(x) непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы в окрестностях точки x₀ (кроме может быть т. x₀), в этой окрестности , _.

Если существует , то .

17. Раскрытие неопределённости различных видов (0* ,

1. Пусть , то

,

2. Пусть , тогда



3. Пусть или , тогда (сначала удобно логарифмировать)

18. Возрастание и убывание функции. Экстремум ф-и. Наибольшее и наименьшее значение ф-и на отрезке.

Теорема 1 (необходимое условие).

Если дифференцируемая на интервале (a;b) ф-я возрастает, то , а если убывает, то (для любых Х принадлежащих (a;b)).

Теорема 2 (достаточное условие)

Если ф-я f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и для любого хϵ(a; b), то эти ф-я возрастает (убывает) на интервале (a;b).

Экстремум функции

Значения функции в точке max (min) называются максимум (минимум) функции. Это и есть экстремумы функции.

Теорема 3 (необходимое условие экстремума)

Если дифференцируемая ф-я y= f(x) имеет экстремум в т. х₀, то её производная равна в этой точке 0.

Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная ф-и равна 0 или не существует. Такие точки называются критическими.

---

Теорема 4 (достаточное условие экстремума)

Если непрерывная ф-я y= f(x) дифференцируема в некоторой δ-окрестности критической т. х₀ и при переходе через неё (слева направо) производная меняет знак с + на –, то х₀ есть точка max, а если с – на +, то точка min.


Правила исследования ф-и на экстремумы.

1. 
   Найти критические точки ф-и y= f(x)
   
2. 
   Выбрать те, которые являются внутренними точками области определения ф-ии
   
3. 
   Исследовать знак производной слева и справа от каждой из них
   
4. 
   Выписать точки экстремума (если есть) и вычислить значения ф-и в них
   

Теорема: Если в т. х₀ первая производная ф-и f(x) равна 0 ( , а вторая существует и отлична от 0 ( , то при в т. х₀ имеет максимум, а при - минимум.
Наибольшее и наименьшее значение ф-и на отрезке

Пусть ф-я y= f(x) непрерывна на отрезке [a;b].

1. 
   Найти критические точки на интервале (a;b)
   
2. 
   Вычислить значения ф-и в них
   
3. 
   Вычислить значения ф-и на концах отрезка
   
4. 
   Среди вычисленных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
   

19. Выпуклость графика ф-и. Точки перегиба.

Выпуклость графика в т. Перегиба

• 
  График дифференцируемой ф-и y=f(x) наз-ся выпуклым вниз на (a;b) если он расположен выше любой её касательной на этом интервале.
  
• 
  График дифференцируемой ф-и y=f(x) наз-ся выпуклым вверх на (a;b) если он расположен ниже любой её касательной на этом
  
• 
  Точка графика непрерывной ф-и y=f(x), отделяющая его части разной выпуклости наз-ся точкой перегиба.
  

Теорема: Если ф-я y=f(x) во всех точках (a;b) имеет отрицательную вторую производную, то график в этом интервале выпуклый вверх, если положительную – то график выпуклый вниз.

Теорема (достаточное условие сущ-я точек перегиба): Если при переходе через т. х_0, в которой она равна 0 или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х₀ – точка перегиба.

20. Асимптоты графика ф-и. Общая схема исследования ф-и и построения её графика.

---

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к 0 при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Прямая х=а является вертикальной асимптотой графика ф-и y=f(x), если

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде y=kx+b, где , , следовательно если k=0, то , поэтому y=b – ур-е горизонтальной асимтоты.

Схема исследования ф-и

1. 
   Найти обл опред ф-ии
   
2. 
   Найти (если возможно) точки пересечения графика с осями координат
   
3. 
   Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на к-х f(x)>0 или f(x)<0)
   
4. 
   Выяснить, является ли ф-я чётной (f(-x)=f(x)), нечётной (f(-x)=-f(x)) или общего вида
   
5. 
   Найти асимптоты графика ф-и
   
6. 
   Найти интервалы монотонности ф-и
   
7. 
   Найти экстремумы ф-и
   
8. 
   Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика ф-и
   

21. Понятие неопределенного интеграла. Его свойства.

Функция F(x) называется первообразной ф-и f(x) на (a;b), если при любом xϵ(a;b) выполняется равенство f(x) (или d F(x)= f(x)dx).

Теорема: Если F(x) является первообразной ф-и f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся функцией F(x)+С.

Множество всех первообразных ф-й F(x)+С для f(x) наз-ся неопределённым интегралом от ф-и F(x) и обозначается: , где f(x) – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Геометрически неопр. интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых y=F(x)+C. График каждой первообразной наз-ся интегральной кривой.

Свойства:

1. 
   d( f(x)dx,
   
2. 
   
   
3. 
   a , a≠0
   
4. 
   
   
5. 
   Инвариантность формулы интегрирования: если , то , где u=
   

---

22. Метод непосредственного интегрирования

Это метод, при котором данный интеграл путём тождественных преобразований и применения свойств неопределённого интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Операция «Подведение под знак дифференциала»:

;	;	;	;
	;	;	;
;	;	;	.

23. Метод интегрирования подстановкой (замены переменной)

Формула: . После решения необходимо вернуться к начальной переменной.

24. Метод интегрирования по частям

Пусть u=u(x) и v=v(x), тогда d(u*v)=u*dv+v*du

---

или
25. Понятие рациональной функции. Многочлен. Дробно-рациональная функция.

Функция вида P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x²+…+a_n-1x+a_n, где nϵN, a_i(i=0,1,…,n) – постоянные коэффициенты, называется многочленом или целой рациональной ф-ей, n – степень многочлена.

Теорема 1: Если х₁ есть корень многочлена P_n(x), то многочлен делится без остатка на (x-x₁):
Pn(x)=(х-х₁)* P_n-1(x)

Теорема 2 (основная теорема алгебры): Всякий многочлен n-ой степени (n>0) имеет по крайней мере хотя бы один корень действительный или комплексный.

Теорема 3: Всякий многочлен P_n(x) можно представить в виде P_n(x)=a₀(x-x₁)(x-x₂)…(x-x_n)

Теорема 4: Если многочлен P_n(x) тождественно равен 0, то все его коэффициенты равны 0.

Теорема 5: Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэф. другого.

Дробно-рациональная функция

Это функция, равная отношению двух многочленов f(x)=

Рациональная дробь называется правильной, если m n – неправильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена L(x)+ , где - правильная рац. дробь ( L(x)+ .

Правильные рациональные дроби вида:

1. 
   
   
2. 
   (k≥2, k ϵN)
   
3. 
   
   
4. 
   (k≥2)
   

(где A, a, M, N, p, q - действительные числа) - которые называются рациональными дробями I, II, III и IV типов

Т.

---

Смотрите также файлы

• Роль личности в истории. М. Тэтчер.docx

• МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.docx

• Архитектура персонального компьютера.docx

• Автоматическая телефонная станция.docx

• Требования к реферату.docx