ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.03.2021
Просмотров: 456
Скачиваний: 1
ìè
ê
îîð
äèíàò
àìè
x
è
y
îðìó
ëàìè
x
=
r
cos
ϕ,
y
=
r
sin
ϕ.
Çäåñü
óíêöèè,
ñòî
ÿùèå
ñïðàâà,
ÿâëÿþòñ
ÿ
íåïðåðûâíî
äèåðåíöèðó
åìûìè,
à
ÿê
îáèàí
J
(
r, ϕ
) =
D
(
x,y
)
D
(
r,ϕ
)
=
∂x
∂r
∂x
∂ϕ
∂y
∂r
∂y
∂
]
phi
=
cos
ϕ
−
r
sin
ϕ
sin
ϕ
r
cos
ϕ
=
r
è
îðìó
ëà
çàìåíû
ïåðåìåííûõ
èìååò
âèä
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy
=
Z Z
Ω
f
(
x
(
r
cos
ϕ
)
, y
(
r
sin
ϕ
))
rdrdϕ.
(10)
Çàìå÷àíèå:
ê
ïîëÿðíûì
ê
îîð
äèíàò
àì
îáû÷íî
ïåðåõ
î-
äÿò
,
åñëè
èñ
õ
î
äíàÿ
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
èìååò
êðóãîâóþ
ñèììåòðèþ,
à
ïî
äûíòåãðàëüíàÿ
óíêöèÿ
çàâèñèò
îò
x
2
+
y
2
.
Îáîáùåííàÿ
ïîëÿðíàÿ
ñèñòåìà
ê
îîð
äèíàò
(ýëëèïòè÷åñêèå
ê
îîð
äèíàòû)
Çäåñü
x
=
ar
cos
ϕ,
y
=
br
sin
ϕ.
(11)
ã
äå
a
,
b
ïîëî
æèòåëüíûå
÷èñëà.
Â
ýòîì
ñëó÷àå
ÿê
îáèàí
ðàâåí
J
(
r, ϕ
) =
D
(
x, y
)
D
(
r, ϕ
)
=
abr
è
îðìó
ëà
çàìåíû
ïåðåìåííûõ
ïðèíèìàåò
âèä
Z Z
D
f
(
x, y
)
dxdy
=
ab
Z Z
Ω
f
(
x
(
ar
cos
ϕ
)
, y
(
br
sin
ϕ
))
rdrdϕ.
(12)
31
Ïðè
âû÷èñëåíèè
äâîéíûõ
èíòåãðàëîâ,
çàïèñàííûõ
â
ïî-
ëÿðíûõ
ê
îîð
äèíàò
àõ,
èñïîëüçóþò
òå
æ
å
ïðàâèëà
ñâåäåíèÿ
äâîéíîãî
èíòåãðàëà
ê
ïîâòîðíûì
è
èõ
ïîñëåäóþùåãî
âû-
÷èñëåíèÿ,
÷òî
è
â
äåê
àðòîâûõ
ê
îîð
äèíàò
àõ.
èñ.
16
Åñëè
îáëàñòü
Ω
èìååò
âèä,
èçîáðàæ
åííûé
íà
ðèñ.
16,
òî
åñòü
îïðåäåëÿåòñ
ÿ
íåðàâåíñòâàìè:
ϕ
1
≤
ϕ
≤
ϕ
2
,
r
1
(
ϕ
)
≤
r
≤
r
2
(
ϕ
)
,
òî
îíà
íàçûâàåòñ
ÿ
ïðîñòîé
è
äâîéíîé
èíòåãðàë
ìî
æíî
ñâå-
ñòè
ê
ïîâòîðíîìó
ïî
îðìó
ëå:
Z Z
Ω
f
(
r
cos
ϕ, r
sin
ϕ
)
rdrdϕ
=
ϕ
2
Z
ϕ
1
dϕ
r
2
(
ϕ
)
Z
r
1
(
ϕ
)
f
(
r
cos
ϕ, r
sin
ϕ
)
rdr.
(13)
Äëÿ
ðàññò
àíîâêè
ïðåäåëîâ
èíòåãðèðîâàíèÿ
â
ïîâòîðíûõ
èíòåãðàëàõ
èñïîëüçóþò
äâà
ïî
äõ
î
äà:
1)
ëèáî
ïðîèçâî
äÿò
àíàëèòè÷åñê
îå
ïðåîáðàçîâàíèå
îáëà-
ñòè
D
â
äåê
àðòîâûõ
ê
îîð
äèíàò
àõ
â
îáëàñòü
Ω
â
ïîëÿðíûõ
ê
îîð
äèíàò
àõ,
à
çàòåì
èçîáðàæ
àþò
îáëàñòü
Ω
íà
ïëîñê
îñòè
uOv
è
ðàññò
àâëÿþò
ïðåäåëû
ïî
ïðàâèëàì,
ðàññìîòðåííûì
âûøå
ïðè
âû÷èñëåíèè
èíòåãðàëîâ
â
äåê
àðòîâîé
ñèñòåìå
ê
î-
îð
äèíàò
(ýòî
âîçìî
æíî,
ïîñê
îëüêó
â
ïëîñê
îñòè
uOv
ê
îîð-
äèíàòû
u
è
v
ÿâëÿþòñ
ÿ
äåê
àðòîâûìè);
32
2)
ëèáî
ïðåîáðàçîâàíèå
îáëàñòåé
íå
ïðîèçâî
äÿò
,
à
ñîâ-
ìåùàþò
äåê
àðòîâó
ñèñòåìó
â
ïëîñê
îñòè
xOy
ñ
ïîëÿðíîé
ñèñòåìîé.
Ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ
ïî
r
è
ϕ
ðàññò
àâëÿþò
ïðè
ýòîì,
èññëåäó
ÿ
çàê
îí
èçìåíåíèÿ
ê
îîð
äèíàò
òî÷êè
(
r, ϕ
)
,
îòî
æäåñòâëÿÿ
åå
ñ
òî÷ê
îé
(
x, y
)
îáëàñòè
D
.
Èññëåäîâàíèå
ïðîèçâî
äÿò
îòíîñèòåëüíî
ê
îîð
äèíàòíûõ
ëèíèé
â
ïîëÿðíîé
ñèñòåìå
(ýòî
ëó÷è,
èñ
õ
î
äÿùèå
èç
ïîëþñà,
è
ê
îíöåíòðè÷åñêèå
îêðóæíîñòè
ñ
öåíòðîì
â
ïîëþñå).
Çàìå÷àíèå:
îáû÷íî
íà
ïðàêòèê
å
ïðè
âû÷èñëåíèè
äâîé-
íûõ
èíòåãðàëîâ
ïðè
ïåðåõ
î
äå
ê
ïîëÿðíîé
ñèñòåìå
ê
îîð
äè-
íàò
èçîáðàæ
àþò
ãðàè÷åñêè
èñ
õ
î
äíóþ
îáëàñòü
èíòåãðèðî-
âàíèÿ
D
,
ïðåîáðàçóþò
ê
ïîëÿðíûì
ê
îîð
äèíàò
àì
ïî
äûíòå-
ãðàëüíóþ
óíêöèþ,
óðàâíåíèÿ
êðèâûõ,
îãðàíè÷èâàþùèõ
îáëàñòü
D
,
à
îáëàñòü
Ω
,
ê
àê
ïðàâèëî
íå
èçîáðàæ
àþò
.
àçáåðåì
íåñê
îëüê
î
ïðèìåðîâ.
Ïðèìåð
4
Ïåðåõ
î
äÿ
ê
ïîëÿðíûì
ê
îîð
äèíàò
àì,
âû÷èñëèòü
äâîéíîé
èíòåãðàë
RR
D
p
x
2
+
y
2
dxdy
,
ã
äå
D
ïîëóêðóã
x
2
+
y
2
≤
4
,
y
≤
0
.
åøåíèå
1.
Èçîáðàçèì
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
D
,
ñòðîèì
ïîëó-
êðóã
ñ
öåíòðîì
â
íà
÷àëå
ê
îîð
äèíàò
(ðèñ.
17).
2.
Ïåðåéäåì
ê
ïîëÿðíûì
ê
îîð
äèíàò
àì
ïî
îðìó
ëàì:
x
=
r
cos
ϕ
,
y
=
r
sin
ϕ
è
ïðåîáðàçó
åì
ïî
äûíòåãðàëüíóþ
óíêöèþ:
f
(
r
cos
ϕ, r
sin
ϕ
) =
p
(
r
cos
ϕ
)
2
+ (
r
sin
ϕ
)
2
=
r.
Çàïèøåì
äâîéíîé
èíòåãðàë
â
ïîëÿðíîé
ñèñòåìå:
Z Z
Ω
f
(
r
cos
ϕ, r
sin
ϕ
)
rdrdϕ
=
Z Z
Ω
r
2
drdϕ.
33
èñ.
17
3.
Câåäåì
ïîëó÷åííûé
èíòåãðàë
ê
ïîâòîðíîìó
è
âû÷èñ-
ëèì
åãî.
Ñíà
÷àëà
îïðåäåëèì,
ÿâëÿåòñ
ÿ
ëè
îáëàñòü
ïðîñòîé
èëè
åå
íóæíî
áó
äåò
ðàçáèâàòü
íà
ïðîñòûå.
Äëÿ
ýòîãî
ñîâìåñòèì
ïîëÿðíóþ
ñèñòåìó
ê
îîð
äèíàò
ñ
äåê
àðòîâîé,
ïðîâåäåì
äâà
ëó÷à,
èñ
õ
î
äÿùèõ
èç
íà
÷àëà
ê
îîð
äèíàò
,
ò
àê,
÷òîáû
âñå
òî÷êè
îáëàñòè
D
ëåæ
àëè
âíóòðè
ìåæäó
íèìè,
à
ñàìè
ëó÷è
ñî
äåð-
æ
àëè
õ
îò
ÿ
áû
î
äíó
ãðàíè÷íóþ
òî÷êó
îáëàñòè
èíòåãðèðîâà-
íèÿ
(ðèñ.
17).
Â
íàøåì
ïðèìåðå
ýòî
ëó÷è
ϕ
= 0
è
ϕ
=
π
.
Ò
àêèì
îáðà-
çîì,
äëÿ
âñåõ
òî÷åê
îáëàñòè
ïîëÿðíûé
óãîë
ó
äîâëåòâîð
ÿåò
ó
ñëîâèþ
0
≤
ϕ
≤
π
.
Ò
åïåðü
ïðîâåäåì
ëó÷è,
èñ
õ
î
äÿùèå
èç
íà
÷àëà
ê
îîð
äèíàò
è
ïåðåñåê
àþùèå
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
(ðèñ.
17).
Êàæäûé
ò
àê
îé
ëó÷
ïåðåñåê
àåò
ãðàíèöó
îáëàñòè
â
äâóõ
òî÷ê
àõ,
ïðè÷åì
ñíà
÷àëà
â
íà
÷àëå
ê
îîð
äèíàò
ïðè
x
= 0
,
y
= 0
,
÷òî
ñîîòâåòñòâó
åò
çíà
÷åíèþ
r
= 0
,
à
çàòåì
â
òî÷-
ê
å,
ïðèíàäëåæ
àùåé
ïîëó
îêðóæíîñòè,
ê
îîð
äèíàòû
ê
îòîðîé
îïðåäåëÿþòñ
ÿ
óðàâíåíèåì
x
2
+
y
2
= 4
,
÷òî
â
ïîëÿðíîé
ñè-
ñòåìå
ñîîòâåòñòâóåò
êðèâîé
r
= 2
(ðèñ.
17).
Ò
àêèì
îáðàçîì,
òî÷êè
îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ
ó
äîâëå-
òâîð
ÿþò
ó
ñëîâèÿì:
0
≤
ϕ
≤
π
,
0
≤
r
≤
2
.
Çíà
÷èò
,
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
ÿâëÿåòñ
ÿ
ïðîñòîé,
è
ìî-
æ
åì
âîñïîëüçîâàòüñ
ÿ
îðìó
ëîé
(13).
34
Èìååì
Z Z
Ω
r
2
drdϕ
=
π
Z
0
dϕ
2
Z
0
r
2
dr
==
π
Z
0
dϕ
r
3
3
2
0
=
8
3
π.
Îòâåò:
8
3
π.
Ïðèìåð
5
Ïåðåõ
î
äÿ
ê
ïîëÿðíûì
ê
îîð
äèíàò
àì,
âû÷èñëèòü
äâîéíîé
èíòåãðàë
RR
D
dxdy
(
x
2
+
y
2
)
2
,
ã
äå
îáëàñòü
D
îïðåäåëåíà
ó
ñëîâèÿìè
4
x
≤
x
2
+
y
2
≤
8
x.
åøåíèå
1.
Èçîáðàçèì
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
D
.
Äëÿ
ýòîãî
ñíà-
÷àëà
ïîñòðîèì
êðèâûå,
îãðàíè÷èâàþùèå
íàøó
îáëàñòü.
Ýòî
îêðóæíîñòè:
x
2
+
y
2
= 4
x
è
x
2
+
y
2
= 8
x
.
Îáëàñòü
çàêëþ÷åíà
ìåæäó
íèìè
(ðèñ.
18).
Çàìå÷àíèå:
äàííàÿ
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ
íå
ÿâëÿåò-
ñ
ÿ
ïðîñòîé
è
âû÷èñëåíèå
èíòåãðàëà
â
äåê
àðòîâîé
ñèñòåìå
áó
äåò
âåñüìà
çàòðó
äíèòåëüíûì.
Ïðè
ïåðåõ
î
äå
ê
ïîëÿðíûì
ê
îîð
äèíàò
àì
óïðîñòèòñ
ÿ
ê
àê
îáëàñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ,
ò
àê
è
ïî
äûíòåãðàëüíàÿ
óíêöèÿ,
÷òî
çàìåòíî
îáëåã÷èò
âû÷èñ-
ëåíèÿ.
2.
Ïåðåéäåì
ê
ïîëÿðíûì
ê
îîð
äèíàò
àì
ïî
îðìó
ëàì:
x
=
r
cos
ϕ,
y
=
r
sin
ϕ
è
çàïèøåì
ïî
äûíòåãðàëüíóþ
óíêöèþ
â
âèäå
f
(
x, y
) =
f
(
r
cos
ϕ, r
sin
ϕ
) =
1
(
x
2
+
y
2
)
2
=
1
r
4
.
Çàïèøåì
óðàâíåíèÿ
îêðóæíîñòåé,
îãðàíè÷èâàþùèõ
îá-
ëàñòü
D
,
â
ïîëÿðíîé
ñèñòåìå
ê
îîð
äèíàò
.
Ïîëó÷àåì
äëÿ
ïåðâîé
îêðóæíîñòè:
35