ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 404
Скачиваний: 1
41
то
есть
справедлив
закон
Гука
.
Наибольшее
напряжение
П
s
,
при
котором
ещё
выполняется
закон
Гука
,
называется
пределом
пропорциональности
.
Дальнейшее
увеличение
s
вызывает
значительное
возрастание
относи
-
тельного
удлинения
.
При
достижении
напряжения
T
s
,
называемого
преде
-
лом
текучести
(
точка
В
),
относительная
деформация
образца
продолжает
возрастать
без
дальнейшего
увеличения
нагрузки
(
участок
BB’
диаграм
-
мы
).
У
некоторых
веществ
участок
BB’
отсутствует
.
В
этом
случае
за
пре
-
дел
текучести
принимается
напряжение
,
при
котором
отношение
/
x x
D
от
-
личается
от
линейной
зависимости
ОА
на
0,002.
В
точке
B’
начинается
дальнейший
рост
напряжения
с
увеличением
деформации
.
Наибольшее
на
-
пряжение
B
s
,
соответствующее
точке
С
,
называется
пределом
прочности
.
В
точке
D
образец
разрывается
.
Если
образец
,
деформированный
до
напряжения
a
П
s
s
>
,
постепенно
разгружать
,
то
соответствующий
график
(
/ )
f
x x
s
=
D
пойдёт
параллельно
прямолинейному
участку
ОА
кривой
и
пересечёт
ось
абсцисс
в
некоторой
точке
R
.
Отрезок
OR
определяет
остаточную
деформацию
образца
.
Рассмотрим
физическую
сущность
процесса
деформации
твёрдого
тела
.
При
упругой
деформации
монокристалла
(
рис
. 13.3
а
),
например
,
при
деформации
сдвига
,
происходит
только
небольшое
искажение
его
про
-
странственной
решётки
(
рис
. 13.3
б
).
Сопутствующее
этому
искажению
из
-
менение
межионных
(
межатомных
,
межмолекулярных
)
расстояний
ведёт
к
нарушению
равновесия
между
силами
взаимного
притяжения
и
отталкива
-
ния
ионов
,
в
связи
с
чем
в
кристалле
возникают
упругие
силы
,
восстанав
-
ливающие
первоначальную
форму
(
рис
. 13.3
а
)
кристалла
после
устранения
деформирующей
силы
.
При
упругой
деформации
не
нарушаются
межион
-
ные
связи
:
каждый
ион
остаётся
в
окружении
своих
прежних
соседей
,
как
это
показано
на
рис
. 13.3
а
,
б
(
для
четырёх
пронумерованных
ионов
).
Рис
. 13.3
При
пластической
деформации
монокристалла
происходит
значи
-
тельное
искажение
его
решётки
вследствие
скольжения
одних
ионных
плоскостей
вдоль
других
.
В
результате
разрушаются
прежние
и
устанавли
-
42
ваются
новые
межионные
связи
:
ионы
меняют
своих
соседей
,
как
это
пока
-
зано
на
рис
. 13.3
в
для
тех
же
пронумерованных
ионов
.
При
смещении
двух
соседних
слоёв
друг
относительно
друга
на
расстояние
,
равное
удвоенному
размеру
элементарной
ячейки
,
силы
взаимного
притяжения
и
отталкивания
ионов
вновь
оказываются
уравновешенными
.
При
этом
решётка
вновь
принимает
соответствующую
данному
кристаллу
форму
,
на
рис
. 13.3
–
ку
-
бическую
.
В
связи
с
эти
исчезают
упругие
силы
,
способные
сместить
ионы
в
исходное
(
рис
. 13.3
а
)
положение
.
В
результате
появляется
остаточная
деформация
(
рис
. 13.3
в
).
Методика
определения
модуля
упругости
по
изгибу
стержня
Рассмотрим
прямоугольный
стержень
длиной
'
L
,
шириной
а
и
тол
-
щиной
b
(
рис
. 13.4).
Пусть
один
(
левый
на
рис
. 13.4)
конец
этого
стержня
закреплён
,
а
на
другой
подвешен
груз
,
действующий
на
стержень
с
силой
'
F
r
.
Под
действием
этой
силы
стержень
изгибается
.
Верхние
слои
стержня
будут
растягиваться
(
удлиняться
),
а
нижние
–
сжиматься
и
укорачиваться
.
Сечение
gh
,
расположенное
в
середине
стержня
не
укорачивается
и
не
уд
-
линяется
при
изгибе
стержня
.
Поэтому
при
изгибе
стержня
линия
gh
не
изменяет
своей
длины
.
Рис
. 13.4
Мысленно
разделим
стержень
на
бесконечно
тонкие
пластинки
,
представляющие
собой
множество
плоскостей
,
перпендикулярных
его
длине
и
плоскости
чертежа
.
Предположим
,
что
стержень
слегка
изогнут
под
действием
силы
'
F
r
,
приложенной
к
одному
из
его
концов
.
Тогда
неко
-
торая
пластинка
ABCD
деформируется
таким
образом
,
что
её
стороны
AD
и
BC
образуют
друг
с
другом
малый
угол
d
q
.
При
этом
сторона
AB
43
растянута
,
а
сторона
DC
укорочена
.
В
точках
верхнего
слоя
AB
упругая
реакция
стержня
вызывает
силу
,
направленную
к
закреплённому
концу
стержня
,
а
в
точках
нижнего
слоя
DC
появляется
такая
же
сила
,
направ
-
ленная
к
свободному
(
правому
)
концу
стержня
.
Такие
пары
сил
возникают
во
всех
слоях
,
симметричных
нейтральному
слою
,
и
будут
тем
больше
,
чем
дальше
отстоят
рассматриваемые
слои
от
нейтрального
слоя
.
При
равновесии
стержня
сумма
моментов
всех
пар
этих
упругих
сил
рав
-
на
вращающему
моменту
силы
'
F
r
,
действующей
на
свободный
конец
стержня
.
Для
того
,
чтобы
найти
выражение
этой
упругой
пары
сил
,
рассмот
-
рим
в
выделенной
пластинке
ABCD
бесконечно
тонкий
слой
w
u
,
парал
-
лельный
нейтральному
сечению
на
расстоянии
z
от
него
.
Поскольку
плос
-
кости
AD
и
BC
бесконечно
близки
друг
к
другу
,
обозначим
длину
этого
слоя
символом
dx
,
а
высоту
dz
,
ширина
слоя
равна
ширине
(
а
)
стержня
.
Площадь
поперечного
сечения
этого
слоя
равна
произведению
его
ширины
на
высоту
,
то
есть
S
=
a dz
×
.
Удлинение
этого
слоя
при
его
растяжении
равно
длине
дуги
dL
=
z d
q
×
,
описанной
радиусом
z
,
при
повороте
на
угол
d
q
.
Величина
упругой
силы
в
слое
w
u
,
действующая
в
направлении
дли
-
ны
стержня
,
определяется
законом
Гука
:
dL S
a z d
dz
dF
E
E
dx
dx
q
×
× ×
×
= ×
= ×
.
Поскольку
плечо
этой
силы
равно
расстоянию
z
между
слоем
w
u
и
нейтральным
слоем
,
то
момент
dM
упругой
силы
,
возникающей
в
слое
w
u
,
описывается
выражением
:
2
a z d
dz
dM
z dF dF
E
dx
q
× ×
×
= ×
=
= ×
. (13.7)
Для
всех
элементов
стержня
,
находящихся
над
нейтральной
поверх
-
ностью
,
момент
М
упругой
силы
,
препятствующей
изгибу
,
равен
сумме
моментов
dM
,
возникающих
в
отдельных
элементах
.
Таким
образом
,
вы
-
ражение
момента
М
упругой
силы
можно
получить
,
интегрируя
выражение
(13.7)
по
z
в
пределах
от
0
z
=
до
1
2
z
b
= ×
:
3
2
2
0
.
24
b
E a d
E a d
b
M
z dz
dx
dx
q
q
× ×
× ×
×
=
×
×
=
×
ò
(13.8)
Этот
результирующий
момент
упругих
сил
,
действующих
над
нейтраль
-
ным
слоем
,
равен
результирующему
моменту
всех
упругих
сил
,
действующих
под
нейтральным
слоем
.
Следовательно
,
полный
момент
всех
упругих
сил
,
воз
-
никающих
в
данном
стержне
при
его
изгибе
,
равен
0
2
M
M
= ×
,
то
есть
:
0
2
M
M
= ×
=
3
.
12
E a b d
dx
q
× × ×
×
(13.9)
44
Так
как
стержень
находится
в
равновесии
,
то
момент
этих
пар
упру
-
гих
сил
,
восстанавливающих
форму
стержня
,
равен
моменту
F
M
внешней
силы
'
F
r
,
изгибающей
стержень
.
При
небольшом
изгибе
стержня
,
плечо
силы
'
F
r
равно
расстоянию
х
между
плоскостью
AD
и
правым
концом
стержня
,
к
которому
приложена
сила
. (
В
случае
сильного
изгиба
это
плечо
будет
значительно
короче
.)
Приравнивая
момент
'
F
M
F x
= ×
внешней
силы
моменту
М
0
силы
упругости
,
получим
:
3
'
12
E a b d
F x
dx
q
× × ×
= ×
×
. (13.10)
Используя
соотношение
(13.10)
можно
выразить
стрелу
прогиба
,
то
есть
смещение
l
конца
стержня
.
Для
этого
проведём
через
точки
А
и
В
ка
-
сательные
к
изогнутой
поверхности
.
Угол
между
этими
касательными
ра
-
вен
углу
d
q
,
образованному
сечениями
AD
и
BC
.
Обозначая
символом
d
l
смещение
конца
стержня
вследствие
изгиба
только
одной
рассматри
-
ваемой
пластинки
,
можно
записать
:
d
x d
l
q
= ×
или
d
d
x
l
q
=
.
Подстановка
выражения
d
q
в
формулу
(13.10)
позволяет
преобразовать
её
к
виду
:
3
'
12
E a b d
F x
x dx
l
× × ×
= ×
× ×
.
Разделяя
переменные
l
и
x
в
данном
выражении
,
получим
:
2
3
12
'
F x dx
d
E a b
l
× × ×
=
× ×
. (13.11)
Полное
смещение
l
конца
стержня
,
вызываемое
изгибом
всех
пла
-
стинок
,
равно
сумме
смещений
,
возникающих
в
результате
изгиба
каждой
из
них
.
Интегрируя
соотношение
(13.11)
по
x
в
пределах
от
0
x
=
до
'
x L
=
,
можно
выразить
полное
смещение
l
конца
стержня
:
'
3
2
3
3
0
12
'
4
' '
.
L
F
F L
x dx
E a b
E a b
l
×
× ×
=
×
×
=
× ×
× ×
ò
(13.12)
В
использованной
экспериментальной
установке
стержень
поддер
-
живается
двумя
заострёнными
опорами
,
находящимися
на
расстоянии
L
друг
от
друга
(
рис
. 13.5).
Рис
. 13.5
45
К
середине
стержня
приложена
сила
F
.
В
этом
случае
изгиб
стержня
будет
практически
таким
же
,
как
если
бы
стержень
был
закреплён
в
его
средней
точке
и
испытывал
на
своих
концах
усилие
,
заставляющее
их
под
-
ниматься
вверх
.
Каждая
из
этих
сил
равна
половине
силы
,
приложенной
к
центру
стержня
.
Полагая
,
что
расстояние
L
между
заострёнными
опорами
равно
2
'
L
×
и
приложенная
к
середине
стержня
сила
F
равна
2
'
F
×
,
выра
-
жение
стрелы
прогиба
(13.12)
для
рассмотренной
на
рис
. 13.5
эксперимен
-
тальной
установки
преобразуется
к
виду
:
(
) (
)
3
3
3
3
3
3
4
/ 2
/ 2
4
' '
4
F
L
F L
F L
E a b
E a b
E a b
l
×
×
× ×
×
=
=
=
× ×
× ×
× × ×
. (13.13)
Таким
образом
,
измерение
значений
а
,
b
,
L
,
F
и
l
позволяет
опре
-
делить
модуль
Юнга
:
3
3
4
F L
E
a b
l
×
=
× × ×
. (13.14)
Порядок
выполнения
работы
1.
Определить
расстояние
L
между
опорами
с
помощью
миллимет
-
ровой
линейки
.
Результаты
записать
в
табл
. 13.1.
2.
Штангенциркулем
измерить
ширину
а
стержня
в
различных
мес
-
тах
.
Измерения
повторить
5
раз
.
Результаты
записать
в
табл
. 13.1.
3.
Микрометром
5
раз
измерить
толщину
b
стержня
в
различных
местах
.
Результаты
записать
в
табл
. 13.1.
4.
Положить
стержень
на
опоры
,
подвесив
к
его
середине
платформу
с
нагрузкой
1
F
.
Подвести
упор
индикатора
до
соприкосновения
с
середи
-
ной
стержня
и
закрепить
индикатор
на
стойке
.
Вращением
шкалы
цифер
-
блата
установить
стрелку
индикатора
на
нуль
шкалы
.
5.
Снять
груз
с
платформы
,
и
отсчитав
показания
индикатора
,
опре
-
делить
стрелу
прогиба
1
l
(
рис
. 13.5).
Измерения
повторить
5
раз
.
Результа
-
ты
записать
в
табл
. 13.1.
6.
Измерить
стрелу
прогиба
при
нагрузке
2
F
и
3
F
.
Таблица
13.1.
№
L
,
[
мм
]
a
,
[
мм
]
b
,
[
мм
]
1
F
=
4,90
Н
1
l
,
[
мм
]
2
F
=
9,81
Н
2
l
,
[
мм
]
3
F
=
14,72
Н
2
l
,
[
мм
]
1
2
3
4
5
Среднее
значение