Файл: Mathematica для математиков. Часть Реализация основных понятий математического анализа.pdf

79
????@@????
????[????, ????, ????]
Команда Thread[f[args]] «проносит» функцию f сквозь любые списки, которые появляется в ее аргументах args. Например,
????????????????????????[????[{????, ????, ????}, {????, ????, ????}]]
{????[????, ????], ????[????, ????], ????[????, ????]}
В нашем примере функция Thread строит список подстановок
????????????????????????[????????????????[????, ????[????]]]
{???? → ????Cos[????], ???? → ????Sin[????], ???? → ????????}
Это можно было записать еще так
????????????????????????[????−> ????[????]]. В результате команда
????@@????/. ????????????????????????[????????????????[????, ????[????]]]
????[????Cos[????], ????Sin[????], ????????] выполняет подстановку параметрических уравнений r[t] кривой в аргументы функции u[x,y,z], которая требуется в интеграле (1).
Функция Norm[r'[t]]вычисляет норму производной радиуса – вектора
r[t], и запоминает ее в переменной sn. Подстановка
Abs[x_]^2 → ????^2 любые выражения вида


2
expr
Abs
заменяет выражением
2
expr при любом expr .
□
Пример. Вычислить интеграл первого рода по эллипсу
t
b
y
t
a
x
sin
,
cos





2 0


t
от функции
 
2 2
,














b
y
a
a
x
b
y
x
u
. Имеем
????????????????????[????, ????, ????]
????[????_] = {????????????????[????], ????????????????[????]};
???????? = ????????????????????????????????[????????????????[????′[????]]/. ????????????[????_]^???? → ????^????]
???? = {????, ????};
???? ????_, ????_ =
???? ????
????
????
+
???? ????
????
????
;
???? = ????????????????????????????????????[(????@@????/. ????????????????????????[????????????????[????, ????[????]]]) ∗ ????????, {????, ????, ????????}]
(????
2
+ ????
2
)????
□
Криволинейный интеграл 2 – го рода. Пусть в пространстве задано векторное поле

 





k
j
i
F
z
y
x
R
z
y
x
Q
z
y
x
P
z
y
x
,
,
,
,
,
,
,
,




, где P, Q, R – скалярные функции, и непрерывная кусочно – гладкая кривая C:
   
 
 
k
j
i
r
t
z
t
y
t
x
t



Криволинейным интегралом второго рода от вектор – функции


z
y
x
,
,
F

по кривой C называется число, равное


     

  
     

  
     

  















T
C
C
C
t
d
t
z
t
z
t
y
t
x
R
t
y
t
z
t
y
t
x
Q
t
x
t
z
t
y
t
x
P
z
d
R
y
d
Q
x
d
P
d
d
z
y
x
0
'
,
,
'
,
,
'
,
,
,
,
,
l
l
F
F
(2) или в векторной записи

80
     

  





C
C
t
d
t
t
z
t
y
t
x
d
'
,
,
r
F
F
l
(3)
Верхние записи в (2) представляют различные варианты обозначения интеграла второго рода, а нижняя представляет способ его вычисления – определенный интеграл по t в пределах [0,T]. Изначальное определение интеграла второго рода дается в терминах предела интегральных сумм. Интеграл для плоских кривых определяется аналогично.
Пример. Вычислить интеграл второго рода



B
A
y
d
y
x
x
d
x
I
2
вдоль прямолинейного отрезка , идущего из точки A(0, 0) в точку B(1, 1), и по дуге параболы
2
x
y

, соединяющей те же точки.
В первом случае y=x имеем
????????????????????[????, ????????, ????????, ????, ????, ????];
????????[????_] = {????, ????};
???? = {????, ????};
???? = {#????^????&, ???? ∗ #????&};
???????? = ????????????????????[????[[????]]@@????, {????, ????}]/. ????????????????????????[???? → ????????[????]]
????????????????????????????????????[????????. ????????′[????], {????, ????, ????}]
2 3
Во втором случае
2
x
y

????????[????_] = {????, ????^????};
???????? = ????????????????????[????[[????]]@@????, {????, ????}]/. ????????????????????????[???? → ????????[????]]
????????????????????????????????????[????????. ????????′[????], {????, ????, ????}]
11 15
Пример. Найти работу силового поля
k
j
i
F
z
y
x




при перемещении материальной точки вдоль первого витка конической винтовой линии
t
e
a
x
t
cos

,
t
e
a
y
t
sin

,
t
e
a
z

из точки A(0,0,0) в точку B(a,0,a).
Заметим, что точке A соответствует значение параметра


t
, а точке B соответствует
0

t
. Имеем
???????????????????? ????, ????, ???? ;
????[????_] = {????????????????[????]????????????[????], ????????????????[????]????????????[????], ????????????????[????]};
???? = {????, ????, ????};
???? = {#????&, #2&, #3&};
???????? = ????????????????????[????[[????]]@@????, {????, ????}]/. ????????????????????????[???? → ????[????]]
????[????_] = ????????. ????′[????]//????????????????????????????????
???? = ????????????????????????????????????[????[????], {????, −∞, ????}]
{????ⅇ
????
Cos[????], ????ⅇ
????
Sin[????], ????ⅇ
????
}
2????
2
ⅇ
2????
????
2
Для наглядности мы привели результаты работы последних трех строк кода.
Окончательно, работа
2
a
A

□

81
Криволинейный интеграл второго рода от вектора F, взятый по замкнутому контуру C, называется циркуляцией вектора поля по данному контуру и обозначается символом

C
l
d
F

. Направление обхода контура указывается заранее, причем положительным считается обход против часовой стрелки.
Для плоских векторных полей
   


y
x
Q
y
x
P
,
,
,

F

выполняется формула
Грина















D
C
y
d
x
d
y
P
x
Q
y
d
Q
x
d
P
,
(4) где D представляет область, ограниченную кривой C. Формула (4) справедлива только в случае, когда функции P и Q непрерывны вместе со своими производными
y
P
x
Q




,
в замкнутой области
C
D
D


Пример. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл








C
y
d
y
x
x
d
y
x
, где C – окружность
2 2
2
R
y
x


. Имеем
????????????????????[????, ????, ????]
????[????_, ????_] = {???? + ????, −(???? − ????)};
????????????????????????????????????[????????????????[????[????, ????], {????, ????}] ∗ ????????????????????[????
????
+ ????
????
≤ ????
????
],
{????, −????, ????}, {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0]
−2????????
2
□
Пример. Используя формулу Грина (4), вычислить криволинейный интеграл




C
y
d
e
x
d
e
y
y
x
2
по контуру квадрата C с вершинами (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).
Поскольку функции P и Q непрерывны вместе со своими производными
y
P
x
Q




,
в области квадрата, то формула Грина применима. Имеем
????[????_, ????_] = {????????????[???????? + ????], ????????????[−????]};
????????????????????????????????????[????????????????[????[????, ????], {????, ????}], {????, ????, ????}, {????, ????, ????}]
−
1 2
(−1 + ⅇ)
2
(1 + ⅇ)
????[%]
-5.4890995
□
Поверхностный интеграл 1 – го рода. Пусть в пространстве задано скалярное поле u(x,y,z) и гладкая поверхность S:
   
 
 
k
j
i
r
v
u
z
v
u
y
v
u
x
v
u
,
,
,
,



,
0




v
u
r
r
,
 


v
u,
, где Ω – ограниченная область с кусочно – гладкой границей и
     
v
u
z
v
u
y
v
u
x
,
,
,
,
,
– непрерывно дифференцируемые на

функции. Поверхностным интегралом первого рода называется число, равное


     









S
v
u
v
d
u
d
v
u
z
v
u
y
v
u
x
u
S
d
z
y
x
u
r
r
,
,
,
,
,
,
,
,
(5)

82 где справа стоит двойной интеграл по
 


v
u,
. Левая часть (5) есть обозначение поверхностного интеграла первого рода, а правая дает способ его вычисления. Конечно, изначальное определение интеграла первого рода дается в терминах предела интегральных сумм.
В частности из (5) имеем следующую формулу для вычисления площади поверхности, заданной в параметрическом виде








S
v
u
v
d
u
d
S
d
S
r
r
(6)
Пример. Используя формулу (6), вычислить площадь сферы радиуса R. Для этого уравнение сферы запишем в параметрическом виде
v
u
R
x
sin cos

,
v
u
R
y
sin sin

,
v
R
z
cos

, где

2 0


u
и



v
0
. Имеем
????????????????????[????, ????, ????, ????????, ????????]
????[????_, ????_] = {????????????????[????]????????????[????], ????????????????[????]????????????[????], ????????????????[????]};
????????[????_, ????_] = ????[????[????, ????], ????];
????????[????_, ????_] = ????[????[????, ????], ????];
???????????? = ????????????????????????????????[????????????????[????????????????????[????????[????, ????], ????????[????, ????]]]/. ????????????[????_]^???? → ????^????,
???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0]
???? = ????????????????????????????????????[????????????, {????, ????, ????????}, {????, ????, ????}]
????
2
Sin[????]
2 4????????
2
Напомним, что подстановка
Abs[x_]^2 → ????^2 любые выражения вида


2
expr
Abs
заменяет выражением
2
expr при любом expr .
□
Пример.
Вычислить интеграл

S
S
d
z
y
x
по поверхности
  

v
v
u
v
u
v
u
,
sin
,
cos
,

r
при

2 0
,
1 0




v
u
????????????????????[????, ????, ????, ????????, ????????]
????[????_, ????_] = {????????????????[????], ????????????????[????], ????};
????????[????_, ????_] = ????[????[????, ????], ????];
????????[????_, ????_] = ????[????[????, ????], ????];
????[????_, ????_] = ????????????????????????????????[????????????????????[????????[????, ????], ????????[????, ????]]]
{Sin[????], −Cos[????], ????}
???????????? = ????????????????????????????????[????????????????[????[????, ????]]/. ????????????[????_]^????−> ????^????]
1 + ????
2
???? = {????, ????, ????};
????[????_, ????_, ????_] = ???? ???? ????;
???? = ????????????????????????????????????[(????@@????/. ????????????????????????[????−> ????[????, ????]]) ∗ ????????????, {????, ????, ????????}, {????, ????, ????}]
1 16
????(−3 2 + ArcSinh[1])
????[%]
-0.65998325
□

83
Пример. Вычислить массу поверхности конуса
2 2
y
x
z


, ограниченной сверху плоскостью z=h, если поверхностная плотность пропорциональна расстоянию от этой точки до начала координат, т.е.


2 2
2
,
,
z
y
x
k
z
y
x




Масса конической поверхности может быть вычислена по формуле








S
S
S
d
z
y
x
k
S
d
z
y
x
m
2 2
2
,
,

. Тогда имеем
????????????????????[????, ????, ????, ????????, ????????]
????[????_, ????_] = {????, ????, ????
????
+ ????
????
};
????????[????_, ????_] = ????[????[????, ????], ????];
????????[????_, ????_] = ????[????[????, ????], ????];
????[????_, ????_] = ????????????????????????????????[????????????????????[????????[????, ????], ????????[????, ????]]];
???????????? = ????????????????????????????????[????????????????[????[????, ????]]/. ????????????[????_]^????−> ????^????]
2
???? = {????, ????, ????};
????[????_, ????_, ????_] = ???? ????
????
+ ????
????
+ ????
????
;
???? = ????????????????????????????????????[(????@@????/. ????????????????????????[???? → ????[????, ????]]) ∗ ???????????? ∗ ????????????????????[????
????
+ ????
????
≤ ????
????
],
{????, −????, ????}, {????, −????, ????}, ???????????????????????????????????????????? ⧴ ???? > 0]
4 3
????
3
????????
□

84
Пример.
Вычислить интеграл


S
d S
F
, где
k
j
i
F
x
y
z
z
x




и
 




k
j
i
r
v
u
v
u
v
u
v
u





2 2
,
,
2 0


u
и
3 1


v
????????????????????[????, ????, ????????, ????????, ????]
????[????_, ????_] = {???? − ????
????
, ????????, ????
????
− ????};
????????[????_, ????_] = ????[????[????, ????], ????];
????????[????_, ????_] = ????[????[????, ????], ????];
????[????_, ????_] = ????????????????????[????????[????, ????], ????????[????, ????]]
???? = {????, ????, ????};
???? = {(#????#????)&, #3&, (#2#1)&};
???????? = ????????????????????[????[[????]]@@????, {????, ????}]/. ????????????????????????[???? → ????[????, ????]]
???????????????? = ????????????????????????????????????[????????. ????[????, ????], {????, ????, ????}, {????, ????, ????}]
−
6928 15
Здесь переменная tf содержит результат подстановки координат вектора r в выражение вектор функции, т.е.
     


v
u
z
v
u
y
v
u
x
,
,
,
,
,
F
□
Пример. Найти поток вектора
k
j
i
F
z
y
x




через часть поверхности эллипсоида
1 2
2 2
2 2
2



c
z
b
y
a
x
, лежащую в первом октанте, в направлении внешней нормали.
Используем уравнение эллипсоида в параметрическом виде. Имеем.
????????????????????[????, ????, ????????, ????????, ????]
????[????_, ????_] = {????????????????[????]????????????[????], ????????????????[????]????????????[????], ????????????????[????]};
????????[????_, ????_] = ????[????[????, ????], ????];
????????[????_, ????_] = ????[????[????, ????], ????];
????[????_, ????_] = ????????????????????????????????[−????????????????????[????????[????, ????], ????????[????, ????]]]
{???? ???? Cos ????
2
Cos[????], ???? ???? Cos ????
2
Sin[????], ???? ???? Cos[????]Sin[????]}
Обратите внимание, что при вычислении вектора нормали перед векторным произведением мы поставили знак минус. Это нужно, чтобы вектор n был внешней нормалью.
???? = {????, ????, ????};
????[????_, ????_, ????_] = {????, ????, ????};
???????????? = ????????????????????????????????[(????[????, ????, ????]/. ????????????????????????[???? → ????[????, ????]]). ????[????, ????]];
???????????????? = ????????????????????????????????????[????????????, {????, ????, ????/????}, {????, ????, ????/????}]
1 2
???? ???? ???? ????
□
Пример. Найти поток ротора векторного поля

 

j
i
F
2 2
2
z
x
y
x





через часть поверхности конуса
2 2
2
y
x
z




4 1


z
в направлении внешней нормали.
Вначале составим параметрическое уравнение этой части конуса. Оно имеет вид
 
k
j
i
r
u
v
u
v
u
v
u



sin cos
,
,
4 1


u
и

2 0


v
. Тогда имеем

85
????????????????????[????, ????, ????????, ????????, ????]
????[????_, ????_] = {????????????????[????], ????????????????[????], ????};
????????[????_, ????_] = ????[????[????, ????], ????];
????????[????_, ????_] = ????[????[????, ????], ????];
????[????_, ????_] = ????????????????????????????????[−????????????????????[????????[????, ????], ????????[????, ????]]]
{????Cos[????], ????Sin[????], −????}
???? = {????, ????, ????};
????[????_, ????_, ????_] = {????
????
+ ????
????
, ???? + ????
????
, ????};
???????????? = ????????????????????????????????[(????????????????[????[????, ????, ????], {????, ????, ????}]/. ????????????????????????[???? → ????[????, ????]]). ????[????, ????]]
???????????????? = ????????????????????????????????????[????????????, {????, ????, ????????}, {????, ????, ????}]
−15????
□
Мы уже говорили, что криволинейный интеграл второго рода от вектора F, взятый по замкнутому контуру C, называется циркуляцией вектора поля по данному контуру и обозначается символом

C
d l
F

. Если поле плоское, то для него выполняется формула Грина. Если же поле и контур расположены в пространстве, то справедлива формула Стокса





S
C
d
rot
d
S
F
F
l
,
(9)
где справа стоит поверхностный интеграл второго рода от ротора векторного поля F, а слева – криволинейный интеграл второго рода по контуру C поверхности, ориентированному соответственно ориентации S. Формула (9) выражает тот факт, что поток вектора
F

rot
через ориентируемую поверхность
S равен циркуляции вектора F по контуру C этой поверхности.
Вспоминая формулу (8), имеем

      

  






v
d
u
d
v
u
v
u
z
v
u
y
v
u
x
rot
d
C
,
,
,
,
,
,
n
F
F
l
(10)
Пример. Вычислить интеграл


C
l
d
F
, где


k
j
i
F
x
y
y
x
z
z
y
x
2 3
3






и
C является окружностью радиуса R в плоскости
xy
. Имеем.
????????????????????[????, ????, ????]
????[????_] = {????????????????[????], ????????????????[????], ????};(* параметрическое уравнение окружности C *)
???? = {????, ????, ????};
????[????_, ????_, ????_] = {???? ???? ????, ???? + ???????? − ????????, ????
????
????};
???????????????? = ????????????????????????????????????[(????[????, ????, ????]/. ????????????????????????[???? → ????[????]]). ????′[????], {????, ????, ????????}]
3????????
2
Теперь применим формулу (10). Имеем
????????????????????[????, ????, ????????, ????????, ????, ????]
????[????_, ????_] = {????????????????[????]????????????[????], ????????????????[????]????????????[????], ????????????????[????]};
????????[????_, ????_] = ????[????[????, ????], ????];
????????[????_, ????_] = ????[????[????, ????], ????];
????[????_, ????_] = ????????????????????????????????[−????????????????????[????????[????, ????], ????????[????, ????]]]
{????
2
Cos[????]Sin[????]
2
, ????
2
Sin[????]Sin[????]
2
, ????
2
Cos[????]Sin[????]}