Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.01.2021
Просмотров: 7913
Скачиваний: 5
ïîñëå âûäåëåíèÿ ïðåäûäóùåé ÷àñòè, ñ ïîñëåäîâàòåëüíîé ðåàëèçàöèåé âûäåëÿå-
ìûõ ÷àñòåé â âèäå èíäóêòèâíîé êàòóøêè èëè êîíäåíñàòîðà. Ïóñòü ôóíêöèÿ
F
(
p
)
èìååò ïîëþñ
p
= ¥
. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñòåïåíü ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ áîëüøå ñòåïå-
íè ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ íà åäèíèöó. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîëîæèì
F
(
p
)
=
Z
(
p
).
Ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü íà çíàìåíàòåëü, âûäåëÿåì öåëóþ ÷àñòü
A
1
p
, ñîîòâåòñòâóþ-
ùóþ ýòîìó ïîëþñó
Z
(
p
)
.
Ïîëó÷àåì
Z p
A p
Z p
( )
( )
( ),
=
+
1
1
ãäå
Z
1
(
p
) — îñòàòîê îò äåëåíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ïðàâèëüíóþ ðàöèî-
íàëüíóþ äðîáü, ñòåïåíü ïîëèíîìà â çíàìåíàòåëå êîòîðîé íà åäèíèöó áîëüøå
ñòåïåíè ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òîãî, ÷òî ïîêàçàòåëè
÷ëåíîâ ïîëèíîìîâ
G
(
p
) è
Q
(
p
) óáûâàþò îò ïðåäûäóùåãî ê ïîñëåäóþùåìó íà
äâå åäèíèöû. Ñëåäîâàòåëüíî, îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ
Y
1
(
p
)
=
1/
Z
1
(
p
) èìååò ñòåïåíü
÷èñëèòåëÿ, íà åäèíèöó áîëüøóþ ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ; ïðîèçâîäÿ ñ íåé àíàëî-
ãè÷íóþ îïåðàöèþ âûäåëåíèÿ öåëîé ÷àñòè
A
2
p
, ñîîòâåòñòâóþùåé åå ïîëþñó
p
= ¥
, ïîëó÷èì
Y p
Z p
A p Y p
1
1
2
2
1
( )
( )
( )
( ).
=
=
+
Ïðîäîëæàÿ äåéñòâîâàòü òàêèì æå îáðàçîì, íàéäåì
Z p
Y p
A p
Z p
2
2
3
3
1
( )
( )
( )
( ).
=
=
+
Ýòó ïðîöåäóðó ïðîäîëæàåì äî òåõ ïîð, ïîêà îñòàòîê íå áóäåò ðàâåí íóëþ. Ñî-
îòâåòñòâåííî òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïåðàöèé ôóíêöèþ
Z
(
p
) ìîæíî ïðåä-
ñòàâèòü â âèäå öåïíîé äðîáè:
Z p
A p
A p
A p
( )
...............................
=
+
+
+
1
2
3
1
1
..
.................................
.
A p
A p
k
k
-
+
+
1
1
0
Èç èçëîæåííîãî âèäíî, ÷òî ôóíêöèþ
F
(
p
)
=
Z
(
p
) ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñ ïîìî-
ùüþ ñõåìû (ðèñ. 15.12), â êîòîðîé ïåðâûì ýëåìåíòîì, âêëþ÷åííûì ïîñëåäîâà-
òåëüíî îñòàëüíîé ÷àñòè ñõåìû, ÿâëÿåòñÿ êàòóøêà ñ èíäóêòèâíîñòüþ
L
1
=
A
1
; âòî-
ðûì ýëåìåíòîì, âêëþ÷åííûì ïàðàëëåëüíî îñòàëüíîé çà íèì ÷àñòè ñõåìû, —
238
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 15.12
êîíäåíñàòîð ñ åìêîñòüþ
C
2
=
A
2
; ñëåäóþùèì ýëåìåíòîì ÿâëÿåòñÿ âíîâü ïîñëåäî-
âàòåëüíî âêëþ÷åííàÿ êàòóøêà
L
3
=
A
3
, äàëåå — ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åííàÿ åìêîñòü
C
4
=
A
4
, è ò. ä. Åñëè
k —
÷åòíîå, òî ñõåìà çàâåðøèòñÿ êîíäåíñàòîðîì ñ åìêîñòüþ
C
k
=
A
k
.
Åñëè
k
— íå÷åòíîå, òî ïîñëåäíèì ýëåìåíòîì áóäåò êàòóøêà ñ èíäóêòèâ-
íîñòüþ
L
k
=
A
k
.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå
k
=
n
, ò. å.
k
ðàâíî ñòåïåíè
÷èñëèòåëÿ.
Äëÿ ðàññìîòðåííîãî ñëó÷àÿ, êîãäà ñòåïåíü ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ
G
(
p
) áîëüøå
ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ
Q
(
p
), ïðè äåëåíèè ñëàãàåìûå ïîëèíîìîâ ñëåäóåò ðàñïîëà-
ãàòü ïî óáûâàþùèì ñòåïåíÿì è âûäåëÿåìûå öåëûå ÷àñòè
Ap
ïîëó÷àþòñÿ êàê ðå-
çóëüòàò äåëåíèÿ ïåðâîãî ÷ëåíà ÷èñëèòåëÿ íà ïåðâûé ÷ëåí çíàìåíàòåëÿ. Ïðè ýòèõ
æå óñëîâèÿõ, åñëè áû ìû ïðèíÿëè
F
(
p
)
=
Y
(
p
), ïîëó÷èëè áû ïåðâûé ÷ëåí
Ap
êàê îïåðàòîðíóþ åìêîñòíóþ ïðîâîäèìîñòü
C
1
p
, ò. å. ñõåìà íà÷èíàëàñü áû ñ ïðè-
êëþ÷åííîãî ïàðàëëåëüíî êî âñåé îñòàëüíîé öåïè êîíäåíñàòîðà
C
1
(ðèñ. 15.13).
Ïðè ýòîì â ñëó÷àå
k
=
n
— ÷åòíîãî ñõåìà çàêàí÷èâàåòñÿ êàòóøêîé (ðèñ. 15.13,
à
)
è ïðè
k —
íå÷åòíîì — êîíäåíñàòîðîì (ðèñ. 15.13,
á
)
Åñëè ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ
n
ìåíüøå ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ íà åäèíèöó, òî ìîæíî
âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì æå ìåòîäîì, ôîðìàëüíî äîáàâèâ â ïîëèíîìå ÷èñëèòåëÿ ÷ëåí
a
n
+2
p
n
+2
ñ
a
n
+2
=
0. Ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷èì â ïåðâîé âûäåëåííîé ÷àñòè
A
i
p
êîýô-
ôèöèåíò
A
1
=
0, ò. å. â ñõåìàõ íà ðèñ. 15.12 áóäåì èìåòü
L
1
=
0, à íà ðèñ. 15.13 — ñî-
îòâåòñòâåííî,
C
1
=
0
.
×èñëî ðåàëüíûõ, îòëè÷íûõ îò íóëÿ ýëåìåíòîâ â ñõåìå áóäåò
ðàâíÿòüñÿ
n
+ 2 – 1
=
m
, ò. å. ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ðåàëü-
íûõ ýëåìåíòîâ ðàâíî íàèâûñøåé ñòåïåíè ïîëèíîìîâ â ðàöèîíàëüíîé äðîáè.
Ìîæíî áûëî áû è íå ïðèáåãàòü ê èñêóññòâåííîìó ïðèåìó äîáàâëåíèÿ â ÷èñ-
ëèòåëå
F
(
p
) ñëàãàåìîãî
a
n
+2
p
n
+2
, èìåþùåãî
a
n
+2
=
0, à íà÷àòü îïåðàöèè ïî îòíîøå-
íèþ ê îáðàòíîé âåëè÷èíå
F
(
p
).
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà ôóíêöèÿ
F
(
p
) èìååò ïîëþñ
p
=
0. Ýòî îçíà-
÷àåò, ïîëèíîì çíàìåíàòåëÿ íå÷åòíîé ñòåïåíè, ò. å.
m —
íå÷åòíîå.  ýòîì ñëó÷àå
ìîæíî îñóùåñòâèòü ðåàëèçàöèþ òåì æå ñïîñîáîì ïîñòðîåíèÿ öåïíîé äðîáè, íî
â äðóãîì ïîðÿäêå, à èìåííî âûäåëÿÿ ÷àñòè ñîîòâåòñòâåííî ïîëþñàì ïðè
p
=
0.
Ïîëó÷àåìàÿ ïðè ýòîì öåïíàÿ äðîáü èìååò âèä
F p
D p
D p
D p
( )
...............................
=
+
+
+
1
2
3
1
1
..
.................................
.
D
p
D p
k
k
-
+
+
1
1
0
Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
239
Ðèñ. 15.13
×ëåí
D
1
/
p
ïîëó÷àåòñÿ äåëåíèåì ïåðâîãî ÷ëåíà ïîëèíîìà â ÷èñëèòåëå íà ïåð-
âûé ÷ëåí ïîëèíîìà â çíàìåíàòåëå, åñëè ñëàãàåìûå ýòèõ ïîëèíîìîâ ðàñïîëîæèòü
ïî âîçðàñòàþùèì ñòåïåíÿì. Åñëè ñòåïåíü
m
çíàìåíàòåëÿ ôóíêöèè
F
(
p
)
—
÷åò-
íàÿ, à ñòåïåíü
n
÷èñëèòåëÿ — íå÷åòíàÿ, òî òàêîé æå ïîðÿäîê îáðàçîâàíèÿ öåïíîé
äðîáè ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ ôóíêöèè 1/
F
(
p
).
Ïðîèëëþñòðèðóåì èçëîæåííîå âûøå íà òîì æå ïðèìåðå, êîòîðûé áûë ðàñ-
ñìîòðåí â êîíöå ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà.
Ïóñòü
F p
Z p
p
p
p
p
p
( )
( )
.
=
=
+
+
+
+
5
3
4
2
6
8
4
3
Âûäåëèì ÷àñòü
Z
(
p
), ñîîòâåòñòâóþùóþ åå ïîëþñó
p
= ¥
, ò. å. ïðåäñòàâèì
Z
(
p
)
â âèäå
F
(
p
)
=
A
1
p
+
Z
1
(
p
). Çäåñü
A
a
b
Z p
p
p
p
p
n
m
1
1
3
4
2
1
2
5
4
3
=
=
=
+
+
+
,
( )
.
à
Îáðàòíàÿ îñòàòêó
Z
1
(
p
) ôóíêöèÿ
Y p
Z p
p
p
p
p
1
1
4
2
3
1
4
3
2
5
( )
( )
=
=
+
+
+
èìååò ïîëþñ
p
= ¥
. Âûäåëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ åìó ÷àñòü, ïîëó÷èì
Y
1
(
p
)
=
1
2
p
+
Y
2
(
p
), ãäå
Y
2
(
p
)
=
3
2
2
3
3
2
5
p
p
p
+
+
.
Òåïåðü óæå ôóíêöèÿ
Z p
Y p
p
p
p
2
2
3
3
2
2
1
2
5
3
( )
( )
=
=
+
+
èìååò ïîëþñ
p
= ¥
.
Âûäåëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ åìó ÷àñòü, íàõîäèì
Z p
p Z p
Z p
p
p
2
3
3
3
2
2
4
3
3
( )
( ),
( )
.
=
+
=
+
ãäå
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåì
Y p
Z p
p
p
p
p
3
3
2
1
3
2
3 3
2
3
( )
( )
.
=
=
+
=
+
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû ñõåìû:
L
C
L
C
L
1
2
3
4
5
1
1
2
4
3
3
2
1
3
=
=
=
=
=
;
;
;
;
.
240
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ïðîöåäóðó âûäåëåíèÿ îòäåëüíûõ ÷àñòåé ôóíêöèè ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì:
-
+
+
+
+
p
p
p
p
p
p
5
3
5
3
6
8
4
3
p
p
p
L
4
2
1
4
3
1
+
+
®
=
-
+
+
+
p
p
p
p
4
2
4
2
4
3
5
2
2
5
1
2
1
2
3
2
p
p
p
C
+
®
=
-
+
+
2
5
2
4
3
3
p
p
p
p
3
2
3
4
3
4
3
2
3
p
p
L
+
®
=
-
+
3
2
3
3
2
2
2
p
p
p
p
C
3
2
3
2
4
®
=
-
p
p
3
1
3
1
3
5
p
L
®
=
0
Ñõåìà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ äàííîìó ïîðÿäêó ðåàëèçàöèè, ïðèâåäåíà íà ðèñ. 15.14.
Ýòîò ïîðÿäîê ñîîòâåòñòâóåò öåïíîé äðîáè ñ ÷ëåíàìè âèäà
Ap
.
Ðàññìîòðèì äðóãîé ïîðÿäîê ðåàëèçàöèè, êîãäà öåï-
íàÿ äðîáü èìååò ÷ëåíû âèäà
D
/
p.
Ôóíêöèÿ
Z
(
p
) íå èìååò
ïîëþñà
p
=
0, ïîýòîìó ðàññìîòðèì îáðàòíóþ åé ôóíêöèþ
Y p
Z p
p
p
p
p
p
( )
( )
.
=
=
+
+
+
+
1
4
3
6
8
4
2
5
3
Îïåðàöèþ âûäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëþñó
p
=
0 îòäåëüíûõ ÷àñòåé ïðèâå-
äåíà íà ñëåäóþùåé ñòðàíèöå.
Ñõåìà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ äàííîìó ïîðÿäêó ðåàëèçà-
öèè, ïðèâåäåíà íà ðèñ. 15.15.
Âñå ÷åòûðå ñõåìû, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 15.10, 15.11,
15.14 è 15.15, ðåàëèçóþò îäíó è òó æå ôóíêöèþ
Z
(
p
), è èõ
÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè îäèíàêîâû. Îäíàêî èõ ñòðóê-
òóðà è çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ðàçëè÷íû, ÷òî ñâÿçàíî ñ îò-
ìå÷åííîé âûøå ìíîãîçíà÷íîñòüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñèí-
òåçà.
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî âî âñåõ ýòèõ ñõåìàõ ÷èñëî ýëåìåíòîâ îäèíàêîâî è ÿâ-
ëÿåòñÿ ìèíèìàëüíî íåîáõîäèìûì. Âûáîð òîé èëè èíîé ñõåìû îïðåäåëÿåòñÿ
óäîáñòâîì ôèçè÷åñêîãî îñóùåñòâëåíèÿ ýëåìåíòîâ öåïè — êàòóøåê è êîíäåíñà-
òîðîâ ñ òåìè èëè èíûìè ïàðàìåòðàìè.  îäíèõ ñõåìàõ ïîëó÷àþòñÿ êàòóøêè
Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
241
Ðèñ. 15.14
Ðèñ. 15.15
ñ áîëüøåé èíäóêòèâíîñòüþ, ÷åì â äðóãèõ.  íåêîòîðûõ ñõåìàõ êîíäåíñàòîðû
îêàçûâàþòñÿ ñ áîëüøåé åìêîñòüþ, ÷åì â äðóãèõ.
-
+
+
+
+
3 4
3 9
4
3
8
2
4
2
4
p
p
p
p
8
6
3
8
1
8
3
3
5
1
p
p
p
p
L
+
+
®
=
-
+
+
+
8
6
8
20
7
3
5
3
p
p
p
p
p
7
4
5
8
32
7
7
32
2
4
2
p
p
p
C
+
®
=
-
+
+
7
4
5
8
7
4
49
88
2
4
2
4
p
p
p
p
22
7
49
88
88
49
3
5
3
p
p
p
L
+
®
=
-
+
22
7
22
7
3
5
3
p
p
p
3
44
22 44
3 7
21
968
4
4
p
p
C
×
×
®
=
-
3
44
3
44
4
4
p
p
p
p
L
5
5
3
44
44
3
®
=
0
15.6. Ñèíòåç âõîäíîé ôóíêöèè äâóõïîëþñíèêà â îáùåì ñëó÷àå.
Ïðîâåðêà îòñóòñòâèÿ íóëåé è ïîëþñîâ â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè
 § 15.2 áûëî îòìå÷åíî, ÷òî ôóíêöèè, ðåàëèçóåìûå â âèäå ïàññèâíîé ëèíåéíîé
ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, äîëæíû áûòü âåùåñòâåííûìè è ïîëîæèòåëüíûìè.  îáùåì
ñëó÷àå ïåðåä òåì, êàê ïðèñòóïèòü ê ðåàëèçàöèè, ñëåäóåò ïðîâåðèòü, óäîâëåòâîðÿ-
åò ëè ýòèì óñëîâèÿì äàííàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèÿ âåùåñòâåííà, åñëè âñå êîýôôè-
öèåíòû ïîëèíîìîâ ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ âåùåñòâåííû. Íåîáõîäèìà ïðîâåð-
êà ïîëîæèòåëüíîñòè ôóíêöèè. Â íàñòîÿùåì è â äâóõ ñëåäóþùèõ ïàðàãðàôàõ
ïðèâåäåíû áåç äîêàçàòåëüñòâ íåêîòîðûå ìåòîäû òàêîé ïðîâåðêè è äàí îäèí èç
ñïîñîáîâ ðåàëèçàöèè ôóíêöèè ñ êîìïëåêñíûìè êîðíÿìè. Ðàññìîòðèì ýòî íà
ïðèìåðå êîíêðåòíîé ôóíêöèè
F p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
( )
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
10
8
20
11
12
3
2
8
12
22
13
6
5
4
3
2
6
5
4
3
2
10
3
1
+
+
+
p
p
.
Ýòà ôóíêöèÿ âåùåñòâåííà, òàê êàê âñå êîýôôèöèåíòû âåùåñòâåííû. ×òîáû îíà
áûëà âåùåñòâåííîé ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé, ïðåæäå âñåãî êîðíè ÷èñëèòåëÿ è
çíàìåíàòåëÿ äîëæíû ëåæàòü â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè. Îñóùåñòâèì â íàñòîÿùåì ïà-
ðàãðàôå ïðîâåðêó îòñóòñòâèÿ êîðíåé â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè ïî ìåòîäó Ãóðâèöà.
Ïîëèíîì Ãóðâèöà åñòü ïîëèíîì, âñå íóëè êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ â ëåâîé ïîëóïëîñêî-
242
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé