Файл: Mathematica для математиков. Часть Реализация основных понятий математического анализа.pdf

72
Легко видеть, что любое векторное поле, задаваемое в сферической системе координат в виде
 


0
,
0
,
r
f
, является безвихревым.
????????????????[{????[????], ????, ????}, {????, ????, ????}, "????????????????????????????????????"]
{0,0,0}
Иногда функция Curl возвращает разреженную матрицу, которая выглядит не совсем обычно
???? = ????????????????[???? + ???? + ????, {????, ????, ????}]
StructuredArray[SymmetrizedArray,{3,3},-Structured Data-]
Чтобы преобразовать результат в обычную матрицу к нему нужно применить функцию Normal.
????????????????????????[????]
{{0,1, −1}, {−1,0,1}, {1, −1,0}}
Между дифференциальными операторами векторного анализа имеются связи.
Например,
 
 
 
u
grad
v
v
grad
u
v
u
grad





. Это тождество легко проверить.
Имеем
????????????????????????[????, ????]
???????????????? ???? ????, ????, ???? ???? ????, ????, ???? , ????, ????, ???? == ???? ????, ????, ???? ???????????????? ???? ????, ????, ???? , ????, ????, ???? +
???? ????, ????, ???? ????????????????[????[????, ????, ????], {????, ????, ????}]
True
Для скалярного


z
y
x
h
,
,
и векторного поля


z
y
x
,
,
A
выполняются тождества


h
grad
div
h
h
div
,
A
A
A



и




h
grad
rot
h
h
rot
,
A
A
A



, где угловые и квадратные скобки обозначают скалярное и векторное произведение.
Проверим их. Для первого тождества имеем
????????????????????[????, ????, ????, ????];
???? = {????[????, ????, ????], ????[????, ????, ????], ????[????, ????, ????]};
???????????? ???? ????, ????, ???? ????, ????, ????, ???? == ???? ????, ????, ???? ???????????? ????, ????, ????, ???? +
????. ????????????????[????[????, ????, ????], {????, ????, ????}]//????????????????????????????????
True
Проверим второе тождество.
???????????????? ???? ????, ????, ???? ????, ????, ????, ???? == ???? ????, ????, ???? ???????????????? ????, ????, ????, ???? −
???? ⨯ ????????????????[????[????, ????, ????], {????, ????, ????}]//????????????????????????????????
True
Напомним, что векторное произведение (функция Cross) в виде ˟ (крест) вводится как Esc – cross – Esc.
Имеются и другие тождества, связывающие дифференциальные операции первого порядка. Вы можете проверить их самостоятельно.
Дифференциальные операции 2 – го порядка. Вычисляя градиент скалярного поля, мы производим над ним дифференциальную операцию первого порядка.
Аналогично можно говорить о дифференциальных операциях первого порядка над векторным полем (операции взятия дивергенции и ротора). Каждая операция первого порядка приводит к новому полю – векторному или скалярному. Если над ними произвести снова операцию первого порядка, то над исходным полем будет произведена операция второго порядка.

73
Пусть исходное поле является скалярным (функция u). Над ним можно произвести только одну дифференциальную операцию
u
grad
. Новое поле является векторным и над ним можно произвести одну из двух операций: взять дивергенцию или ротор. Таким образом, над скалярным полем можно произвести две операции второго порядка:
u
grad
rot
и
u
grad
div
. Для первой операции имеем
????????????????[????????????????[????[????, ????, ????], {????, ????, ????}], {????, ????, ????}]
{0,0,0}
Векторное поле, ротор которого равен нулю, называется безвихревым. Сейчас мы показали что векторное поле, которое образует градиент произвольной скалярной функции, является безвихревым.
Для второй операции в декартовой системе координат имеем
????????????[????????????????[????[????, ????, ????], {????, ????, ????}], {????, ????, ????}]
????
(0,0,2)
[????, ????, ????] + ????
(0,2,0)
[????, ????, ????] + ????
(2,0,0)
[????, ????, ????]
Операция 2 – го порядка
u
grad
div
приводит к новому скалярному полю. Она называется «оператором Лапласа» или «лапласианом» и обозначается коротко
u

. Для вычисления этой операции в Mathematica имеется специальная функция Laplacian.
????????????????????????????????????[????[????, ????, ????], {????, ????, ????}]
????
(0,0,2)
[????, ????, ????] + ????
(0,2,0)
[????, ????, ????] + ????
(2,0,0)
[????, ????, ????]
????????????????????????????????????[ ????
????
+ ????
????
+ ????
????
, {????, ????, ????}]//????????????????????????????????
2
????
2
+ ????
2
+ ????
2
????????????????????????????????????[????[????, ????], {????, ????}]
????
(0,2)
[????, ????] + ????
(2,0)
[????, ????]
Скалярное поле, лапласиан которого в некоторой области тождественно равен нулю, называется гармоническим (гармонической функцией).
????[????, ????, ????] =
????
????
????
+ ????
????
+ ????
????
;
????????????????????????????????????[????[????, ????, ????], {????, ????, ????}]//????????????????????????????????
0
Т.е. функция
2 2
2 1
z
y
x
u



является гармонической везде, кроме точки
(0,0,0), в которой она не определена.
Первым аргументом функции Laplacian. может быть список функций или массив большей размерности. В декартовой системе лапласиан от списка функций равен списку лапласианов этих функций.
????????????????????????????????????[{????
????
+ ????
????
, ????
????
+ ????
????
, ????/ ????
????
+ ????
????
, ????????????[????
????
+ ????
????
]}, {????, ????}]//????????????????????????????????
{4,
1
????
2
+ ????
2
,
1
(????
2
+ ????
2
)
3/2
, 0}

74
Однако в криволинейных системах координат это не так. Лапласиан даже постоянного вектора может иметь ненулевые координаты
????????????????????????????????????[{????, ????}, {????, ????}, "????????????????????"]//????????????????????????????????
−
1
????
2
, −
1
????
2
Обратите внимание, что в двумерном пространстве функция
2 2
/
1
y
x

не является гармонической. Гармонической является функция


2 2
ln
y
x

Рассмотрим теперь дифференциальные операции 2 – го порядка над векторным полем. Операций первого порядка две:
A
div
и
A
rot
. Над скалярным полем
A
div
можно произвести только операцию взятия градиента.
????????????????????[????, ????, ????];
???? = {????[????, ????, ????], ????[????, ????, ????], ????[????, ????, ????]};
???????? = ????????????????[????????????[????, {????, ????, ????}], {????, ????, ????}]
{????
(1,0,1)
[????, ????, ????] + ????
(1,1,0)
[????, ????, ????] + ????
(2,0,0)
[????, ????, ????],
????
(0,1,1)
[????, ????, ????] + ????
(0,2,0)
[????, ????, ????] + ????
(1,1,0)
[????, ????, ????],
????
(0,0,2)
[????, ????, ????] + ????
(0,1,1)
[????, ????, ????] + ????
(1,0,1)
[????, ????, ????]}
Над векторным полем
A
rot
можно произвести операции div и rot ; это приводит нас еще к двум операциям второго порядка:
A
rot
div
и
A
rot
rot
. Но первая операция приводит к тождественному нулю
????????????[????????????????[????, {????, ????, ????}], {????, ????, ????}]
0
Вторая операция
A
rot
rot
дает
???????? = ????????????????[????????????????[????, {????, ????, ????}], {????, ????, ????}]
{−????
(0,0,2)
[????, ????, ????] − ????
(0,2,0)
[????, ????, ????] + ????
(1,0,1)
[????, ????, ????] + ????
(1,1,0)
[????, ????, ????],
−????
(0,0,2)
[????, ????, ????] + ????
(0,1,1)
[????, ????, ????] + ????
(1,1,0)
[????, ????, ????] − ????
(2,0,0)
[????, ????, ????],
????
(0,1,1)
[????, ????, ????] − ????
(0,2,0)
[????, ????, ????] + ????
(1,0,1)
[????, ????, ????] − ????
(2,0,0)
[????, ????, ????]}
Можно заметить, что между операциями
A
rot
rot
и
A
div
grad
существует связь:
A
A
A
rot
rot
div
grad



(в декартовой системе координат).
Действительно
???????? == ????????????????????????????????????[????, {????, ????, ????}] + ????????
True
Мы уже говорили, что функция Curl умеет работать со скалярными функциями и результатом является вектор.
????????????????[????[????, ????], {????, ????}]
{−????
(0,1)
[????, ????], ????
(1,0)
[????, ????]}
Ее повторное использование возвращает Лапласиан, т.е. двойной ротор скалярного поля является Лапласианом этого поля. Действительно,
????????????????[????????????????[????[????, ????], {????, ????}], {????, ????}]
????
(0,2)
[????, ????] + ????
(2,0)
[????, ????]
Аналогичный результат имеет место для пространственного скалярного поля.
????????????????[????????????????[????[????, ????, ????], {????, ????, ????}], {????, ????, ????}]
????
(0,0,2)
[????, ????, ????] + ????
(0,2,0)
[????, ????, ????] + ????
(2,0,0)
[????, ????, ????]

75
Выше мы показали, что дивергенция ротора векторного поля тождественно равна нулю. Но определение функции Curl таково, что и для скалярного поля дивергенция ротора равна нулю.
????????????[????????????????[????[????, ????, ????], {????, ????, ????}], {????, ????, ????}]//????????????????????????
{0,0,0}
????????????[????????????????[????[????, ????], {????, ????}], {????, ????}]
0
С другими нестандартными возможностями функций Grad, Div, Curl вы можете познакомиться по справочной системе. В частности, в нашем пособии мы не рассмотрели примеры того, как работают эти функции с тензорными полями.
Особую роль в приложениях играют потенциальные поля. Векторное поле


z
y
x
A
A
A
,
,

A

называется потенциальным, если существует скалярная функция
u, для которой A

служит градиентом
u
grad

A

. Сама функция u называется потенциальной функцией (или потенциалом) поля A

. Для того, чтобы поле A

было потенциальным необходимо и достаточно, чтобы во всей рассматриваемой области
A

rot
обращался в нуль.
Векторное поле, ротор которого тождественно равен нулю, называется безвихревым. Таким образом, понятия потенциального и безвихревого поля совпадают.
В курсах математического анализа доказывается, что для такого поля циркуляция по простому замкнутому контуру всегда будет нулем, а линейный интеграл по кривой, соединяющей любые две точки поля, оказывается не зависящим от формы кривой. Сама потенциальная функция u, с точностью до произвольного постоянного слагаемого, определяется криволинейным интегралом 2 – го рода









C
z
y
x
C
C
z
d
A
y
d
A
x
d
A
d
d
u
s
A
s
A


,
, взятым от некоторой фиксированной точки Q до переменной точки P рассматриваемой области по любой соединяющей эти точки кривой C. Т.о., если точки P и Q являются концевыми точками кривой C, то для потенциального поля имеет место
   
Q
u
P
u
d
C




s
A

Потенциальную функцию u векторного поля можно находить по – другому.
Например, пусть имеется плоское векторное поле


y
x
A
A ,

A

. Если оно потенциальное, то


y
x
A
A
y
u
x
u
u
grad
,
,













A

. Т.е.
x
A
x
u



и
y
A
y
u



Решив эту систему относительно u(x,y), вы найдете потенциальную функцию.

76
Пример. Показать, что векторное поле


3 6
,
2 2
3 2
2 2





x
y
y
x
x
F
является безвихревым и найти его потенциал.
????????????????????[????????, ????????, ????, ????, ????]
????????[????_, ????_] = ????????
????
− ???????????? + ????;
????????[????_, ????_] = ????????
????
− ????
????
+ ????;
????[????_, ????_] = {????????[????, ????], ????????[????, ????]};
????????????????[????[????, ????], {????, ????}]
0
Поскольку
0

F
rot
, то поле безвихревое и, следовательно, имеет потенциал.
Для него имеем




3 6
,
2 2
3
,
,
2 2
2 2
1

















x
y
y
x
x
F
F
y
u
x
u
u
grad
. Тогда
???? = ∫ ????????[????, ????] ⅆ???? + ????[????]
2???? + ????
3
− ????
2
???? + ????[????]
Добавление h(y) здесь необходимо, поскольку постоянная интегрирования может зависеть от y. Далее
???? = ????????????????????[????[????, ????] == ????????[????, ????], ????′[????]]
{{????
′
[????] → 3(1 + 2????
2
)}}
????[????_] = ????????????????????????????????????[????′[????]/. ????[[????]], ????]
3???? + 2????
3
Таким образом, потенциал поля равен (печатаем u, а подстановка значения h(y) выполняется автоматически)
????
2???? + ????
3
+ 3???? − ????
2
???? + 2????
3
□
Пример. Показать, что векторное поле


2 2
2 3
,
2
,
2 3
z
y
z
y
x
y
x
x





F
является безвихревым и определить его потенциал.
????????????????????????[????, ????, ????, ????????, ????????, ????????, ????, ????, ????]
????????[????_, ????_, ????_] = ????????
????
+ ????????????;
????????[????_, ????_, ????_] = ????
????
+ ???????? + ????;
????????[????_, ????_, ????_] = ???? + ????????
????
;
???? = {????????[????, ????, ????], ????????[????, ????, ????], ????????[????, ????, ????]}
????????????????[????, {????, ????, ????}]
{0,0,0}
Поскольку
0

F
rot
, то поле безвихревое и, следовательно, имеет потенциал.
???? = ∫ ????????[????, ????, ????] ⅆ???? + ????[????, ????]
????
3
+ ????
2
???? + ????[????, ????]
Добавление
 
z
y
h ,
здесь необходимо, поскольку постоянная интегрирования может зависеть от y и z. Далее
???????? = ????????????????????[????[????, ????] == ????????[????, ????, ????], ????
????
????[????, ????]]
{{????
(1,0)
[????, ????] → 2???? + ????}}
????[????_, ????_] = ∫ ????????[[????, ????, ????]] ⅆ???? + ????[????]
????
2
+ ???????? + ????[????]

77
Проверим, чему сейчас равно u.
????
????
3
+ ????
2
???? + ????
2
+ ???????? + ????[????]
???????? = ????????????????????[????[????, ????] == ????????[????, ????, ????], ????
????
????[????]]
{{????
′
[????] → 3????
2
}}
????[????_] = ∫ ????????[[????, ????, ????]] ⅆ????
????
3
Теперь
????
????
3
+ ????
2
???? + ????
2
+ ???????? + ????
3
Итак, потенциалом поля

78
A

было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялось равенство
0

A

div
. Например,
????[????_, ????_, ????_] = {???? ????
????
, ????
????
????, −(????
????
+ ????
????
)????};
????????????[????[????, ????, ????], {????, ????, ????}]
0 и векторное поле F является соленоидальным.
Проверим, что следующее плоское векторное поле является соленоидальным.
????[????_, ????_] = {????
????
???? + ????
????
, ????
????
− ????????
????
};
????????????[????[????, ????], {????, ????}]
0
3
.4.3 Криволинейные и поверхностные интегралы
Криволинейный интеграл 1 – го рода. Пусть в пространстве задано скалярное поле
u(x,y,z) и непрерывная кусочно – гладкая кривая
C:
   
 
 
k
j
i
r
t
z
t
y
t
x
t



. Криволинейным интегралом первого рода от функции
u(x,y,z) по кривой C называется число, равное


     

  
 
 
t
d
t
z
t
y
t
x
t
z
t
y
t
x
u
l
d
z
y
x
u
T
C






0 2
2 2
,
,
,
,
(1) или в векторной записи


 
   
t
d
t
t
u
s
d
z
y
x
u
T
C



0
'
,
,
r
r
, где обозначает норму/длину вектора.
Левая часть (1) есть обозначение интеграла первого рода, а правая есть способ его вычисления – это обычный определенный интеграл по t на [0,T].
Изначальное определение интеграла первого рода дается в терминах предела интегральных сумм. Интеграл на плоскости определяется аналогично.
Пример. Пусть вдоль винтовой линии
 


k
j
i
r
t
b
t
t
a
t



sin cos распределена масса с линейной плотностью


2
,
,
z
z
y
x
u

. Найти массу участка винтовой линии
T
t


0
Масса кривой определяется криволинейным интегралом первого рода (1).
????????????????????[????, ????, ????]
????[????_] = {???? ????????????[????], ???? ????????????[????], ???? ????};
???????? = ????????????????????????????????[????????????????[????′[????]]/. ????????????[????_]^???? → ????^????]
???? = {????, ????, ????};
????[????_, ????_, ????_] = ????
????
;
???? = ????????????????????????????????????[(????@@????/. ????????????????????????[????????????????[????, ????[????]]]) ∗ ????????, {????, ????, ????}]
1 3
????
2
????
2
+ ????
2
????
3
(*ответ – масса кривой *)
Поясним некоторые элементы приведенного кода. Команда Apply (инфиксная форма @@ ) заменяет заголовок переменной p (это List) на u.