ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.01.2021
Просмотров: 313
Скачиваний: 1
получим такую формулу численного интегрирования, для которой остаточный член
обращается в нуль, если подынтегральная функция сама является произвольным
многочленом степени не выше
n
-
1. Более того, в случае формул Ньютона-Котеса с
нечетным числом узлов
n
остаточный член обращается в нуль даже если
подынтегральная функция является произвольным многочленом степени
n
. Может
оказаться, что при каком-то другом расположении узлов эта степень ещё может быть
повышена. При использовании одинакового числа узлов
n
будем считать ту
формулу численного интегрирования более точной, для которой эта степень будет
больше.
Поставим следующий вопрос. Допустим, мы можем выбрать
n
узлов
интерполяции. Произвольный многочлен какой максимальной степени
m
можно
проинтегрировать абсолютно точно?
Квадратурные формулы численного интегрирования в самом общем случае
имеют вид
f x p x dx C f x
C f x
C f x
R f
c
d
n
n
( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
ò
=
+
+
+
+
1
1
2
2
. . .
(20)
Здесь
p x
( )
>
0
- фиксированная весовая функция;
x x
x
n
1
2
,
,...,
- узлы
интерполяции, в которых
f x
( )
известна;
C
i
- постоянные коэффициенты, не
зависящие от
f x
( )
;
R f
( )
- остаточный член. Построить формулу численного
интегрирования - значит, выбрать
x
i
и определить
C
i
.
Мы хотим, чтобы остаточный член в (20) обращался нуль для произвольного
многочлена максимально возможной степени
m
, т.е.
f x
a
a x a x
a x
m
m
( )
,
=
+
+
+
+
0
1
2
2
. . .
(21)
где коэффициенты
a
i
произвольны. Из условия
R f
( )
=
0
можно получить, что
максимальное значение
m
при этом будет определяться равенством
m
n
+ =
1 2 или
m
n
=
-
2
1. Ответ на вопрос о том, что нужно сделать, чтобы построить
квадратурные формулы, для которых
m
n
=
-
2
1, т.е. обладающие наивысшей
точностью в нашем понимании, дает следующая теорема.
·
Теорема (без доказательства).
Для того, чтобы остаточный член формулы
численного интегрирования
R f
( )
обратился в нуль для функции
f x
( )
, являющейся
произвольным многочленом степени не выше 2
1
n
-
, необходимо и достаточно в
качестве узлов интерполирования взять корни многочлена
w
n
x
( ) степени
n
, такого,
что
p x
x q x dx
n
c
d
( )
( ) ( )
,
w
=
ò
0
(22)
когда
q x
( )
- произвольный многочлен степени не выше
n
-
1.
Эта теорема не указывает способа построения
w
n
x
( ) . Однако, такие способы
существуют при произвольных
p x
( )
. Приведем без вывода общий вид
w
n
x
( ) для
наиболее важного случая
p x
( )
=
1
, т.е. для интегралов вида
f x dx
c
d
( )
ò
:
[
]
w
n
n
n
n
n
x
n
n
d
dx
x c
x d
( )
!
( )!
(
) (
)
=
-
-
2
(23)
Можно доказать, что все корни уравнения
w
n
x
( )
=
0 действительны, различны и
заключены в интервале
[ , ]
c d
. Таким образом, их можно использовать в качестве
узлов интерполяции, и полученная при этом формула численного интегрирования
будет удовлетворять поставленным условиям, т.е. при фиксированном числе узлов
n
она позволит проинтегрировать абсолютно точно произвольный алгебраический
многочлен максимально высокой степени
m
n
=
-
2
1.
После того, как определены узлы интерполяции, необходимо найти
коэффициенты квадратурных формул при
f x
i
( ) . Приведём их также без вывода и
для случая
p x
( )
=
1
:
C
n
d
c
n
x
c d
x
x
k
n
k
k
n
k
=
-
-
-
¢
+
( !) (
)
[( )!] (
)(
)
( )
4
2
1
2
2
2
w
(24)
Отметим, что все коэффициенты
C
k
положительны, кроме того они симметричны
относительно середины отрезка интегрирования
[ , ]
c d
, т.е.
C
C
k
n k
=
- +
1
(25)
Было бы невыгодно каждый раз, когда нужно использовать
формулу Гаусса
на новом отрезке, заново находить
w
n
x
( ) , вычислять корни уравнения
w
n
x
( )
=
0 и
подсчитывать коэффициенты
C
k
. Произвольный отрезок
[ , ]
c d
может быть приведён
к отрезку
[ , ]
-
1 1
простой заменой переменной интегрирования:
x
c d
d
c
t
=
+
+
-
2
2
(26)
Тогда
f x dx
d
c
f t dt
c
d
( )
( )
ò
ò
=
-
-
2
1
1
1
, (27)
т.е. достаточно рассмотреть лишь отрезок
[ , ]
-
1 1
. Для этого отрезка и случая
p x
( )
=
1
узлы
x
i
и коэффициенты
C
i
были вычислены для различных
n
. Приведем
некоторые значения коэффициентов
C
i
и абсцисс
x
i
для формул численного
интегрирования Гаусса:
f t dt
C f t
n
n
n
f
i
i
i
n
n
t
n
( )
( )
( !)
[( )!] (
)
( ),
-
=
+
ò
å
=
+
+
1
1
1
2
1
4
3
2
2
2
2
1
x
(28)
f x dx
d
c
C f
c d
d
c
t
d
c
n
n
n
f
t
c
d
i
i
i
n
n
n
x
n
i
( )
( !)
[( )!] (
)
( ),
[ , ]
ò
å
=
-
+
+
-
æ
èç
ö
ø÷
+
+
-
æ
èç
ö
ø÷
+
Î -
=
+
+
2
2
2
2
2
2
2
1
1 1
1
2
1
2
1
4
3
2
x
(29)
Таблица 3. Абсциссы и коэффициенты квадратурных формул Гаусса для различных
n
n=1
x
C
1
1
0
1
=
=
,
1
2
n=2
- =
=
=
x
x
C
C
1
2
1
2
0 5773502691896258
.
,
1
2
1
2
=
1
2
n=3
- =
=
=
x
x
C
C
1
3
1
3
0 7745966692414834
.
,
,
1
2
1
2
=
5
18
1
2
x
C
2
2
0
4
9
=
=
,
n=4
- =
=
=
x
x
C
C
1
4
1
4
0 8611363115940492
01739274225687284
.
,
.
,
1
2
1
2
=
-
=
=
=
x
x
C
C
2
3
2
3
0 3399810435848646
0 3260725774312716
.
,
.
1
2
1
2
=
n=5
-
=
=
=
x
x
C
C
1
5
1
5
0 9061798459386640
01184634425280945
.
,
.
,
1
2
1
2
=
-
=
=
=
x
x
C
C
2
4
2
4
0 5384693101056830
0 2393143352496832
.
,
.
,
1
2
1
2
=
1
2
x
C
3
3
0
0 2844444444444444
=
=
,
.
n=6
- =
=
=
x
x
C
C
1
6
1
6
0 9324695142031520
0 0856622461895852
.
,
.
,
1
2
1
2
=
-
=
=
=
x
x
C
C
2
5
2
5
0 6612093864662644
01803807865240693
.
,
.
,
1
2
1
2
=
-
=
=
=
x
x
C
C
3
4
3
4
0 2386191860831970
0 2339569672863455
.
,
.
1
2
1
2
=
n=7
-
=
=
=
x
x
C
C
1
7
1
7
0 9491079123427596
0 0647424830844348
.
,
.
,
1
2
1
2
=
-
=
=
=
x
x
C
C
2
6
2
6
0 7415311895993944
01398526957446384
.
,
.
,
1
2
1
2
=
-
=
=
=
x
x
C
C
3
5
3
5
0 4058451513773970
01909150252525595
.
,
.
,
1
2
1
2
=
1
2
x
C
4
4
0
0 2089795918367347
=
=
,
.
Заметим, что формула Гаусса обладает очень важной особенностью - концы
промежутка интегрирования никогда не входят в число узлов формулы Гаусса.
Поэтому формулы Гаусса очень удобны для вычисления несобственных интегралов
от неограниченных функций, если особые точки подынтегральной функции лежат на
концах отрезка.
Практическая реализация методов численного интегрирования
При использовании любо формулы численного интегрирования важно знать её
точность. Оценку точности можно проводить, оценивая остаточны член формулы.
Однако, эти остаточные члены содержат производные высоких порядков от
подынтегральной функции. Последние в большинстве практических случаев или
вообще не могут быть оценены, или могут быть оценены очень грубо, так что
фактическая погрешность будет значительно меньше, чем её оценка. Поэтому на
практике часто прибегают к следующему способу губой оценки погрешностей
формул численного интегрирования, предложенному Рунге.
Остаточный член каждой из формул численного интегрирования может быть
записан в виде
R h M
k
=
, (29)
где
h
- длина отрезка интегрирования или какой-то его доли,
k
- фиксированное
число и
M
- произведение постоянной на производную, обычно порядка
(
)
k
-
1
, от
подынтегральной функции в какой-то точке промежутка интегрирования.
Если
J
- точное значение интеграла, а
I
1
- его приближенное значение, то
J
I
h M
k
=
+
1
, (30)
Вычислим тот же самый интеграл по той же формуле численного интегрирования,
но взяв вместо
h
величину
h
2
. При этом, чтобы получить значение интеграла по
всему отрезку, надо применять формулу численного интегрирования дважды.
Обозначим сумму полученных результатов через
I
2
. Тогда
J
I
h
M
h
M
k
k
=
+ æ
èç
ö
ø÷
+ æ
èç
ö
ø÷
2
1
2
2
2
, (31)
Последние два члена дают погрешность при каждом интегрировании. Будем
считать, что производная, входящая в
M
, меняется не очень сильно на
рассматриваемом промежутке, т.е.
M
M
M
»
»
1
2
. Тогда мы можем приближенно
считать
J
I
h
M
k
=
+ æ
èç
ö
ø÷
2
2
2
(32)
Исключая из (30) и (32) точное значение интеграла
J
, найдем
R h M
I
I
k
k
=
=
-
-
-
2
1
1
1
1
2
(33)
Для уточненного значения интеграла
J
получаем формулу (исключая
h M
k
):
J
I
I
I
k
=
+
-
-
-
2
2
1
1
2
1
(34)
(Для формулы Симпсона
k
=
5).
Адаптивные алгоритмы
Из формул погрешностей численного интегрирования видно, что точность
получаемых результатов зависит как от характера изменения подынтегральной
функции, так и от шага интегрирования. Будем считать, что шаг мы задаем. Ясно,
что для достижения одинаковой точности при интегрировании слабо меняющейся
функции шаг можно выбрать большим, чем при интегрировании резко меняющихся,
осциллирующих функций. Поэтому требуется такая организация экономичных
алгоритмов, при которой они автоматически приспосабливались бы к характеру
изменения функции. Такие алгоритмы называются адаптивными или алгоритмами с
автоматическим выбором шага.
Рассмотрим принцип работы такого алгоритма. Пусть требуется вычислить
интеграл с заданной точностью
e
. Первоначально отрезок интегрирования
разбивается на
n
частей и вычисляется
I
1
. Затем каждый такой отрезок делим
пополам и вновь вычисляем
I
2
. Полученные значения
I
1
и
I
2
сравниваем и
проводим оценку точности (можно по Рунге). Обычно сравнивают разность
интегралов с наперед заданной точностью
e
:
I
I
1
2
-
?
e
Если погрешность находится в допустимых пределах, т.е.
I
I
1
2
-
<
e
, то одно из
приближений принимается за значение интеграла. В противном случае происходит
дальнейшее деление отрезка.
Вычисление кратных интегралов
Кубатурные формулы
Формулы вида
J
f x x
x dx dx
dx
C f P
R f
G
n
n
i
i
i
N
=
=
+
ò
òò
å
=
...
( ,
,...,
)
...
(
)
( )
1
2
1
2
1
(35)
называются кубатурными формулами. Совокупность точек в n-мерном пространстве
P P
P
n
1
2
,
,...,
, где
P
x
x
x
G
i
i
i
n
i
=
Î
(
,
,...,
)
( )
( )
( )
1
2
, называется сеткой узлов кубатурной
формулы. Числа
C
i
, не зависящие от
f
- коэффициенты кубатурной формулы, а
R f
( )
- остаточный член.
Вычисление кратных интегралов может быть осуществлено путём повторного
вычисления однократных интегралов. Поэтому одним из простейших путей