ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.01.2021
Просмотров: 314
Скачиваний: 1
получения кубатурных формул является приём повторного применения полученных
нами ранее квадратурных формул. Например,
f x y dxdy
A
B f x y
R f
A B f x y
R f
c
d
a
b
i
j
j
N
i
j
i
N
i
j
j
N
i
j
i
N
( , )
( ,
)
( )
( ,
)
( )
ò
ò
å
å
å
å
=
+
=
+
=
=
=
=
1
1
1
1
2
1
2
1
(36)
Если область интегрирования
G
имеет сложную структуру, то её нужно разбить на
подобласти более простого вида, и для вычисления интеграла в каждой из них
применить ту или иную кубатурную формулу.
Существует, по меньшей мере, два случая, когда применение кубатурных
формул неэффективно. Во-первых, интегралы кратности
n
³
4 . В этом случае
имеется не менее четырех вложенных суммирования, что приводит к огромным
затратам машинного времени. Во-вторых, очень сложная область интегрирования
G
, которую нельзя разбить на более простые подобласти. Для вычисления таких
интегралов используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).
Метод статистических испытаний
Пусть требуется вычислить интеграл
J
f x x
x dx dx
dx
G
n
n
=
ò
òò
...
( ,
,...,
)
...
1
2
1
2
по
ограниченной области
G
, которая задается неравенствами
0
1
1
£
£
x
0
1
2
1
2
2
1
£
£
£
£
j
f
( )
( )
x
x
x
0
1
3
1
2
3
3
1
2
£
£
£
£
j
f
( ,
)
( ,
)
x x
x
x x
. . .
0
1
1
2
1
1
2
1
£
£
£
£
-
-
j
f
n
n
n
n
n
x x
x
x
x x
x
( ,
,...,
)
( ,
,...,
)
,
а функция
f x x
x
n
( ,
,...,
)
1
2
удовлетворяет неравенству
0
1
1
2
£
£
f x x
x
n
( ,
,...,
)
Выполнения последнего условия можно добиться для любой ограниченной
функции
f
путем умножения её на константу и прибавления другой константы, т.е.
f
cf
a
1
=
+
. Ограничение на область
G
, означающее её принадлежность
n
-мерному
единичному кубу, тоже является несущественным, т.к. любая область с помощью
линейного преобразования может быть сведена к единичному кубу.
I вариант метода статистических испытаний.
Генерируется последовательность
N
независимых случайных точек в
(
)
n
+
1
-
мерном пространстве
P
i
i
i
n
i
i
=
(
,
,...,
,
)
( )
( )
( )
( )
h
h
h
x
1
2
, координаты которых есть
случайные величины, равномерно распределенные на отрезке
[ ; ]
0 1
.
Подсчитывается число
n
точек этой совокупности, удовлетворяющих неравенствам
0
1
1
£
<
h
( )
i
j h
h
f h
2
1
2
2
1
(
)
(
)
( )
( )
( )
i
i
i
£
<
j h
h
h
f h
h
3
1
2
3
3
1
2
(
,
)
(
,
)
( )
( )
( )
( )
( )
i
i
i
i
i
£
<
. . .
j h
h
h
h
f h
h
h
n
i
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
(
,
,...,
)
(
,
,...,
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
1
1
2
1
-
-
£
<
,
x
h
h
h
( )
( )
( )
( )
(
,
,...,
)
i
i
i
n
i
f
£
1
2
При больших
N
справедливо приближенное равенство
J
N
»
n
(37)
В качестве иллюстрации
рассмотрим более подробно вычисление
одномерного интеграла
f x dx
( )
0
1
ò
.
Область
G
определяется неравенством
0
1
£ £
x
, и имеется ограничение
0
1
£
£
f x
( )
. Генерируется
последовательность
N
двумерных
случайных точек
(
,
)
( )
( )
h
x
i
i
. Для каждой
точки первое неравенство
0
1
£ <
h
выполняется почти всегда. Выполнение
второго неравенства
x
h
( )
( )
(
)
i
i
f
£
(38)
означает, что точка лежит под кривой
f x
( )
. Таким образом, в данном случае
подсчитывается число точек, лежащих под кривой
f x
( )
. Известно, что вероятность
попадания случайной точки в какую-либо область равна отношению площади этой
области ко всей площади, т.е.
f x dx
N
( )
0
1
1 1
ò
*
»
n
(39)
II вариант метода статистических испытаний.
Генерируется совокупность
N
случайных точек
P
i
в
n
- мерном пространстве
P
i
i
i
n
i
=
(
,
,...,
)
( )
( )
( )
h
h
h
1
2
. Если точка
P
i
попала в область
G
(т.е. для неё
выполняются первые
n
неравенств), то вычисляется
f P
i
(
)
. Если
P
G
i
Ï
, то
полагаем
f P
i
(
)
=
0
. Находим среднее арифметическое значений
f P
i
(
)
при
N
испытаниях:
J
N
f P
N
i
i
N
=
=
å
1
1
(
)
(40)
При больших
N
y
x
h
( 1)
h
( 2)
1
1
0
Рис. 6
.
P
1
.
P
2
x
( 1)
x
( 2)
J
J
N
f P
N
i
i
N
»
=
=
å
1
1
(
)
(41)
В одномерном случае
f x dx
N
f
i
i
N
( )
(
)
( )
0
1
1
1
ò
å
»
=
h
, (42)
где
h
( )
i
- последовательность случайных чисел, равномерно распределенных на
отрезке
[ ; ]
0 1
.
При применении обоих вариантов метода необходимо, чтобы область
G
лежала внутри единичного
n
- мерного куба. Произвольная конечная область
интегрирования может быть приведена к единичному кубу заменой переменных
x
a
b
a t
i
n
i
i
i
i
i
=
+
-
=
(
)
(
, ,..., )
1 2
, (43)
где
a
i
и
b
i
- минимальное и максимальное значение переменной
x
i
, соответственно.
Тогда
dx
b
a dt
i
i
i
i
=
-
(
)
(44)
и интеграл преобразуется к виду
J
b
a
b
a
b
a
f
t t
t dt dt
dt
n
n
G
n
n
=
-
-
-
*
ò
òò
*
(
)(
)...(
) ...
( , ,..., )
...
1
1
2
2
1
2
1
2
, (45)
где
f
t t
t
f a
b
a t
a
b
a t
n
n
n
n
n
*
=
+
-
+
-
( , ,..., )
(
(
) ,...,
(
) )
1
2
1
1
1 1
. (46)
Область
G
*
лежит внутри единичного куба, т.е. задаётся неравенствами
0
1
1
£
£
t
0
1
2 3
1
2
1
1
2
1
£
£ £
£
=
*
-
*
-
j
f
i
i
i
i
i
t t
t
t
t t
t
i
n
( , ,...,
)
( , ,...,
)
(
, ,... )
Оценки показывают, что для вычисления интеграла по методу Монте-Карло с
точностью
e
необходимо вычислить значение подынтегральной функции в числе
точек
N
, имеющем порядок
O
(
)
e
-
2
. Сравнивая метод Монте-Карло с методами,
основанными на использовании кубатурных формул, можно отметить, что число
необходимых точек
N
не зависит от размерности пространства (кратности
интеграла)
n
. Для кубатурных формул
N
возрастает как показательная функция в
зависимости от
n
. Другое преимущество - простая приспосабливаемость к форме
области интегрирования
G
. Третье состоит в том, что его точность не зависит от
гладкости подынтегральной функции. Недостатком метода Монте-Карло является
его вероятностный характер. Поэтому отсутствуют строгие, стремящиеся к нулю при
N
® ¥
, оценки погрешности.
¨
Задания.
Вычислить определенный интеграл
f x dx
c
d
( )
ò
:
1. по формуле трапеций с точностью
e
=
-
10
5
с использованием адаптивного
алгоритма.
2. по формуле Симпсона с точностью
e
=
-
10
5
с использованием адаптивного
алгоритма.
3. по формуле Ньютона-Котеса замкнутого типа (для
n
=
6 ) с точностью
e
=
-
10
5
с
использованием адаптивного алгоритма.
4. по формуле Ньютона-Котеса открытого типа (для
n
=
6 ) с точностью
e
=
-
10
5
с
использованием адаптивного алгоритма.
5. используя квадратурную формулу Гаусса (для
n
=
6 ).
Данные для программ приведены в таблице 4.
Таблица 4. Варианты заданий по численному интегрированию
№
варианта
f x
( )
c d
№
варианта
f x
( )
c d
1
(
) ln(
)
x
x
2
1
1
1
+
+
-
0 1
6
arcsin
x
0
2
2
2
x
x
l
0 1
7
ln
2
x
0
l
3
(
cos ,
)
1 2
0 5
2
1
+
+
-
x
x
0 1
8
(
sin )
1
1
+
-
x
0
p
2
4
(
)
1
1
+
-
l
x
0 1
9
(
)
1
2
1
+
-
l
l
x
x
0 1
5
x
x
cos
0
p
2
10
l
x
x
cos
0
p
2