Файл: Mathematica для математиков. Часть Реализация основных понятий математического анализа.pdf

53
Теперь находим объем V.
???? =. ;
????????????????????????????????????[????????????????????[????
????
+ ????
????
≤ ???? ???? ???? && ????
????
+ ????
????
≤ ???? ???? ????],
{????, −∞, ∞}, {????, −∞, ∞}, {????, −∞, ∞}, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0]
2 3
????
3
(8 + 3????)
□
Вычисление объема с помощью двойного интеграла.
Объем вертикального цилиндрического тела, имеющего своим основанием область D на плоскости xOy и ограниченного сверху поверхностью
 
y
x
f
z
,

, выражается двойным интегралом
 




D
D
y
d
x
d
y
x
f
y
d
x
d
z
V
,
(15)
Пример. Найти объем V тела, вырезанного цилиндром
x
R
y
x


2 2
из сферы
2 2
2 2
R
z
y
x



. Выполним вычисление по формуле (15). Имеем
???? =. ; ????[????_, ????_] = ????
????
− ????
????
− ????
????
;
???? = ???? ????????????????????????????????????[????[????, ????]????????????????????[????
????
+ ????
????
≤ ????????], {????, −∞, ∞}, {????, −∞, ∞},
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0]
2 9
(−4 + 3????)????
3
Теперь изобразим тело (V).
???? = ????;
???????? = ????????????????????????????????????????????????[????
????
+ ????
????
≤ ???? ???? && ????
????
+ ????
????
+ ????
????
≤ ????
????
,
????, −????, ???? , ????, −????, ???? , ????, −????, ???? , ???????????????????????????????????????? → ????????????,
???????????????? → ????????????????, ???????????????????????????????????? → ????????????????????????];
???????? = ????????????????????????????????????????????????[????
????
+ ????
????
+ ????
????
≤ ????
????
,
????, −????, ???? , ????, −????, ???? , ????, −????, ???? , ???????????????????????????????????????? → ????????,
???????????????? → {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????? → ????????????????????????????[????. ????]];
????????????????[????????, ????????, ???????????????????? → ????????????????????, ???????????????? → ????????????????, ????????????????????????????????????−> {????, ????, ????}]

54
Пример. Найти объем V вертикального цилиндра, который сверху ограничен частью плоскости
4



z
y
x
, снизу – частью плоскости xOy, заключенной между параболой
2
x
y

и прямой
1

y
. Сперва изобразим тело.
????????????????????????????????????????????????[???? + ???? + ???? ≤ ???? && ???? ≥ ????
????
&& ???? ≤ ????,
????, −????, ???? , ????, ????, ???? , ????, ????, ????. ???? , ???????????????????????????????????????? → ????????????,
???????????????? → ????????????????, ???????????????????????????????????? → ????????????????????????, ???????????????????????????????????? → {????, ????, ????. ????}]
Теперь вычисляем объем.
????[????_, ????_] = ???? − ???? − ????;
???? = ????????????????????????????????????[????[????, ????]????????????????????[????
????
≤ ???? ≤ ????], {????, −????, ????}, {????, ????, ????}]
68 15
Площадь поверхности тела.
Площадь поверхности, заданной явным уравнением.
Пусть поверхность задана явным уравнение
 
y
x
f
z
,

. Площадь куска этой поверхности, который проектируется на плоскость
xOy
в виде замкнутой области D, вычисляется по формуле




D
y
x
y
d
x
d
f
f
S
2 2
1
(16)
Пример. Вычислим площадь поверхности сферы. Уравнение
2 2
2
y
x
R
z



представляет полусферу радиуса R. Учитывая, что (16) даст площадь только верхней полусферы, имеем
???? = ????
????
− ????
????
− ????
????
;
???????? = ????????????????????????????????[ ???? + ????[????, ????]
????
+ ????[????, ????]
????
, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0]
???? = ???? ????????????????????????????????????[????????????????????????????[????
????
+ ????
????
≤ ????
????
], {????, −∞, ∞}, {????, −∞, ∞},
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0]
4????????
2
Это совпадает с известной формулой элементарной геометрии.
□
Пример. Вычислим площадь среза кругового цилиндра
2 2
2
R
y
x


плоскостью
0




d
z
c
y
b
x
a
???? = ????; ???? = ????; ???? = ????; ???? = −????; ???? = ????;
????????????????????????????????????????????????[????
????
+ ????
????
≤ ????
????
&& ???? ≥ ???? && ???????? + ???????? + ???????? + ???? ≤ ????,
????, −????, ???? , ????, −????, ???? , ????, ????, ???? , ???????????????????????????????????????? → ????????????,
???????????????????????????????????? → ????????, ????????, ???? , ???????????????? → ????????????????, ???????????????????? → ????????????????????,
???????????????????????????????????????? → {????, ????, ????}, ???????????????????? → ????????????????]

55
????????????????????[????, ????, ????, ????, ????, ????, ????, ????];
???? =
???? − ???? ???? − ???? ????
????
;
???????? = ???? + ????[????, ????]
????
+ ????[????, ????]
????
???? = ????????????????????????????????????[???????? ????????????????????[????
????
+ ????
????
≤ ????
????
], {????, −∞, ∞}, {????, −∞, ∞},
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0&&???? > 0]
????
2
+ ????
2
+ ????
2
???? ????
2
????
□
Если поверхность задана в векторном виде
 
v
u,
r
r

, то площадь участка поверхности вычисляется по формуле



D
v
d
u
d
F
G
E
S
2
,
(17) где D – область в плоскости изменения параметров u,v, а величины
2 2
,
,
v
v
u
u
G
F
E
r
r
r
r



являются коэффициентами первой квадратичной формы поверхности.
Пример. На прямом геликоиде
v
a
z
v
u
y
v
u
x



,
sin
,
cos найти площадь четырехугольника, ограниченного линиями
1
,
0
,
,
0




v
v
a
u
u
, а также площадь криволинейного треугольника
1 0
,
0




v
v
a
u
. Вначале изобразим эти области.
????????????????????[????, ????, ????];
???? = ????; ???? = {???? ????????????[????], ???? ????????????[????], ???? ????};
???????? = ????????????????????????????????????????????????????????????????[????, {????, −????, ????}, {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????? → ????????????????,
???????????????? → {????????, ????????}, ???????????????????????????????????????????????????? → {????????????, ????????????????????}];
???????? = ????????????????????????????????????????????????????????????????[????, {????, ????, ????}, {????, ????, ????}, ???????????????? → ????????????????,
???????????????????????????????????? → ????????????????, ???????????????????????????????????????????????????? → {????????????, ????????????????????}];
???????? = ????????????????????????????????????????????????????????????????[????, {????, ????, ????}, {????, ????, ????????}, ???????????????? → ????????????????,
???????????????????????????????????? → ????????????????, ???????????????????????????????????????????????????? → {????????????, ????????????????????}];
{????????????????[????????, ????????, ???????????????????????????????????? → {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????? → ????????????],
????????????????[????????, ????????, ???????????????????????????????????? → {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????? → ????????????]}
Теперь вычисляем площади областей.

56
???????????????????? ????, ????????, ????????, ???? ;
???? = ???? ???????????? ???? , ???? ???????????? ???? , ???? ???? ;
???????? = ???? ????, ???? ; ???????? = ???? ????, ???? ;
???????????? = ???????????????????????????????? ????????. ???????? ;
???????????? = ???????????????????????????????? ????????. ???????? ;
???????????? = ????????????????????????????????[????????. ????????];
???????? = ???????????????????????????????? ???????????????????????? − ????????????
????
, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0 ;
???????? = ???????????????????????????????????? ????????, ????, ????, ???? , ????, ????, ???? , ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0
???????? = ????????????????????????????????????[????????, {????, ????, ????}, {????, ????, ????????}, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0];
????????????????????????????????[????????/. ????????????????????????????[????_] → ????????????[???? + ????
????
+ ????]]
1 2
????( 1 + ????
2
+ ????
2
Log[
1 + 1 + ????
2
????
])
−
1 6
????
2
(−2 + 2 − 3Log[1 + 2])
При вычислении площади S
2
криволинейного треугольника мы предпочли сделать замену


1
ln arcsinh
2



x
x
x
Дадим пояснения к подстановке
ArcSinh[x_] → Log[???? + ????
2
+ 1]. Когда в выражении expr выполняется подстановка expr/.f[x]→g[x], то f[x] означает, что функция f вычисляется при некотором конкретном значении аргумента x и, если в expr находится точное соответствие f[x], то оно заменяется на g[x]. Выражения f с другими аргументами не заменяются!
Подстановка f[x_]→g[x] соответствует случаю произвольного аргумента у функции f. Поэтому применение правила замены f[x]→g[x] и f[x_]→g[x] к выражению f[x]+f[y]+f[z] приводит к разным результатам.
????[????] + ????[????] + ????[????]/. ????[????] → ????[????]
????[????] + ????[????] + ????[????]
????[????] + ????[????] + ????[????]/. ????[????_] → ????[????]
????[????] + ????[????] + ????[????]
В коде, приведенном выше, для замены мы использовали подстановку с шаблоном f[x_]→g[x], где в качестве функции f выступал арксинус гиперболический, а в качестве g[x] – выражение
Log[???? + ????
2
+ 1] .
□
Пример. На сфере
???? = ???? Sin
????
????
Cos ???? , ????Sin
????
????
Sin[????], ????Cos
????
????
(
R
u



0
и

2 0


v
) вычислить площадь круга радиуса r
0
(т.е.
0 0
r
u


). Вначале нарисуем область «круга» на сфере.
????????????????????????[????]; ???? = ????; ???????? = ????;
???? = {???? ????????????
????
????
????????????[????], ???? ????????????
????
????
????????????[????], ???? ????????????
????
????
};
???????????? = ????????????????????????????????????????????????????????????????[????, {????, ????, ????????}, {????, ????, ????????}, ???????????????? → {????????, ????????, ????},
???????????????????????????????? → Ambient, ???????????????????? , ???????????????????????????????????????????????????? → ????????????????????,
???????????????????????????????????????????????????????? → ((#???? > ????????)&)];

57
???????????? = ????????????????????????????????????????????????????????????????[????, {????, ????, ????????}, {????, ????, ????????}, ???????????????? → {????, ????????, ????},
???????????????????????????????????? → ????????????????];
????????????????[????????????, ????????????, ???????????????????????????????????? → ????????????]
Обратите внимание, что для наложения «круга» на сферу мы из нее исключили область этого «круга».
Теперь вычисляем площадь «круга» по формуле (17).
????????????????????[????, ????, ????????, ????????, ????????];
???? = {???? ????????????
????
????
????????????[????], ???? ????????????
????
????
????????????[????], ???? ????????????
????
????
};
???????? = ???? ????, ???? ; ???????? = ???? ????, ???? ;
???????????? = ???????????????????????????????? ????????. ???????? ;
???????????? = ???????????????????????????????? ????????. ???????? ;
???????????? = ????????????????????????????????[????????. ????????];
???????? = ????????????????????????????????[ ???????????????????????? − ????????????
????
, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0 && ???? > 0];
???? = ???????????????????????????????????? ????????, ????, ????, ???????? , ????, ????, ???????? , ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0 && ???? < ???????? < ???? ;
????????????????????????????????????????[????]
4????????
2
Sin[
r0 2????
]
2
Если
R
r


0
, то кругом радиуса r
0
на сфере является сфера. Ее площадь будет
2 2
4 2
sin
4
R
R
R
R
S





, что совпадает с классической формулой.
□
Площадь поверхности, получаемой вращением кривой
  

b
x
a
x
f
y



вокруг оси Ox, вычисляется по формуле
 
 


x
d
x
f
x
f
x
d
y
y
S
b
a
b
a
x






2 2
'
1 2
'
1 2


(18)
Пример. Вычислить площадь поверхности шарового пояса. Пусть полуокружность, описанная около начала радиусом r, вращается вокруг оси x.
Тогда
2 2
x
r
y


. Вычисляем
???? =. ; ????[????_] = ????
????
− ????
????
;
???????? = ????????????????????????????????[????[????] ???? + ???? ???? ???? , ????
????
, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0 && ???? ≤ ???? < ????]
???? = ???????? ???????? ⅆ????
????????
????????
????/. (???????? − ????????) → ????
2 ???? ????(−x1 + x2)
2 ???? ???? ????

58
Таким образом, площадь поверхности пояса, описанного дугой, концы которой имеют абсциссы x
1
и x
2
, будет равна
h
r

2
, где h есть высота пояса. В частности при
r
x
r
x



2 1
,
получаем площадь всей сферы
2 4 r

□
Пример. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox части кривой
x
y


4 2
, отсеченной прямой x=2.
Уравнение
x
y


4 2
определяет параболу с вершиной в точке (-4, 0) и осью симметрии Ox, поэтому для вычисления площади поверхности вращения достаточно рассмотреть одну ветвь параболы
x
y


4
на отрезке [-4,2].
????[????_] = ???? + ????;
???????? = ????????????????????????????????[????[????] ???? + ????[????[????], ????]
????
, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > −????]
???? = ???????? ???????? ⅆ????
????
−????
62????
3
????????????????????????????????????????????????????????????????[????[????], {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????????????????? → {????, ????, ????},
???????????????????? → ????????????????????, ???????????????????????????????????????? → −????, ????, ???? ,
???????????????????????????????? → {{"????????????????????????????", ????????????????????}}, ???????????????????? → ????????????????]
Пример. Определим площадь поверхности эллипсоида вращения. Если эллипс
1 2
2 2
2


b
y
a
x
вращается вокруг оси x, то для вычисления площади поверхности вращения достаточно рассмотреть одну ветвь эллипса
2 2
/
1
a
x
b
y


. Будем также полагать
b
a

. Тогда имеем
????????????????????[????, ????];
????[????_] = ???? ???? −
????
????
????
????
;
???????? = ????????????????????????????????[????[????] ???? + ???? ???? ???? , ????
????
,
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0 && ???? > 0 && − ???? < ???? < ????];
???? = ???? ???? ????????????????????????????????????[????????, {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? < ???? < ???? && ???? > ????];
????/. (????
????
− ????
????
)^????_ → (???? ????)^(????????)
2 ???? ???? ???? +
???? ArcSin[????]
????
Здесь
a
b
a
p
2 2


является эксцентриситетом эллипса.

59
???? = ????; ???? = ????;
????????????????????????????????????????????????????????????????[????[????], {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????????????????? → {????, ????, ????},
???????????????????? → ????????????????????, ???????????????????????????????????????? → ????, ????, ???? ,
???????????????????????????????? → Ambient, ???????????????????? , ???????????????????? → ????????????????????,
???????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????[????????????, ????????????????????]]
Если кривая задана параметрическими уравнениями
 
 
t
y
y
t
x
x


,


T
t
t


0
, то площадь поверхности вращения вокруг оси
x вычисляется по формуле
 
 


 





T
t
t
d
t
y
t
x
t
y
S
0 2
2
'
'
2

(19)
Пример. Вычислим площадь поверхности тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r


R
r

. Эту площадь вычислим как площадь поверхности, образуемой вращением окружности
t
r
R
y
t
r
x
sin
,
cos



вокруг оси Ox.
????[????_] = ????????????????[????];
????[????_] = ???? + ????????????????[????];
???????? = ????????????????????????????????[????[????] ???? ???? ???? , ????
????
+ ???? ???? ???? , ????
????
,
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0 && ???? < ???? < ????]
???? = ???? ???? ????????????????????????????????????[????????, {????, ????, ????????}, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? < ???? < ???? && ???? > 0]
4????
2
????????
Это можно представить как
R
r
S


2 2


. Стало быть, площадь тора равна произведению длины образующей окружности на длину пути, описываемого ее центром.
□
Пример. Дана циклоида


t
t
a
x
sin


,


t
a
y
cos
1


. Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ox.
???? =. ; ????[????_] = ????(???? − ????????????[????]); ????[????_] = ????(???? − ????????????[????]);
???????? = ????????????????????????????????[????[????] ????[????[????], ????]
????
+ ????[????[????], ????]
????
, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0]
???? = ???? ???? ????????????????????????????????????[????????, {????, ????, ????????}, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0]
64????
2
????
3
□
Для полярной системы координат, если вращение кривой
 




производится вокруг полярной оси, площадь поверхности тела вращения вычисляется по формуле
 
 
 
















d
S
2 2
'
sin
2
(20)

60
Пример. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды



cos
1


a
r
вокруг полярной оси. Поскольку кардиоида симметрична относительно полярной оси, то пределами интегрирования в формуле (20) нужно выбрать 0 и π. Имеем
???? =. ; ????[????_] = ????(???? + ????????????[????]);
???????? = ????????????????????????????????[????[????]????????????[????] ????[????]
????
+ ????[????[????], ????]
????
, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0];
???? = ???? ???? ????????????????????????????????????[????????, {????, ????, ????}, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0]
32????
2
????
5
???? = ????;
????????????????????????????????????[????[????], {????, ????, ????????}, ???????????????????????????????????? → {????????????????????, ????????????????????}](* рис. слева *)
????????????????????????????????????????????????????????????????[{????[????]????????????[????], ????[????]????????????[????]}, {????, ????, ????},
???????????????????????????????????????????????????????? → ????, ????, ???? , ???????????????????? → ????????????????????, ???????????????????????????????????????? → ????, ????, ???? ,
???????????????????????????????? → Ambient, ???????????????????? , ???????????????????? → ????????????????????,
???????????????????????????????????? → ????????????????????????????????????[????????????, ????????????????????]] (* рисунок справа *)
3.4
Векторный анализ
Векторный анализ изучает скалярные и векторные поля. Говорят, что в некоторой области задано поле, если каждой точке этой области соответствует определенное значение некоторой величины – числовой или векторной.
Если в каждой точке области задана величина, принимающая числовые значения, то поле называется скалярным, если же в каждой точке области задан вектор, то поле называется векторным.
Если поле является скалярным, то задание поля равносильно заданию функции трех переменных


z
y
x
u
,
,
(или двух, если поле плоское). Если поле векторное, то надо задать все проекции переменного вектора на оси координат







61
3
.4.1 Алгебраические операции с векторами
Поскольку векторный анализ имеет дело с семействами функций (в терминологии Mathematica со списками функций), то уместно напомнить о некоторых функциях, выполняющих алгебраические операции с векторами/списками.
Функция Norm[expr] возвращает норму числа, вектора или матрицы.
????????????????[{????, ????, ????}]
Abs[????]
2
+ Abs[????]
2
+ Abs[????]
2
или
????????????????????????????????[????????????????[{????, ????, ????}],
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? ∈ ????????????????????&&???? ∈ ????????????????????&&???? ∈ ????????????????????]
????
2
+ ????
2
+ ????
2
????????????????[−???? + ????????]
5
????????????????[{{????, ????}, {−????, ????}}]
5(3 + 5)
В формате Norm[{x
1
,x
2
,...},n] вычисляется выражение


n
n
n
x
x
/
1 2
1


Если


n
, то вычисляется норма


,
,
max
2 1
x
x
????????????????[{????, ????, ????}, ????]
(Abs[????]
????
+ Abs[????]
????
+ Abs[????]
????
)
1
????
????????????????[{????, ????, ????}, ????]
2 1/4 7
????????????????[{????, ????, ????}, ????????????????????????????????]
Max[Abs[????], Abs[????], Abs[????]]
Вот графический пример, иллюстрирующий применение функции Norm.
????????????????????[????????????????????????????????????????[????????????????[{????, ????}, ????] ≤ ????, {????, −????. ????, ????. ????}, {????, −????. ????, ????. ????},
???????????????????????????????????????? → ????????????????], {????, {????, ????, ????, ????????????????????????????????}}]
Функция
Normalize[список] возвращает нормированный вектор, координаты которого изначально были заданы списком.
????????????????????????????????????[{????, ????, ????}]
{
2 7
,
3 7
,
6 7
}
????????????????????????????????[????????????????????????????????????[{???? + ????, ???? − ????}],
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? ∈ ???????????????????? && ???? ∈ ????????????????????]
{
???? + ????
2 ????
2
+ ????
2
,
???? − ????
2 ????
2
+ ????
2
}
???? = {????, ???? + ????????, ????????, ???? + ????????};