Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.01.2021
Просмотров: 7893
Скачиваний: 5
Ãëàâà ïÿòíàäöàòàÿ
Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
15.1. Çàäà÷à ñèíòåçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Âñå èçëîæåííîå ðàíåå îòíîñèëîñü ê àíàëèçó ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ,
ò. å. ê èññëåäîâàíèþ èçìåíåíèé âî âðåìåíè òîêîâ è íàïðÿæåíèé â çàäàííîé
ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Îäíàêî èñêëþ÷èòåëüíîå çíà÷åíèå èìååò îáðàòíàÿ çàäà÷à —
ïîñòðîèòü òàêóþ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ïðîöåññû â êîòîðîé áóäóò ïðîòåêàòü ïî
çàäàííîìó çàêîíó. Ðåøåíèå ïîäîáíûõ çàäà÷, îáðàòíûõ çàäà÷å àíàëèçà, íîñèò íà-
èìåíîâàíèå ñ è í ò å ç à ý ë å ê ò ð è ÷ å ñ ê è õ ö å ï å é.
Ïóñòü ñòàâèòñÿ çàäà÷à ñîçäàòü öåïü ñ òðåáóåìûìè õàðàêòåðèñòèêàìè èç ëè-
íåéíûõ ýëåìåíòîâ. Âõîäíàÿ âåëè÷èíà (íàïðÿæåíèå èëè òîê) ÿâëÿåòñÿ çàäàííîé
ôóíêöèåé âðåìåíè
x
1
(
t
). Åå îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå
X
1
(
p
), ñëåäîâàòåëüíî, òàê-
æå èçâåñòíî. Çàäàí òàêæå è òðåáóåìûé çàêîí èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè âûõîäíîé
âåëè÷èíû
x
2
(
t
) (íàïðÿæåíèÿ èëè òîêà), è, ñîîòâåòñòâåííî, èçâåñòíî åå îïåðàòîð-
íîå èçîáðàæåíèå
X
2
(
p
)
.
Òàêèì îáðàçîì, èìååì âûðàæåíèå
K
(
p
)
=
X
2
(
p
)/
X
1
(
p
) äëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíê-
öèè, êîòîðîé äîëæíà îáëàäàòü ñîçäàâàåìàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü, ïðåîáðàçóþùàÿ
x
1
(
t
) â
x
2
(
t
).
Çàäà÷à, ñëåäîâàòåëüíî, ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïî çàäàííîìó îïåðàòîðíîìó âû-
ðàæåíèþ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè
K
(
p
) öåïè èëè, ñîîòâåòñòâåííî, ïî çàäàííîé ÷àñ-
òîòíîé õàðàêòåðèñòèêå
K
(
j
w
) öåïè ïîñòðîèòü êîíêðåòíóþ öåïü, îáëàäàþùóþ òà-
êîé õàðàêòåðèñòèêîé èëè õîòÿ áû õàðàêòåðèñòèêîé, áëèçêîé ê çàäàííîé.
Âõîäíûå ñîïðîòèâëåíèå èëè ïðîâîäèìîñòü äâóõïîëþñíèêà ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü êàê ÷àñòíûå ñëó÷àè ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè, åñëè â êà÷åñòâå âõîäíîé ôóíê-
öèè ðàññìàòðèâàòü îäíó èç âåëè÷èí — òîê èëè íàïðÿæåíèå íà âõîäå, à â êà÷åñòâå
âûõîäíîé — äðóãóþ èç ýòèõ âåëè÷èí: íàïðÿæåíèå èëè òîê íà âõîäå. Íåðåäêî äëÿ
îáùíîñòè è êðàòêîñòè âõîäíûå è ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè öåïè íàçûâàþò ïðîñòî
ô ó í ê ö è ÿ ì è ö å ï è è îáîçíà÷àþò ÷åðåç
F
(
p
).
Ôóíêöèè öåïè äëÿ ëèíåéíûõ öåïåé ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè ÿâëÿ-
þòñÿ ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè êîìïëåêñíîé ÷àñòîòû
p
= s
+
j
w
. Èõ ñâîéñòâà,
à ñëåäîâàòåëüíî, è ñâîéñòâà îïèñûâàåìûõ èìè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì íóëåé è ïîëþñîâ ýòèõ ôóíêöèé. Ôóíêöèè öåïè
ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû òàêæå â âèäå ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê.
Ïðè àíàëèçå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ìû âèäåëè, ÷òî ðàçëè÷íûå ýëåêòðè÷åñêèå
öåïè ìîãóò èìåòü îäèíàêîâóþ ïî âèäó ôóíêöèþ öåïè. Íàïðèìåð, äâå ðàçëè÷íûå
öåïè íà ðèñ. 13.13 ÿâëÿþòñÿ äèôôåðåíöèðóþùèìè öåïÿìè è èìåþò îäèíàêîâûé
âèä ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè, à òàêæå äâå ðàçëè÷íûå öåïè íà ðèñ. 13.14 ÿâëÿþò-
ñÿ èíòåãðèðóþùèìè è îáëàäàþò ïåðåäàòî÷íûìè ôóíêöèÿìè îäèíàêîâîãî âèäà.
Óæå îòñþäà âèäíî, ÷òî îäíà è òà æå çàäà÷à ñèíòåçà ìîæåò èìåòü ðàçëè÷íûå êîí-
êðåòíûå ðåøåíèÿ, ò. å. ðåøåíèå åå íåîäíîçíà÷íîå.
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ, íàîáîðîò, êîíêðåòíîå ðåøåíèå çàäà÷è ñèíòåçà ñ ïîìî-
ùüþ ëèíåéíûõ ïàññèâíûõ öåïåé ìîæåò îòñóòñòâîâàòü, íàïðèìåð, åñëè äëÿ ðåà-
ëèçàöèè çàäàííîé ôóíêöèè òðåáóåòñÿ èìåòü â öåïè îòðèöàòåëüíîå àêòèâíîå ñî-
ïðîòèâëåíèå.
 ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàþò ñëåäóþùèå îñíîâíûå âîïðîñû ñèíòåçà öåïè ïî çà-
äàííîé ôóíêöèè öåïè
F
(
p
)
.
Ïåðâûì âîïðîñîì ÿâëÿåòñÿ âûÿñíåíèå âîçìîæíîñòè ôèçè÷åñêîé ðåàëèçàöèè
öåïè, ñîîòâåòñòâóþùåé çàäàííîé ôóíêöèè
F
(
p
), ñ ïîìîùüþ îáû÷íûõ ýëåìåí-
òîâ — êîíäåíñàòîðîâ, êàòóøåê, ðåçèñòîðîâ.
Åñëè ôóíêöèÿ çàäàíà ãðàôè÷åñêè â âèäå ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè èëè ÿâ-
íîé ôóíêöèè âðåìåíè, òî â ñâÿçè ñ ýòèì âîïðîñîì âîçíèêàåò çàäà÷à åå àíàëèòè-
÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ôèçè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ öåïè áûëà
âîçìîæíîé.
Âòîðûì âîïðîñîì ñèíòåçà ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà ìåòîäà êîíêðåòíîé ðåàëèçà-
öèè çàäàííîé ôóíêöèè ñíà÷àëà â âèäå ñõåìû öåïè, à çàòåì è â âèäå ôèçè÷åñêîé
ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ïðè ýòîì âàæíûì ïðåäñòàâëÿåòñÿ âûáîð ðàöèîíàëüíîãî
ïóòè ðåàëèçàöèè ââèäó óêàçàííîé ðàíåå ìíîãîçíà÷íîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è; â ÷à-
ñòíîñòè, îêàçûâàþòñÿ âîçìîæíûìè ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñõåìû öåïè
ñ öåëüþ óìåíüøåíèÿ ÷èñëà åå ýëåìåíòîâ.
Äëÿ âûðàáîòêè òðåáîâàíèé, ïðåäúÿâëÿåìûõ ê ôóíêöèè
F
(
p
) â îòíîøåíèè
åå ðåàëèçóåìîñòè ïðè ïîìîùè ïàññèâíûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, ðàñ-
ñìîòðèì â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå íåêîòîðûå ñâîéñòâà âõîäíûõ ôóíêöèé
Z
(
p
)
è
Y
(
p
) ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.
15.2. Ñâîéñòâà âõîäíûõ ôóíêöèé
ïàññèâíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
 íàñòîÿùåì è â ÷åòûðåõ ïîñëåäóþùèõ ïàðàãðàôàõ áóäåì ðàññìàòðèâàòü âõîä-
íûå îïåðàòîðíûå è êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèÿ è ïðîâîäèìîñòè, ò. å. âõîäíûå
ôóíêöèè äâóõïîëþñíèêîâ, òàê êàê äëÿ íèõ ìîæíî íàèáîëåå ëåãêî óÿñíèòü óñëî-
âèå ôèçè÷åñêîé ðåàëèçàöèè çàäàííîé ôóíêöèè
F
(
p
) ñ öåëüþ ñèíòåçà äâóõïîëþñ-
íèêîâ. Â ïîñëåäíåì ïàðàãðàôå ãëàâû ðàññìîòðèì áîëåå ñëîæíûé âîïðîñ —
î ñèíòåçå ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ ïî çàäàííîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè.
Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíûå ñâîéñòâà âõîäíûõ ôóíêöèé ïàññèâíûõ ýëåêòðè÷å-
ñêèõ öåïåé, óñòàíîâëåííûå èëè æå âûòåêàþùèå èç ðàññìîòðåííîãî ðàíåå.
Ïåðâûì ñâîéñòâîì âõîäíûõ îïåðàòîðíûõ ñîïðîòèâëåíèé
Z
(
p
) è ïðîâîäèìî-
ñòåé
Y
(
p
) ïàññèâíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè áóäóò âåùåñòâåí-
íûìè ïðè âåùåñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ
p
(
p
= s
)
.
Äåéñòâèòåëüíî, êîýôôèöèåíòû
ïîëèíîìîâ îò
p
â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå âåëè÷èí
Z
(
p
) è
Y
(
p
) ÿâëÿþòñÿ âåùå-
ñòâåííûìè, òàê êàê îíè îáðàçóþòñÿ ñóììàìè, ðàçíîñòÿìè, ïðîèçâåäåíèÿìè è ÷à-
ñòíûìè îò äåëåíèÿ âåùåñòâåííûõ ïàðàìåòðîâ
R
,
L
,
C
ó÷àñòêîâ öåïè. Ïîýòîìó
ïðè
p
âåùåñòâåííîì
Z
(
p
) è
Y
(
p
) áóäóò âåùåñòâåííûìè.
Âòîðîå ñâîéñòâî âåëè÷èí
Z
(
p
) è
Y
(
p
), îòìå÷åííîå â § 10.6, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì,
÷òî èõ ïîëþñû è íóëè ðàñïîëàãàþòñÿ òîëüêî â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè êîìïëåêñ-
íîãî îïåðàòîðà
p
= s
+
j
w
(êîìïëåêñíîé ÷àñòîòû) èëè íà îñè ìíèìûõ, ò. å.
s
k
£
0,
ïðè÷åì â ñëó÷àå
s
k
=
0 ïîëþñû è íóëè ïðîñòûå. Ïðè ýòîì âñå êîýôôèöèåíòû ïî-
ëèíîìîâ îò
p
, ñòîÿùèõ â ÷èñëèòåëå è â çíàìåíàòåëå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, âûðà-
Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
229
æàþùèõ
Z
(
p
) è
Y
(
p
), ïîëîæèòåëüíû. Äåéñòâèòåëüíî, ðàçëîæèâ ïîëèíîì íà ìíî-
æèòåëè:
a p
a p
a
a p p
p p
p p
n
n
n
n
n
n
n
+
+ +
=
-
-
-
-
-
-
1
1
0
1
1
K
K
(
)(
) (
),
áóäåì èìåòü äëÿ êàæäîé ïàðû ñîïðÿæåííûõ êîìïëåêñíûõ êîðíåé
&
p
k
è
&
*
p
p
k
k
+
=
1
ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæèòåëåé âèäà
(
p
–
&
p
k
)(
p
–
p
k
*
)
=
(
p
–
s
k
–
j
w
k
)(
p
–
s
k
+
j
w
k
)
=
(
p
–
s
k
)
2
+
w
k
2
è äëÿ âåùåñòâåííûõ êîðíåé
p
i
ìíîæèòåëè âèäà
p
–
p
i
=
p
–
s
i
. Îòñþäà âèäíî, ÷òî
åñëè âñå
s
k
£
0 è
s
i
£
0, òî ìíîæèòåëè, íà êîòîðûå ðàçëîæåí ïîëèíîì, íå ñîäåðæàò
îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå êîýôôèöèåíòû
a
n
,
a
n
–1
, ...,
a
0
ïîëèíî-
ìà ïîëîæèòåëüíû.
Òðåòüèì âàæíûì ñâîéñòâîì ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî èõ
âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü ïîëîæèòåëüíà èëè ðàâíà íóëþ: Re [
Z
(
p
)]
³
0 è Re [
Y
(
p
)]
³
0,
ò. å. íå îòðèöàòåëüíà ïðè óñëîâèè, ÷òî
s ³
0. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü
s =
0, ò. å.
p
=
j
w
.  ýòîì ñëó÷àå
Z
(
j
w
) è
Y
(
j
w
), êàê áûëî óêàçàíî â § 10.3, ÿâëÿþòñÿ îáû÷íû-
ìè êîìïëåêñíûìè ñîïðîòèâëåíèåì è ïðîâîäèìîñòüþ. Ïðè íàëè÷èè îòëè÷àþùå-
ãîñÿ îò íóëÿ ïîëîæèòåëüíîãî àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ õîòÿ áû â îäíîé âåò-
âè äâóõïîëþñíèêà àêòèâíàÿ ìîùíîñòü íà âõîäå äâóõïîëþñíèêà ïîëîæèòåëüíà
è, ñëåäîâàòåëüíî, àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå è àêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü âñåãî äâóõ-
ïîëþñíèêà òàêæå ïîëîæèòåëüíû, ò. å. Re [
Z
(
j
w
)] > 0. Êîãäà â öåïè èìåþòñÿ òîëü-
êî ðåàêòèâíûå ýëåìåíòû, òî Re [
Z
(
j
w
)]
=
0. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî Re [
Z
(
p
)] > 0
äàæå äëÿ ÷èñòî ðåàêòèâíîé öåïè, åñëè
s
> 0. Íàïðèìåð, äëÿ öåïè íà ðèñ. 15.1,
à
èìååì â ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ:
Z p
pL
pC
j L
j C
L j L
C j C
( )
(
)
(
)
.
=
+
=
+
+
+
=
+
+
+
1
1
1
s
w
s
w
s
w
s
w
Ýòî âûðàæåíèå ïî ôîðìå ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì äëÿ êîìïëåêñíîãî
ñîïðîòèâëåíèÿ
Z
(
j
w) =
r
+
j
w
L
+ 1/(
g
+
j
w
C
) öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 15.1,
á.
Ïîñëåäíåå ïðè
r
> 0 è
g
> 0 èìååò âåùåñòâåííóþ ÷àñòü áîëüøå íóëÿ, òî÷íî òàê æå
è âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü îïåðàòîðíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ
Z
(
p
) öåïè íà ðèñ. 15.1,
à
ïðè
s
> 0 áîëüøå íóëÿ. Äëÿ ëþáîé ñëîæíîé öåïè, ñîñòîÿùåé
òîëüêî èç ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, àíàëîãè÷íî ìîæåò áûòü
ïîñòðîåíà öåïü, ñîäåðæàùàÿ àêòèâíûå ýëåìåíòû, ïðè÷åì
ïîñëåäîâàòåëüíî ñ êàæäîé êàòóøêîé
L
i
äîáàâëÿåòñÿ ñîïðî-
òèâëåíèå
r
i
= s
L
i
è ïàðàëëåëüíî êàæäîìó êîíäåíñàòîðó
C
i
äîáàâëÿåòñÿ ïðîâîäèìîñòü
g
i
= s
C
i
. Ïðè ýòîì îïåðàòîðíîå
âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå
Z
(
p
) ðåàêòèâíîé öåïè ïðè
p
= s
+
j
w
è
s
> 0 áóäåò ïî ôîðìå ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íûì êîìïëåêñíîìó ñî-
ïðîòèâëåíèþ
Z
(
j
w
) âñåé öåïè ñ äîáàâëåííûìè àêòèâíûìè ýëåìåíòàìè. Àêòèâ-
íîå ñîïðîòèâëåíèå ïîñëåäíåé öåïè
r
=
Re [
Z
(
j
w
)] áîëüøå íóëÿ èç ôèçè÷åñêèõ ñî-
îáðàæåíèé, òàê êàê äëÿ íåå àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ïîëîæèòåëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî,
è Re [
Z
(
p
)] > 0 ïðè
s
> 0 äëÿ ðåàêòèâíîé öåïè. Ýòî óñëîâèå è ïîäàâíî èìååò
ìåñòî äëÿ öåïè, ñîäåðæàùåé àêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ è ïðîâîäèìîñòè.
230
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 15.1
Ôóíêöèè, îáëàäàþùèå óêàçàííûìè âûøå ñâîéñòâàìè, íàçûâàþò ï î ë î æ è -
ò å ë ü í û ì è â å ù å ñ ò â å í í û ì è ô ó í ê ö è ÿ ì è.
Èç èçëîæåííîãî âûòåêàåò, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü
F p
a p
a p
a
b p
b p
b
G p
Q p
n
n
n
n
m
m
m
m
( )
( )
( )
=
+
+ +
+
+ +
=
-
-
-
-
1
1
0
1
1
0
K
K
ïðåäñòàâëÿëà ñîáîé îïåðàòîðíîå âûðàæåíèå âõîäíîé ôóíêöèè è ìîãëà áûòü ðåà-
ëèçîâàíà â âèäå êîíêðåòíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, îíà äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ïå-
ðå÷èñëåííûì òðåáîâàíèÿì, ò. å. ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äîëæíû èìåòü íóëè
â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè èëè íà îñè ìíèìûõ, âñå êîýôôèöèåíòû
a
k
è
b
k
äîëæíû
áûòü âåùåñòâåííûìè è ïîëîæèòåëüíûìè è, íàêîíåö, äîëæíî áûòü Re [
F
(
p
)]
³
0
ïðè Re (
p
)
= s ³
0.
Êðîìå òîãî, â ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûì â § 6.6 ñòåïåíè
n
è
m
ïîëèíîìîâ
÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ íå äîëæíû îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà áîëåå ÷åì íà åäè-
íèöó.
15.3. Ïðåäñòàâëåíèå âõîäíûõ ôóíêöèé â âèäå ïðîñòûõ äðîáåé
Âõîäíóþ ôóíêöèþ
F
(
p
), ÿâëÿþùóþñÿ ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ, ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü â âèäå ñóììû äâó÷ëåíà
A
¥
p
+
A
0
è ïðîñòûõ äðîáåé:
F p
G p
Q p
A p A
A
p p
A
p p
A
p p
m
m
( )
( )
( )
,
=
=
+
+
-
+
-
+ +
-
¥
0
1
1
2
2
K
ãäå
p
1
,
p
2
, ...,
p
m
— êîðíè çíàìåíàòåëÿ
Q
(
p
). Ïðè ýòîì
A
¥
¹
0, åñëè ñòåïåíü
n
÷èñëè-
òåëÿ íà åäèíèöó áîëüøå ñòåïåíè
m
çíàìåíàòåëÿ. Ñëó÷àé
A
¥
=
0 è
A
0
¹
0 èìååò
ìåñòî, åñëè
n
=
m.
Êîãäà
n
=
m
– 1, êîýôôèöèåíòû
A
¥
=
0 è
A
0
=
0. Èíäåêñ
¥
ó ïåð-
âîãî êîýôôèöèåíòà
A
¥
èìååò òîò ñìûñë, ÷òî ýòîò êîýôôèöèåíò ïðè
n
=
m
+ 1
îïðåäåëÿåòñÿ èç âûðàæåíèÿ äëÿ
F
(
p
)
,
ïðèâåäåííîãî â êîíöå ïðåäûäóùåãî ïàðà-
ãðàôà â âèäå
A
F p
p
a
b
p
n
m
¥
=¥
=
=
( )
. Êîýôôèöèåíòû
A
1
, ...,
A
m
îïðåäåëÿþòñÿ ïîñëå
âûäåëåíèÿ äâó÷ëåíà
A
¥
p
+
A
0
ïî ñïîñîáó, èçëîæåííîìó â § 10.5.
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà êîðíè çíàìåíàòåëÿ
Q
(
p
) ëèáî ìíèìûå,
ëèáî âåùåñòâåííûå.
Ìíèìûå êîðíè äîëæíû áûòü ïîïàðíî ñîïðÿæåííûìè. Ïóñòü, íàïðèìåð,
p
k
=
j
w
k
è
p
k
+1
=
–
j
w
k
. Ïðè ýòîì
A
A
jA
A
k
k
k
k
= ¢ +
¢¢
+
è
1
äîëæíû áûòü ñîïðÿæåííûìè
âåëè÷èíàìè, ò. å.
A
A
A
jA
k
k
k
k
+
=
= ¢ -
¢¢
1
*
. Îáúåäèíÿÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ ïàðó ïðî-
ñòûõ äðîáåé, ïîëó÷àåì
A
p p
A
p p
A p j
A p j
p j
p j
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
-
=
+
+
-
-
+
+
+
1
1
(
)
(
)
(
)(
*
w
w
w
w
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
A
A p
A
A j
p
A p
p
A
)
(
)
(
)
*
*
=
=
+
+
-
+
=
¢
+
-
¢¢
w
w
w
w
2
2
2
2
2
2
k
k
p
2
2
+ w
.
Óáåäèìñÿ, ÷òî åñëè ñîáëþäåíî óñëîâèå Re [
F
(
p
)]
³
0 ïðè
s ³
0, òî
¢¢ =
A
k
0
.
Ïóñòü
p
= s ®
0, òîãäà èç ýòîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî (–2
¢¢
A
k
/
w
k
)
³
0 è, ñëåäîâà-
Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
231
òåëüíî,
¢¢
A
k
£
0. Ïóñòü òåïåðü
p
=
j
w
è
w
>
w
k
, ò. å.
p
2
+
w
k
2
=
–
w
2
+
w
k
2
< 0. Òîãäà èç
òîãî æå óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî
-
¢¢
-
+
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ ³
2
0
2
2
A
k
k
k
w
w
w
, ò. å.
¢¢
A
k
³
0. Îáà íåðàâåíñòâà äëÿ
¢¢
A
k
óäîâëåòâîðÿþòñÿ îäíîâðåìåííî òîëüêî ïðè
¢¢
A
k
=
0. Ó÷èòûâàÿ ýòî, èìååì
A
p p
A
p p
A p
p
B p
p
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
-
=
¢
+
=
+
+
+
1
1
2
2
2
2
2
w
w
,
ãäå
B
k
=
2
¢
A
k
=
2
A
k
—
âåùåñòâåííîå ÷èñëî.
Åñëè êîðåíü
p
i
= s
i
=
–
d
i
âåùåñòâåííûé, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ åìó ïðîñòàÿ
äðîáü èìååò âèä
A
p p
A
p
i
i
i
i
-
=
+ d
.
Òàêèì îáðàçîì, ðàçëîæåíèå ôóíêöèè
F
(
p
) ïðè íàëè÷èè òîëüêî âåùåñòâåííûõ
è ìíèìûõ êîðíåé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
F p
G p
Q p
A p A
B p
p
B p
p
A
p
m
( )
( )
( )
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
¥
-
0
1
2
1
2
3
2
3
2
1
w
w
d
K
m
m
m
A
p
-
+
+
1
d
.
(*)
15.4. Ðåàëèçàöèÿ âõîäíûõ ôóíêöèé äâóõïîëþñíèêà,
èìåþùèõ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå êîðíè çíàìåíàòåëÿ,
ïðè ïîìîùè ðàçëîæåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé íà ïðîñòûå äðîáè
Ïóñòü âñå êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè (*) ôóíêöèè
F
(
p
) âåùåñòâåííû è ïîëî-
æèòåëüíû. Ðàññìîòðèì, êàê ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû îòäåëüíûå ÷ëåíû ýòîãî ðàç-
ëîæåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ
F
(
p
) äîëæíà âûðàæàòü âõîäíîå îïåðàòîð-
íîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè, ò. å.
F
(
p
)
=
Z
(
p
)
.
Ïåðâîå ñëàãàåìîå
A
¥
p
=
Z
¥
(
p
) ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ êàòóøêè ñ èíäóêòèâíî-
ñòüþ
L
¥
=
A
¥
, òàê êàê îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå äëÿ íåå ðàâíî
L
¥
p.
Âòîðîå ñëàãàåìîå
A
0
=
Z
0
(
p
) ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ó÷àñòêà ñ àêòèâíûì ñî-
ïðîòèâëåíèåì
r
0
=
A
0
.
Ñëàãàåìîå, èìåþùåå âèä
B p
p
p B
pB
k
k
k
k
k
2
2
2
1
+
=
+
w
w
(
)
, ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ
ó÷àñòêà öåïè, ñîñòîÿùåãî èç ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ êîíäåíñàòîðà ñ åìêîñòüþ
C
k
è êàòóøêè ñ èíäóêòèâíîñòüþ
L
k
(ðèñ. 15.2). Äåéñòâèòåëüíî, îïåðàòîðíîå ñî-
ïðîòèâëåíèå òàêîãî ó÷àñòêà èìååò âèä
Z
k
(
p
)
=
1
1
pC
pL
k
k
+
(
)
, è, ñëåäîâàòåëüíî,
âûáðàâ
C
k
=
1/
B
k
è
L
k
=
B
k
/
w
k
2
, îñóùåñòâèì òðåáóåìóþ ðåàëèçàöèþ.
232
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 15.2
Ðèñ. 15.3
Ðèñ. 15.4