Файл: Mathematica для математиков. Часть Реализация основных понятий математического анализа.pdf

45
Площадь области D на плоскости xOy, заданной неравенствами или неявно,
можно находить с помощью двойного интеграла


D
y
d
x
d
S
Пример 2. Площадь эллипса
1 2
2 2
2


b
y
a
x
???????????? =
????
????
????
+
????
????
????
≤ ????;
????????????????????????????????????[????????????????????[????????????], {????, −????, ????}, {????, −????, ????}]
6????
????????????????????????????????????????[????????????, {????, −????, ????}, {????, −????, ????}]
Пример. Площадь повернутого эллипса
1 2
2 2



y
c
y
x
b
x
a


0
,
0 2



c
b
c
a
????????????????????[????, ????, ????];
????????????????????????????????????[????????????????????[????????
????
+ ???????????????? + ????????
????
≤ ????], {????, −∞, ∞}, {????, −∞, ∞},
???????????????????????????????????????????? ⧴ {???? > 0, ???????? − ????
????
> 0}]
????
−????
2
+ ????????
Изобразим эллипс при некоторых значениях параметров a, b, c.
???? = ????; ???? = ????; ???? = ????;
????????????????????????????????????????[????????
????
+ ???????????????? + ????????
????
≤ ????, {????, −????. ????, ????. ????}, {????, −????. , ????. },
???????????????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????]
Площадь между двумя кривыми в Mathematica можно вычислить несколькими способами: как однократный интеграл от их разности; как повторный интеграл по области, ограниченной этими кривыми; как двойной интеграл по области.
Пример 1. Вычислить площадь между кривыми
 
2 1
2 1
x
x
y


и
 
x
x
y

cos
2

????????????????[{???? − ????????
????
, ????????????[????????]}, {????, −????, ????}, ???????????????????????????? → ???? → {????}]
Вычислим площадь между кривыми как однократный интеграл от их разности
????????????????????????????????????[???? − ????????
????
− ????????????[????????], {????, −????, ????}]
2 3

46
Вычислим площадь между кривыми как повторный интеграл по области, ограниченной этими кривыми
????????????????????????????????????[????, {????, −????, ????}, {????, ????????????[????????], ???? − ????????
????
}]
2 3
Вычислим площадь между кривыми как двойной интеграл
????????????????????????????????????[????????????????????[????????????[????????] < ???? < 1 − ????????
????
], {????, −????, ????}, {????, −????, ????}]
2/3
Площадь области в полярных координатах.
Дан сектор AOB, ограниченный кривой AB и двумя радиусами –
векторами OA и OB (каждый из которых может свестись к точке). Кривая задается полярным уравнением
  








r
r
Площадь криволинейного сектора AOB вычисляется по формуле
 












r
D
D
r
d
r
d
d
r
d
r
s
d
S
0
,
(5)
Если вычислить внутренний интеграл, то получим
 




d
r
S


2 2
1
(6)
Пример. Вычислить площадь фигуры, заключенной между последовательными витками (первым и вторым) архимедовой спирали

a
r

. Очевидно, что она вычисляется как разность площадей второго и первого витков.
???? =. ;
???? ????_ = ????????;
???????? = ???????????????????????????????????? ???? ????
????
, ????, ????, ???????? /????; (* площадь 1-го витка *)
???????? = ????????????????????????????????????[????[????]
????
, {????, ????????, ????????}]/????;(* площадь 2-го витка *)
???????? − ????????
8????
2
????
3
Поскольку у функции PolarPlot нет опции Filling, то для представления области перейдем к ее параметрическому представлению
???? = ????; ???? ????_ = ???? ????;
???????????? ????_ = ???? ???? ???????????? ???? , ???? ???? ???????????? ???? ;(* радиус-вектор первого витка спирали *)
???????????? ????_ = ???????????? ???? + ???????? ;(* радиус-вектор второго витка спирали *)
???????? = ????????????????????????????????????????????????????????[{???? ????????????[????] + (???? − ????)????????????[????]}, {????, ????, ????????}, {????, ????, ????},
???????????????? → ????????????????];
???????? = ???????????????????????????????????? ???? ???? , ????, ????, ???????? ;
????????????????[????????, ????????]

47
Заметим, что площадь s1, посчитанная выше, соответствует незакрашенной внутренней области рисунка.
□
Пример. Найти площадь лемнискаты

2 2
2 2
Cos
a
r

???? = ????; ???? ????_ = ???? ???? ???????????? ???????? ;
????????????????????????????????????[????[????], {????, −????, ????}] (* рисунок слева *)
????????????????????????????????????[????[????], {????, −????/????, ????/????},
???????????????????????????????????? → {????????????????????, ????????????????????????????????????[????. ????????]}](* рисунок справа *)
Правый рисунок показывает, что достаточно удвоить площадь правого овала, которому отвечает диапазон изменения угла
4 4






. Имеем
???? =. ; ????[????_] = ???? ????????????????[????????];
???????? = ????????????????????????????????????[????[????]
????
, {????, −????/????, ????/????}]/????
????
2
Т.о. площадь лемнискаты (двух петель) равна
2 2 a .
Пример.
Вычислим площадь фигуры, ограниченной кривой




4 4
2 3
2 2
y
x
a
y
x



. Легко видеть, что кривая симметрична относительно осей и точка
 
0
,
0
является изолированной.
???? = ????;
????????????????????????????????????????????[(????
????
+ ????
????
)
????
== ????
????
(????
????
+ ????
????
), {????, −????, ????}, {????, −????, ????}]
Вычисление площади как интеграла по области не дает точного результата.
????????????????????????????????????[????????????????????[(????
????
+ ????
????
)
????
<= ????
????
(????
????
+ ????
????
)], {????, −∞, ∞}, {????, −∞, ∞}]
(−Root[−????
4
+ ????
6
+ 3????
4
#1 2
+ (−1 + 3????
2
)#1 4
+ #1 6
&,1] +
1
−1
Root[−????
4
+ ????
6
+ 3????
4
#1 2
+ (−1 + 3????
2
)#1 4
+ #1 6
&,2]) ⅆ????
Хотя численное значение легко находится
????[%]
2.3561945

48
Переход к полярным координатам позволяет получить точный результат.
Полярное уравнение кривой имеет вид




4 4
2 2
sin cos


a
r
. Учитывая симметрию и используя формулу (5), получаем
???? =. ; ???? =. ;
???? = ???? ????????????????????????????????????[????, {????, ????, ????/????}, {????, ????, ???? ????????????[????]
????
+ ????????????[????]
????
}]
3????
2
????
4
Площадь плоской области, контур которой задан параметрически.
Площадь области D, ограниченной кусочно – гладкой замкнутой кривой
L, можно вычислять с помощью следующих криволинейных интегралов:


L
y
d
x
S
,
(7)



L
x
d
y
S
(8)
Чаще для вычисления площади применяют более симметричную формулу



L
x
d
y
y
d
x
S
2 1
(9)
Во всех формулах выбирается положительное направление обхода контура L.
Для проверки формул (7) – (9) вспомним формулу Грина. Если функции
 
 
y
x
Q
Q
y
x
P
P
,
,
,


определены в области D и имеют непрерывные частные производные
x
Q
y
P




,
, то имеет место равенство















L
D
y
d
Q
x
d
P
y
d
x
d
y
P
x
Q
Если
0
,


P
x
Q
, то получим



L
D
dy
x
dy
dx
. Но слева стоит двойной интеграл по области, который представляет ее площадь S. Аналогично, полагая
y
P
Q



,
0
или
y
P
x
Q



,
, приходим к (8) и (9).
Пусть теперь параметрическое уравнение кривой L, являющейся границей области D, имеет вид
 
 
t
y
y
t
x
x


,
, max min
t
t
t


, тогда формула (7) принимает вид
   


max min
'
t
t
t
d
t
y
t
x
S
(10)
Аналогично записываются другие формулы для площади области, если контур
L задан в параметрическом виде.
Пример. Вычислим площадь эллипса.
{????, ????} = {???? ????????????[????], ???? ????????????[????]};
????????????????????????????????????[????????[????, ????], {????, ????, ????????}]
???? ???? ????
???? = ????; ???? = ????;
????????????????????????????????????????????????????????[{????, ????}, {????, ????, ????????}]

49
Пример. Вычислим площадь астроиды по формуле (9)
???? ????_ = ???? ???????????? ????
????
;
????[????_] = ???? ????????????[????]
????
;
???? ???? ???????? ???? ???? , ????, ???????????????????????????????????? → ????
????[????]????????[????[????], ????, ???????????????????????????????????? → ????]
3????
2
Cos[????]
4
Sin[????]
2
−3????
2
Cos[????]
2
Sin[????]
4
???? =
????
????
????????????????????????????????????[????[????]????????[????[????], ????, ???????????????????????????????????? → ????] −
????[????]????????[????[????], ????, ???????????????????????????????????? → ????], {????, ????, ????????}]
3????
2
????
8
???? = ????; ????????????????????????????????????????????????????????[{????[????], ????[????]}, {????, ????, ????????}]
Пример. Найти площадь петли декартова листа
y
x
a
y
x
3 3
3


???? = ????;
????????????????????????????????????????????[????
????
+ ????
????
== ???? ???? ???? ????, {????, −????, ????}, {????, −????, ????},
???????????????? → ????????????????, ???????????????????? → ????????????????????](* след. рисунок слева *)
Параметрические уравнения контура петли можно записать в виде
3 1
2
t
t
a
x


,
3 2
1 2
t
t
a
y


. Следующее построение показывает, что петля описывается при изменении параметра t от 0 до ∞.
????[????_] =
????????????
???? + ????
????
;
????[????_] =
????????????
????
???? + ????
????
;
????????????????????????????????????????????????????????[{????[????], ????[????]}, {????, ????, ????????????}] (* предыдущий рисунок справа *)
Для вычисления площади используем формулу (9). Имеем
???? =. ; ????[????_] =
???? ???? ????
????+????
????
;????[????_] =
???? ???? ????
????
????+????
????
;
????????????????????????????????[????????????????????????????????????[????[????]????[????[????], ????] − ????[????]????[????[????], ????], {????, ????, ∞}]]/????
3????
2 2

50
Отметим, что здесь мы использовали несобственный интеграл с бесконечными пределами.
Объем тела.
Объем тела по площади параллельных сечений.
Рассмотрим некоторое тело (V), содержащееся между плоскостями x=a и
x=b, и станем рассекать его плоскостями, перпендикулярными к оси x.
Допустим, что все сечения квадрируемы, и пусть площадь сечения P(x), отвечающего абсциссе x, будет непрерывной функцией от x (для
b
x
a


).
Пусть также любые два различных сечения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси x, оказываются всегда содержащимися одно в другом. Тогда тело (V) имеет объем, который выражается формулой
 


b
a
x
d
x
P
V
(11)
Пример. Найти объем трехосного эллипсоида
1 2
2 2
2 2
2



c
z
b
y
a
x
Плоскость, перпендикулярная к оси x и проходящая через точку M(x,0,0), пересечет эллипсоид по эллипсу (см. следующий рисунок).
???? = ????; ???? = ????; ???? = ????;
???? ????_, ????_ = ???? ???????????? ???? ???????????? ???? ;
???? ????_, ????_ = ???? ???????????? ???? ???????????? ???? ;
???? ????_, ????_ = ???? ???????????? ???? ;
????????????????????????????????????????????????????????????????[{????[????, ????], ????[????, ????], ????[????, ????]}, {????, −????/????, ????/????}, {????, ????, ????????},
???????????????????? → ????????????????????, ???????????????????????????????????????? → −????, ????, ???? , ???????????????????????????????????? → ???????????????????????????? ????. ???? ,
???????????????????????????????????????????????????? → {#????&}, ???????????????? → ????]
Уравнение проекции этого эллипса на плоскость
yOz
будет таково

 



const
x
a
x
c
y
a
x
b
y





1
/
1
/
1 2
2 2
2 2
2 2
2
Отсюда ясно, что полуоси его будут, соответственно
2 2
/
1
a
x
b

и
2 2
/
1
a
x
c

, а площадь выразится так
 


2 2
/
1
a
x
c
b
x
P



. Таким образом, имеем
????????????????????[????, ????, ????];
????[????_] =
???? ???? ????
????
????
(????
????
− ????
????
);
???? = ????[????] ⅆ????
????
−????
4 3
???? ???? ???? ????

51
Объем тела вращения.
Частный случай формулы (11), когда заведомо выполняется указанное выше предположение о взаимном расположении сечений, представляют тела вращения.
Пусть на плоскости
xOy
задана кривая уравнением
  

b
x
a
x
f
y



, где
 
x
f
непрерывна и неотрицательна. Станем вращать ограниченную ею криволинейную трапецию вокруг оси x (см. следующий рисунок).
Сечения полученного тела (V) удовлетворяют указанному предположению, поскольку проектируются на плоскость
yOz
в виде концентрических кругов.
Здесь
 
 


2 2
x
f
y
x
P




, так что
 






b
a
b
a
x
d
x
f
x
d
y
V
2 2


(12)
Выражение


b
a
x
d
y
V
2

можно использовать и в случае, когда кривая задана параметрически.
Если криволинейная трапеция ограничена снизу и сверху кривыми
 
x
f
y
1 1

и
 
x
f
y
2 2

, то, очевидно


 


 










b
a
b
a
x
d
x
f
x
f
x
d
y
y
V
2 1
2 2
2 1
2 2


,
(13)
хотя предположение о взаимном расположении сечений в этом случае может нарушаться.

52
Используем первую форму выражения (12)
???? =. ; ???? ????_ = ???? ???? − ???????????? ???? ; ???? ????_ = ???? ???? − ???????????? ???? ;
???? = ???? ????????????????????????????????????[????[????]
????
????[????[????], ????], {????, ????, ????????}]
5????
3
????
2
□
Пример. Определим объем тора
(????
2
+ ????
2
+ ????
2
+ ????
2
− ????
2
)
2
− 4????
2
????
2
+ ????
2
= 0
Изобразим тело.
???? = ????; ???? = ????;
????????????????????????????????????????????????[ ????
????
+ ????
????
+ ????
????
+ ????
????
− ????
????
????
− ????????
????
(????
????
+ ????
????
) ≤ ????,
????, −????, ???? , ????, − ???? + ???? , ???? + ???? , ????, − ???? + ???? , ???? + ???? ,
???????????????????????????????????? → ????????, ???? ???? + ???? , ???? ???? + ???? , ???????????????? → ????????????????,
???????????????????? → ????????????????????, ???????????????????????????????????????? → {????, ????, ????}, ???????????????????? → ????????????????]
Объем тора вычислим как разность объемов, образованных вращением вокруг оси Ox верхней и нижней полуокружностей
2 2
x
r
R
y



, представляющих сечение тора плоскостью xOy . Здесь мы воспользуемся формулой (13).
????????????????????[????, ????];
???? = ???? ????????????????????????????????????[ ???? + ????
????
− ????
????
????
− ???? − ????
????
− ????
????
????
, {????, −????, ????},
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > ???? > 0]
2????
2
????
2
????
□
Вычисление объема с помощью тройного интеграла.
Объем трехмерного тела (V) можно вычислять как интеграл по области
 


V
z
d
y
d
x
d
V
(14)
Пример. Найти объем V тела, вырезанного цилиндром
x
a
y
x
2 2
2


из параболоида вращения
x
a
z
y
4 2
2


. Вначале изобразим тело (V).
???? = ????;
????????????????????????????????????????????????[????
????
+ ????
????
≤ ????????????&&????
????
+ ????
????
≤ ????????????,
????, −????, ???? , ????, −????, ???? , ????, −????, ???? , ???????????????????????????????????????? → ????????????,
???????????????????? → ????????????????????, ???????????????????????????????????????? → {????, ????, ????}, ???????????????? → ????????????????]