Файл: Сборник олимпиадных задач по математике для 5 класса.docx

Решение.

Ответ: 1. Балбес; 2. Трус; 3. Шурик; 4. Бывалый. Из первого условия следует, что Шурик, Трус и Балбес заняли первые три места в каком-то порядке, а из второго, – что Трус и Бывалый заняли второе и четвертое места. Значит, Трус – второй, Бывалый – четвертый. Из последнего условия следует, что Балбес – первый, а Шурик – третий.

Задача 52.

В бочке находится не менее 13 литров молока. Как отлить из нее 8 литров молока с помощью пустых пятилитрового и девятилитрового ведер?

Решение.

Наполняем из бочки девятилитровое ведро и отливаем из него 5 л в пятилитровое. Эти 5 л выливаем обратно в бочку, а в пятилитровое ведро выливаем оставшиеся 4 л из девятилитрового. Далее снова наполняем девятилитровое ведро из бочки и отливаем 1 л в пятилитровое. Теперь в девятилитровом ведре находится 8 литров молока.

Задача 53.

Количество цифр, потребовавшихся для нумерации всех страниц энциклопедического словаря, не превосходит 2009 (первая страница имеет номер 1). Если бы в словаре было на одну страницу больше, то это количество превысило бы 2009. Сколько страниц в словаре? Объясните, как вы получили ответ.

Решение. На однозначные номера потрачено 9 цифр, на двузначные – 90×2 = 180 цифр. Поэтому на трехзначные номера остается не более 2009 – 9 – 90×2 = 1820 цифр. Так как 1820 : 3 = 606 (ост. 2), то страниц с трехзначными номерами в словаре 606, а всего страниц – 9 + 90 + 606 = 705.

Ответ: 705 страниц.

Задача 54.

Коля заплатил 115 руб за четыре тетради, два карандаша и резинку, Саша – 140 руб за две тетради, семь карандашей и две резинки. Сколько заплатил Антон за две тетради, три карандаша и резинку? Объясните, как вы получили ответ.

Решение.

Так как покупки Коли и Саши вместе составляют утроенную покупку Антона, то Антон потратил (115 + 140) : 3 = 85 руб.

Ответ: 85 руб.

Задача 55.

Сколько раз к наибольшему однозначному числу надо прибавить наибольшее двузначное число, чтобы получить наибольшее трёхзначное.

Решение.

9 + 99п = 999

99п = 990

п = 10

Значит нужно прибавить 10 раз.

Ответ: 10 раз

Задача № 56 : В примере на сложение двух чисел первое слагаемое меньше суммы на 2000, а сумма больше второго слагаемого на 6. Восстановите пример.

---

. Ответ: 6+2000 = 2006. Если из суммы двух чисел вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое. Из условия следует, что второе слагаемое равно 2000, а первое - равно 6.

Задача № 57 :В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте.

Ответ : Федору 11 лет. Заметим, что если не ошибся Шарик, то не ошибся и Матроскин, что противоречит условию. Значит, Шарик сказал неправду, в отличие от кота Матроскина. Таким образом, дяде Федору больше 10 лет, но не меньше 11. Следовательно, дяде Федору исполнилось 11 лет.

Задача № 58 :. В забеге от Воробьевых гор до Красной площади приняли участие три спортсмена. Сначала стартовал Гриша, затем — Саша, и последней — Лена. После финиша выяснилось, что во время забега Гриша обгонял других 10 раз, Лена — 6 раз, Саша — 4 раза, причем все трое ни разу не оказывались в одной точке одновременно. В каком порядке финишировали спортсмены, если известно, что они пришли к финишу в разное время? Ответ обоснуйте.

. Ответ: первым финишировал Гриша, затем - Саша, и последней - Лена.

Гриша стартовал первым. Чтобы он смог совершить 10 обгонов, необходимо чтобы Саша и Лена обогнали его хотя бы 10 раз. Так как общее количество обгонов Саши и Лены равно 6 + 4 = 10, то они обгоняли только Гришу и не обгоняли друг друга. После того, как Гриша совершил все 10 обгонов, он опять оказался первым. Значит, спортсмены финишировали в том же порядке, в котором и стартовали.

Гриша стартовал первым. Чтобы он смог совершить 10 обгонов, необходимо чтобы Саша и Лена обогнали его хотя бы 10 раз. Так как общее количество обгонов Саши и Лены равно 6 + 4 = 10, то они обгоняли только Гришу и не обгоняли друг друга. После того, как Гриша совершил все 10 обгонов, он опять оказался первым. Значит, спортсмены финишировали в том же порядке, в котором и стартовали.

Школьный этап олимпиады по математике в 5-6-х классах Задача №1. Вычеркните в числе 4000538 пять цифр так, чтобы оставшееся число стало наибольшим. Задача №2. В записи трёхзначного числа единиц в два раза меньше, чем десятков, а сотен в два раза больше, чем десятков. Найти это число, если в нём четыре десятка. Задача №3. Расшифруйте два ребуса, в которых одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам - разные цифры в обоих примерах. Задача №4. Имеется двое песочных часов: на 3 минуты и 7 минут. Яйцо варится 11 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов. Задача №5. Трое учеников пошли на рыбалку, взяв с собой лодку, выдерживающую нагрузку до 100 кг. Как перебраться ученикам с берега реки на остров, если их массы равны 40 кг, 50 кг, 70 кг? Ответы 5-6-й классы Ответ к задаче №1: 58. Ответ к задаче №2: 842. Ответ к задаче №3: А=3; Б=2; В=1; Г=5. Ответ к задаче №4: Перевернуть обои часы, когда пройдёт три минуты, в семиминутных часах останется 4 минуты. Поставить яйцо в данный момент вариться, когда 4 минуты закончатся, перевернуть семиминутные часы обратно. Получим: 4+7=11. Ответ к задаче № 5: План действий: сначала переправляются два лёгких; один из них перегоняет лодку обратно; самый тяжёлый садится в лодку и переплывает один; второй лёгкий садится в лодку и перегоняет её обратно; двое лёгких садятся в лодку и переправляются на остров.

---

№ 1: На прямой взяли 4 точки. Сколько всего получилось отрезков, концами которых являются эти точки? (2 балла)

Ответ: Всего получилось 6 отрезков.

№ 2: Винни-Пуху подарили в день рождения бочонок с мёдом массой 7кг. Когда Винни-Пух сьел половину мёда, то бочонок с оставшимся мёдом стал иметь массу 4кг. Сколько килограммов мёда было первоначально в бочонке? (3 балла)

Ответ: В бочонке первоначально было 6кг мёда.

Решение: Оставшаяся половина мёда в бочонке имеет массу

7-4=3(кг). Значит, всего мёда 3*2=6(кг).

№ 3 : Сумма трех чисел равна их произведению. Эти числа различные и однозначные. Найти эти числа. (3 балла)

Ответ: 1,2,3.

Решение: 1+2+3=1*2*3

№ 4 : Турист поднимался в гору 5 часов, проходя каждый час 3 км. На обратном пути он увеличил скорость на 2 км/ч. Сколько часов потребовалось туристу на обратный путь? (3 балла)

Ответ: Туристу на обратный путь понадобилось 3 часа.

Решение: 5*3=15(км) — весь путь

3+2=5(км/ч) — скорость на обратном пути

15:5=3(ч) – время, потраченное на обратный путь

№ 5: С хозяйством попа справляются 10работников. Каждый работник в день съедает каравай хлеба и другие продукты. Поп принял на работу Балду.

Живет Балда в поповом доме,

Спит себе на соломе,

Ест за четверых,

Работает за семерых.

Поп прогнал лишних работников. Сколько караваев хлеба экономил поп ежедневно? (2 балла)

Ответ: Поп ежедневно экономил три каравая.

Решение: Балда работал за семерых, а ел за четверых. Экономия составляет

7- 4=3(каравая)

№ 6: По дереву ползет гусеница. За день она поднимается на 6 метров, а ночью опускается на 4 метра. За сколько дней она доползет до вершины, если высота дерева 14 метров?

Ответ: За 5 дней

Решение: В последний день гусеница поднимется на 6 метров, значит ей надо проползти ещё 14-6=8(м). В день она поднимается на 6-4=2(м). Тогда 8 метров проползет за 8:2=4 (дня). Все время движения составит 1+4=5 (дней)

Требуется распилить бревно на 6 частей. Каждый распил занимает 2 минуты. Сколько времени потребуется на эту работу?

Ответ: 10 минут

Решение: Распилов будет 5. Затраченное время 5*2=10 (мин)

---