øåíèå èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè âêëþ÷åíèè öåïè (

r, Ñ

) ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæå-

íèå

è

=

U

=

const. Åñëè íàïðÿæåíèå

è

íà çàæèìàõ öåïè óâåëè÷èâàòü ìåäëåííî, òî

ñîîòíîøåíèå ìåæäó êîëè÷åñòâîì ýíåðãèè, ïðåâðàùàåìîé â òåïëîòó, è ýíåðãèåé,

çàïàñàåìîé â êîíäåíñàòîðå, áóäåò áîëåå âûãîäíûì. Ýòî âàæíîå ïîëîæåíèå ïîêà-

æåì íà ïðèìåðå â § 12.3. Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè ýòîì õàðàêòåð èçìåíåíèÿ òîêà è

íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ õàðàêòåðîì íàðàñòàíèÿ íàïðÿ-

æåíèÿ íà çàæèìàõ öåïè è áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåííîãî ïðè

U =

const.

Åñëè êîíäåíñàòîð äî âêëþ÷åíèÿ áûë çàðÿæåí, ò. å. íà åãî îáêëàäêàõ áûëî íà-

ïðÿæåíèå

u

C

(–0)

=

u

C

(0), òî ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ

A

îïðåäåëèòñÿ èç óñëî-

âèÿ

u

C

(+0)

=

u

C

(–0)

=

u

C

(0)

=

U + A

èëè

A

=

[

u

C

(0) –

U

].

 ñëó÷àå

u

C

(0) > 0 (ðèñ. 9.11) êîíäåíñàòîð äîçàðÿæàåòñÿ äî íàïðÿæåíèÿ

U

,

à â ñëó÷àå

u

C

(0) < 0 — ïåðåçàðÿæàåòñÿ îò íà÷àëüíîãî îòðèöàòåëüíîãî íàïðÿæå-

íèÿ äî ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ (ðèñ. 9.12).

3.

Ðàññìîòðèì åùå ïðîöåññ âêëþ÷åíèÿ öåïè (

r, Ñ

) ïîä ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæå-

íèå

è

=

U

m

sin (

w

t +

y

). Íàïðÿæåíèå

u

C

íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà â óñòàíîâèâ-

øåìñÿ ðåæèìå ïðè ýòîì áóäåò ðàâíî (ñì. § 4.4)

¢ =

+ - -

æ
è

ç

ö
ø

÷

u

I

C

t

C

m

w

w

y

j p

sin

.

2

Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà èìååì

u

I

C

t

Ae

C

m

t

=

+ - -

æ
è

ç

ö
ø

÷ +

-

w

w

y

j p

t

sin

.

2

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

31

Ðèñ. 9.11

Ðèñ. 9.12

Çäåñü

I

U

z

z

r

C

r C

rC

m

m

=

=

+ æ

è

ç

ö
ø

÷

=

-

=

;

;

.

2

2

1

1

w

j

w

t

arctg

è

Ïîñòîÿííàÿ

A

îïðåäåëÿåòñÿ èç íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó äîëæ-

íî áûòü çàäàíî íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà

u

C

(–0) äî âêëþ÷åíèÿ

öåïè. Åñëè êîíäåíñàòîð íå áûë çàðÿæåí, òî

u

C

(

–

0)

=

0 è, ñëåäîâàòåëüíî,

u

u

I

C

A

C

C

m

( )

( )

sin

,

+

=

-

= =

- -

æ
è

ç

ö
ø

÷ +

0

0

0

2

w

y j p

îòêóäà

A

I

C

m

= -

- -

æ
è

ç

ö
ø

÷

w

y j p

sin

.

2

Òàêèì îáðàçîì,

u

I

C

t

I

C

e

C

m

m

t

=

+ - -

æ
è

ç

ö
ø

÷ -

- -

æ
è

ç

ö
ø

÷

-

w

w y j p

w

y j p

t

sin

sin

.

2

2

Äëÿ òîêà â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èì

(

)

i C du

dt

i i

I

t

I

r C

e

C

m

m

=

= ¢

¢¢ =

+ -

+

- -

æ
è

ç

ö
ø

÷

-

+

sin

sin

w y j

w

y j p

2

t

t

.

Åñëè êîíäåíñàòîð áûë ïðåäâàðèòåëüíî çàðÿæåí, òî

u

C

(

–

0)

=

u

C

(+0) è, ñëåäî-

âàòåëüíî,

u

u

u

I

C

A

C

C

C

m

( )

( )

( )

sin

,

+

=

-

=

=

- -

æ
è

ç

ö
ø

÷ +

0

0

0

2

w

y j p

îòêóäà è îïðåäåëèòñÿ ïîñòîÿííàÿ

A.

Èç ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé âèäíî, ÷òî ïåðåõîäíûé

ïðîöåññ çàâèñèò îò âåëè÷èíû

y

.

Åñëè

y = j ± p

/2, òî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ íå âîçíèêàåò

è ñðàçó æå íàñòóïàåò óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì. Ïðè

y = j ± p

/2 óñòàíîâèâøååñÿ íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòî-

ðå â ìîìåíò

t

=

0 ðàâíî íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, èìååòñÿ

ïîëíîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó çàïàñîì ýíåðãèè â êîíäåíñà-

òîðå äî âêëþ÷åíèÿ (â äàííîì ñëó÷àå íóëü) è çàïàñîì

ýíåðãèè, êîòîðûé äîëæåí áûòü â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæè-

ìå (â äàííîì ñëó÷àå òàêæå íóëü). Ïîýòîìó ïåðåõîäíûé

ïðîöåññ è íå âîçíèêàåò.

Åñëè âêëþ÷åíèå ïðîèñõîäèò ïðè

y = j

, òî ñâîáîäíîå íàïðÿæåíèå

¢¢

u

C

áóäåò

íàèáîëüøèì è â íà÷àëüíûé ìîìåíò èìååò çíà÷åíèå

I

m

/(

w

C

). Íà÷àëüíîå çíà÷å-

íèå ñâîáîäíîãî òîêà ïðè ýòîì áóäåò –

I

m

/(

w

Cr

). Åñëè

w

rÑ

<< 1, ò. å.

r

<< 1/(

w

C

),

òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò ïðîèñõîäèò áîëüøîé âñïëåñê òîêà, íàìíîãî ïðåâîñõîäÿ-

ùèé àìïëèòóäó

I

m

(ðèñ. 9.13). Îäíàêî òàêîé áîëüøîé òîê ïðîòåêàåò íåçíà÷è-

òåëüíóþ ÷àñòü ïåðèîäà, òàê êàê

w

Cr

=

2

p

T

t

<< 1, è, ñëåäîâàòåëüíî,

t

<<

T.

32

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 9.13