ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 455
Скачиваний: 1
Z Z
D
xydxdy
=
Z Z
D
1
xydxdy
+
Z Z
D
2
xydxdy.
(5)
Ñâåäåì
èíòåãðàëû,
ñòî
ÿùèå
â
ïðàâîé
÷àñòè,
ê
ïîâòîð-
íûì
è
âû÷èñëèì
èõ,
ïðèìåíÿÿ
îïèñàííûå
ðàíåå
ïðèåìû
ê
ê
àæäîìó
èíòåãðàëó
â
îò
äåëüíîñòè.
Ñíà
÷àëà
ðàññìîòðèì
îáëàñòü
D
1
.
Ïðåäåëû
âíåøíåãî
èíòåãðàëà
ïî
ïåðåìåííîé
y
ïîñòî
ÿí-
íûå
è
îïðåäåëÿþòñ
ÿ
èç
ó
ñëîâèÿ
0
≤
y
≤
1
,
ïðåäåëû
âíóò-
ðåííåãî
èíòåãðàëà
çàâèñ
ÿò
îò
ïåðåìåííîé
y
,
ïîýòîìó
ëåâàÿ
è
ïðàâàÿ
ãðàíèöû
îáëàñòè
D
1
äîëæíû
îïèñûâàòüñ
ÿ
óðàâíåíè-
ÿìè,
çàâèñ
ÿùèìè
îò
ïåðåìåííîé
y
.
Ò
àê,
äëÿ
ëåâîé
ãðàíèöû
èìååì
x
=
−
√
y
(îáðàòíàÿ
óíêöèÿ
äëÿ
y
=
x
2
ïðè
x
≤
0
),
à
äëÿ
ïðàâîé
x
=
√
y
(îáðàòíàÿ
óíêöèÿ
äëÿ
y
=
x
2
ïðè
x
≥
0
).
Îê
îí÷àòåëüíî
äëÿ
îáëàñòè
D
1
ïîëó÷àåì
Z Z
D
1
xydxdy
=
1
Z
0
dy
√
y
Z
−
√
y
xydx
=
1
Z
0
dyy
x
2
2
√
y
−
√
y
=
=
1
2
Z
1
0
y
(
y
−
y
)
dy
= 0
.
(6)
Àíàëîãè÷íî,
ïðåäñò
àâèì
â
âèäå
ïîâòîðíîãî
è
âû÷èñëèì
äâîéíîé
èíòåãðàë
ïî
îáëàñòè
D
2
.
Äëÿ
ê
àæäîãî
èê
ñèðî-
âàííîãî
çíà
÷åíèÿ
y
∈
[1
,
4]
ïåðåìåííàÿ
x
ìî
æ
åò
ïðèíèìàòü
çíà
÷åíèÿ
îò
ïð
ÿìîé
x
=
y
−
2
äî
x
=
√
y
â
íàïðàâëåíèè,
óê
àçàííîì
ñòðåëê
àìè
íà
ðèñ.
12.
Èìååì
Z Z
D
2
xydxdy
=
4
Z
1
dy
√
y
Z
−
2
xydx
=
4
Z
1
dyy
x
2
2
√
y
y
−
2
=
21
=
1
2
4
Z
1
y y
−
(
y
−
2)
2
dy
=
1
2
4
Z
1
5
y
2
−
y
3
−
4
y
dy
=
=
1
2
5
y
3
3
−
y
4
4
−
2
y
2
4
1
=
=
1
2
5
·
64
3
−
64
−
32
−
5
3
+
1
4
+ 2
=
45
8
= 5
5
8
.
(7)
Ïî
äñò
àâëÿÿ
ïîëó÷åííûå
â
(6)
è
(7)
çíà
÷åíèÿ
â
îðìó
ëó
(5),
îê
îí÷àòåëüíî
ïîëó÷èì
Z Z
D
xydxdy
= 0 + 5
5
8
= 5
5
8
.
Îòâåò
ïîëó÷èëñ
ÿ
òîò
æ
å,
÷òî
è
ïðè
ïåðâîì
ñïîñîáå
ðå-
øåíèÿ,
íî
â
äàííîì
ïðèìåðå
âòîðîé
ñïîñîá
îê
àçàëñ
ÿ
áîëåå
çàòðó
äíèòåëüíûì.
Çàìå÷àíèå:
èç
ðàññìîòðåííûõ
âûøå
ïðèìåðîâ
ñò
àíî-
âèòñ
ÿ
ÿñíî,
÷òî
äëÿ
óïðîùåíèÿ
âû÷èñëåíèé
â
ð
ÿäå
çàäà
÷
íóæíî
óìåòü
ñâî
äèòü
äâîéíûå
èíòåãðàëû
ê
ïîâòîðíûì
ñ
òåì
èëè
èíûì
ïîð
ÿäê
îì
èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ïðè
ýòîì
âûáîð
îïðåäåëÿåòñ
ÿ
ê
àê
âèäîì
îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ,
ò
àê
è
âè-
äîì
èíòåãðèðó
åìîé
óíêöèè.
àññìîòðèì
åùå
î
äèí
ïðèìåð.
Ïðèìåð
3
Â
äâîéíîì
èíòåãðàëå
RR
D
f
(
x, y
)
dxdy
ðàññò
àâèòü
ïðåäå-
ëû
èíòåãðèðîâàíèÿ
â
ïîâòîðíîì
èíòåãðàëå
â
òîì
è
èíîì
ïîð
ÿäê
å,
åñëè
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
D
îãðàíè÷åíà
êðè-
âûìè:
y
=
x
3
,
x
= 0
,
y
= 2
x
+ 4
.
åøåíèå
1.
Èçîáðàçèì
ãðàè÷åñêè
îáëàñòü
D
(ðèñ.
13).
22
èñ.
13
2.
Ñíà
÷àëà
ñâåäåì
íàø
èíòåãðàë
ê
ïîâòîðíîìó
âèäà
b
Z
a
dx
y
2
(
x
)
Z
y
1
(
x
)
f
(
x, y
)
dy.
Äëÿ
ýòîãî
çàèê
ñèðó
åì
îáëàñòü
èçìåíåíèÿ
ïåðåìåííîé
x
(ïî
íåé
èäåò
èíòåãðèðîâàíèå
âî
âíåøíåì
èíòåãðàëå),
â
íàøåì
ïðèìåðå:
0
≤
x
≤
2
.
Êàæäàÿ
âåðòèê
àëüíàÿ
ïð
ÿìàÿ,
ïðî
õ
î
äÿùàÿ
÷åðåç
ëþ-
áóþ
òî÷êó
îòðåçê
à
[0
,
2]
îñè
Ox
,
ïåðåñåê
àåò
ñíà
÷àëà
êðèâóþ
y
=
x
3
,
à
çàòåì
êðèâóþ
y
= 2
x
+ 4
ïðè
äâèæ
åíèè
â
ïîëî
æè-
òåëüíîì
íàïðàâëåíèè
îñè
Oy
,
òî
åñòü
ïåðåñåê
àåò
ãðàíèöó
îáëàñòè
ðîâíî
â
äâóõ
òî÷ê
àõ.
Ñëåäîâàòåëüíî,
îáëàñòü
ÿâëÿ-
åòñ
ÿ
ïðîñòîé
îòíîñèòåëüíî
îñè
Oy
è
ðàçáèâàòü
åå
íà
÷àñòè
íå
íóæíî.
Äëÿ
âñåõ
âíóòðåííèõ
òî÷åê
îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ
ïå-
ðåìåííàÿ
y
áó
äåò
èçìåíÿòüñ
ÿ
îò
óðàâíåíèÿ
êðèâîé
y
=
x
3
äî
ïð
ÿìîé
y
= 2
x
+ 4
(íàïðàâëåíèå
óê
àçàíî
íà
ðèñ.
13).
23
Â
ðåçó
ëü
ò
àòå
ïîëó÷èì
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy
=
2
Z
0
dx
2
x
+4
Z
x
3
f
(
x, y
)
dy.
3.
Ò
åïåðü
ïðåäñò
àâèì
èñ
õ
î
äíûé
äâîéíîé
èíòåãðàë
â
âèäå
ïîâòîðíîãî,
íî
ñ
äðóãèì
ïîð
ÿäê
îì
èíòåãðèðîâàíèÿ.
Âíåø-
íèé
èíòåãðàë
áó
äåì
âû÷èñëÿòü
ïî
ïåðåìåííîé
x
,
à
âíóòðåí-
íèé
ïî
ïåðåìåííîé
y
.
Äëÿ
ýòîãî
çàèê
ñèðó
åì
îáëàñòü
èçìåíåíèÿ
ïåðåìåííîé
y
äëÿ
âñåõ
òî÷åê
îáëàñòè,
â
íàøåì
ñëó÷àå:
0
≤
y
≤
8
,
òî
åñòü
âñå
âîçìî
æíûå
çíà
÷åíèÿ
ëåæ
àò
â
ïðîìåæóòê
å
ìåæäó
ïð
ÿìûìè
y
= 0
è
y
= 8
(ðèñ.
14).
èñ.
14
Îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
ñïðàâà
îãðàíè÷åíà
î
äíîé
êðè-
âîé
y
=
x
3
,
à
ñëåâà
äâóìÿ:
x
= 0
è
y
= 2
x
+ 4
,
ïîýòî-
ìó
îíà
íå
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé
è
åå
íóæíî
ðàçáèòü
ïð
ÿìîé
y
= 4
(èìåííî
ïðè
y
= 4
ãðàíèöà
îáëàñòè
ñïðàâà
ìåíÿåò
âèä
óíêöèîíàëüíîé
çàâèñèìîñòè)
íà
äâå
D
1
è
D
2
.
24
Ò
àêèì
îáðàçîì,
èñ
õ
î
äíûé
èíòåãðàë
ñâåäåòñ
ÿ
ê
äâóì
ïî-
âòîðíûì
èíòåãðàëàì
ïî
äâóì
ïðîñòûì
îáëàñò
ÿì
D
1
è
D
2
.
Äëÿ
îáëàñòè
D
1
ïåðåìåííàÿ
y
∈
[0
,
4]
,
à
ïåðåìåííàÿ
x
ÿâëÿåòñ
ÿ
óíêöèåé
ïåðåìåííîé
y
è
ïðèíèìàåò
çíà
÷åíèÿ
îò
x
= 0
äî
x
=
3
√
y
(îáðàòíàÿ
óíêöèÿ
äëÿ
y
=
x
3
)
â
íàïðàâ-
ëåíèè,
óê
àçàííîì
ñòðåëê
àìè
íà
ðèñ.
14.
Äëÿ
îáëàñòè
D
2
ïåðåìåííàÿ
y
∈
[4
,
8]
,
à
ïåðåìåííàÿ
x
ÿâëÿåòñ
ÿ
óíêöèåé
ïåðåìåííîé
y
è
ïðèíèìàåò
çíà
÷åíèÿ
îò
x
= (
y
−
4)
/
2
(îáðàòíàÿ
óíêöèÿ
äëÿ
y
= 2
x
+ 4
)
äî
x
=
3
√
y
(îáðàòíàÿ
óíêöèÿ
äëÿ
y
=
x
3
)
â
íàïðàâëåíèè,
óê
àçàííîì
ñòðåëê
àìè
íà
ðèñ.
14.
Îê
îí÷àòåëüíî
ïîëó÷àåì:
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy
=
Z Z
D
1
f
(
x, y
)
dxdy
+
Z Z
D
2
f
(
x, y
)
dxdy
=
=
4
Z
0
dy
3
√
y
Z
0
f
(
x, y
)
dx
+
8
Z
4
dy
3
√
y
Z
(
y
−
4)
/
2
f
(
x, y
)
dx.
Çàìå÷àíèå:
èç
ðàññìîòðåííîãî
íàìè
ïðèìåðà
ìî
æíî
ñ
äåëàòü
âûâî
ä
î
òîì,
÷òî
â
ïåðâîì
ñëó÷àå
èíòåãðàë
ñâåëñ
ÿ
ê
î
äíîìó
ïîâòîðíîìó
èíòåãðàëó
,
÷òî
âïîñëåäñòâèè
ìî
æ
åò
ïðèâåñòè
ê
ìåíüøåé
ðàáîòå
ïðè
åãî
âû÷èñëåíèè,
â
òî
âðåìÿ
ê
àê
âî
âòîðîì
ê
äâóì,
÷òî
ñàìî
ïî
ñåáå
óâåëè÷èâàåò
ê
îëè-
÷åñòâî
âû÷èñëåíèé.
Îäíàê
î
îê
îí÷àòåëüíûé
âûâî
ä
î
òîì,
ê
ê
àê
îìó
âèäó
ïðèâî
äèòü
äâîéíîé
èíòåãðàë,
ìî
æíî
ñ
äåëàòü
â
çàâèñèìîñòè
îò
âèäà
óíêöèè
f
(
x, y
)
.
Â
ð
ÿäå
çàäà
÷
ïåðåìå-
íà
ïîð
ÿäê
à
èíòåãðèðîâàíèÿ
ñóùåñòâåííî
óïðîùàåò
âû÷èñ-
ëåíèå
äâîéíîãî
èíòåãðàëà.
25