ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 405
Скачиваний: 1
6
тинное
значение
(
А
ист
)
измеряемой
величины
(
рис
. 2.1).
Погрешность
из
-
мерения
всегда
проявляется
в
совокупном
виде
,
то
есть
имеет
место
сум
-
марная
погрешность
,
обусловленная
рядом
факторов
,
влияющих
на
ре
-
зультат
измерений
.
Первым
шагом
на
пути
вычис
-
ления
погрешности
является
класси
-
фикация
составляющих
суммарной
погрешности
,
выявление
закономер
-
ностей
и
причин
появления
этих
составляющих
с
целью
нахождения
способов
уменьшения
влияния
по
-
грешностей
на
результаты
измерений
.
Рис
. 2.1
Для
классификации
необходимо
ввести
критерии
,
в
соответствии
с
которыми
суммарную
погрешность
можно
разделить
на
составляющие
.
Приведённые
ниже
критерии
не
являются
единственно
возможными
,
одна
-
ко
построенная
по
ним
классификация
утверждена
70
сессией
Междуна
-
родного
комитета
мер
и
весов
в
1981
г
.
В
зависимости
от
закономерности
проявления
различают
системати
-
ческие
,
случайные
и
грубые
погрешности
(
промахи
).
Случайной
называется
составляющая
погрешности
,
изменяющаяся
случайным
образом
при
повторных
измерениях
одной
и
той
же
величины
,
то
есть
погрешность
,
величина
и
знак
которой
не
могут
быть
точно
пред
-
сказаны
.
Поэтому
случайную
погрешность
нельзя
скорректировать
.
Слу
-
чайную
погрешность
невозможно
устранить
,
однако
величину
случайной
погрешности
можно
оценить
и
найти
способ
её
уменьшения
.
Оценить
слу
-
чайную
погрешность
удаётся
путём
математической
обработки
данных
по
-
вторных
измерений
на
основе
теории
вероятности
.
Систематической
называется
составляющая
погрешности
,
ос
-
тающаяся
постоянной
или
закономерным
образом
изменяющаяся
при
по
-
вторных
измерениях
одной
и
той
же
величины
.
Причинами
систематиче
-
ской
погрешности
являются
,
главным
образом
,
несовершенство
метода
,
средства
или
объекта
измерения
.
Систематические
погрешности
можно
разделить
на
следующие
группы
.
1.
Ошибки
,
природа
которых
известна
и
величина
может
быть
доста
-
точно
точно
определена
.
Такие
ошибки
могут
быть
устранены
введением
поправок
.
Величина
поправок
,
которые
имеет
смысл
вводить
,
устанавлива
-
ется
в
зависимости
от
величин
других
ошибок
,
сопровождающих
измере
-
ние
.
Существует
правило
,
согласно
которому
поправка
,
величина
которой
не
превышает
0,5 %
от
средней
квадратичной
погрешности
результата
из
-
мерений
(
смотрите
п
. 3),
не
вводится
.
2.
Ошибки
известного
происхождения
,
но
неизвестной
величины
.
К
ним
относятся
погрешности
измерительных
приборов
.
Максимальные
по
-
грешности
измерительных
линеек
,
микрометров
и
некоторых
других
7
приборов
иногда
наносят
на
самих
приборах
(
рис
. 2.2)
или
указывают
в
прилагаемом
к
прибору
паспорте
.
Цена
деления
шкалы
измери
-
тельных
приборов
должна
быть
согласована
с
Рис
. 2.2
возможностями
самого
прибора
.
Поэтому
не
-
целесообразно
пытаться
на
глаз
оценивать
доли
деления
,
если
они
не
отмечены
на
шкале
.
Систематические
ошибки
такого
типа
не
могут
быть
исключены
,
но
их
наибольшее
значение
может
быть
установлено
и
учтено
при
определе
-
нии
суммарной
погрешности
.
3.
К
третьей
группе
систематических
погрешностей
относятся
ошиб
-
ки
,
о
существовании
которых
экспериментатор
не
подозревает
,
хотя
их
ве
-
личина
может
быть
значительной
.
Чаще
всего
они
проявляются
при
слож
-
ных
измерениях
,
когда
величина
,
которая
считается
определённой
с
высо
-
кой
точностью
,
содержит
значительную
погрешность
.
Например
,
при
оп
-
ределении
плотности
,
как
отношении
массы
тела
к
его
объёму
,
измерение
объёма
может
содержать
существенную
погрешность
,
если
в
образце
име
-
ются
полости
.
Одним
из
наиболее
надёжных
способов
убедиться
в
отсут
-
ствии
таких
погрешностей
является
проведение
измерений
другим
мето
-
дом
и
в
других
условиях
.
4.
Систематическая
погрешность
может
быть
обусловлена
свойствами
объекта
измерений
.
Например
,
такая
погрешность
имеет
место
при
измерении
диаметра
цилиндра
,
сечение
которого
имеет
форму
,
отличную
от
круга
.
Изме
-
рение
диаметра
цилиндра
в
нескольких
направлениях
не
даёт
уверенности
в
том
,
что
его
сечение
является
действительно
круговым
,
но
позволяет
получить
значение
,
более
пригодное
для
характеристики
размеров
цилиндра
.
В
отсутствие
систематических
ошибок
случайные
ошибки
служат
причиной
разброса
результатов
измерений
относительно
истинного
значе
-
ния
(
рис
. 2.3
а
).
Наличие
систематической
погрешности
приводит
к
тому
,
что
результаты
измерений
будут
разбросаны
относительно
не
истинного
,
а
смещённого
значения
(
рис
. 2.3
б
).
Таким
образом
,
если
случайные
погреш
-
ности
определяют
достоверность
результата
,
то
систематические
погреш
-
ности
устойчиво
его
искажают
.
Поэтому
отсутствие
систематических
по
-
грешностей
или
то
,
что
они
пренебрежимо
малы
,
необходимо
доказать
.
Рис
. 2.3
а
б
8
Можно
выделить
следующие
основные
способы
исключения
или
учёта
систематических
погрешностей
:
1)
устранение
источников
погрешности
до
начала
эксперимента
(
профи
-
лактика
погрешностей
);
2)
исключение
погрешностей
в
процессе
измерения
;
3)
внесение
поправок
в
результат
измерения
.
Промахами
,
к
которым
относятся
также
грубые
погрешности
,
на
-
зываются
погрешности
измерений
,
существенно
превышающие
по
своему
значению
оправдываемые
объективными
условиями
измерений
система
-
тические
или
случайные
погрешности
.
Основными
причинами
грубой
по
-
грешности
являются
неправильное
или
небрежное
считывание
показаний
,
дефекты
средств
измерений
,
незнание
или
пренебрежение
источниками
погрешности
,
случайное
,
сильное
внешнее
воздействие
(
помеха
).
Наличие
грубой
погрешности
выявляется
при
обработке
результатов
измерений
.
При
этом
они
отбрасываются
из
рассмотрения
путём
отбрасывания
резуль
-
татов
наблюдений
,
содержащих
грубые
погрешности
.
3.
Оценка
случайной
погрешности
при
прямых
измерениях
При
повторных
измерениях
в
одинаковых
условиях
наблюдается
рас
-
сеяние
результатов
отдельных
измерений
.
Эти
отклонения
носят
случайный
характер
,
как
по
величине
,
так
и
по
знаку
.
Поэтому
случайную
погрешность
нельзя
скорректировать
.
Оценить
случайную
погрешность
удаётся
путём
ма
-
тематической
обработки
данных
повторных
измерений
на
основе
теории
веро
-
ятности
.
В
качестве
примера
рассмотрим
измерение
времени
падения
одина
-
ковых
шаров
с
одной
и
той
же
высоты
с
помощью
математического
маятника
с
периодом
Т
.
Отложим
по
оси
х
результаты
измерений
через
интервалы
[
x
i
…x
i+1
],
равные
периоду
Т
,
а
по
оси
у
–
количество
измерений
,
соответст
-
вующих
данному
результату
(
рис
. 3.1).
Если
в
пределах
указанных
интервалов
[
x
i
…x
i+1
]
провести
горизонтальные
отрезки
и
соединить
их
вертикальными
ли
-
ниями
,
то
получится
ломаная
кривая
,
называемая
гистограммой
.
Рис
. 3.1
9
Если
обозначить
символом
N
полное
число
измерений
,
а
N(x
i
)
–
чис
-
ло
измерений
,
при
которых
измеряемая
величина
находится
в
интервале
[
x
i
…x
i+1
],
то
параметр
( )
( )
i
N
i
N x
h x
N
=
(3.1)
называется
относительной
частотой
.
В
другой
серии
N
измерений
относи
-
тельные
частоты
могут
быть
другими
.
Если
увеличивать
число
измерений
N
в
каждой
серии
,
то
колебания
относительных
частот
уменьшатся
.
По
-
этому
можно
ввести
предельное
значение
относительной
частоты
:
( ) lim
( )
i
N
i
N
P x
h x
®¥
D
=
, (3.2)
которое
называется
вероятностью
того
,
что
значение
измеряемой
величи
-
ны
находится
в
интервале
[
x
i
…x
i+1
].
Вероятность
,
приходящаяся
на
еди
-
ничный
интервал
величины
х
,
описывается
выражением
:
( )
( )
i
i
i
P x
x
x
r
D
=
D
. (3.3)
Повышение
точности
измерительного
прибора
приводит
к
уменьшению
ин
-
тервалов
i
x
D
.
В
этом
случае
гистограмма
сглаживается
(
рис
. 3.2),
а
величина
0
( )
( ) lim
x
P x
x
x
r
D ®
D
=
D
(3.4)
называется
плотностью
вероятности
.
Рис
. 3.2
Вероятность
того
,
что
результат
i-
го
измерения
находится
в
интерва
-
ле
x
D
,
включающем
величину
i
x
,
равна
:
( )
( )
i
i
P x
x
x
r
D
=
× D
.
(3.5)
На
графике
зависимости
( )
x
r
величина
( )
i
P x
D
равна
площади
заштрихо
-
ванной
фигуры
,
опирающейся
на
интервал
x
D
(
рис
. 3.2).
Полная
площадь
10
под
всей
кривой
( )
x
r
(
рис
. 3.2)
равна
вероятности
того
,
что
величина
x
принимает
какое
-
нибудь
значение
в
интервале
[
]
...
-¥ + ¥
.
Поскольку
такое
событие
является
достоверным
,
вероятность
его
равна
единице
,
то
есть
( )
1
x dx
r
+¥
-¥
×
=
ò
. (3.6)
Следовательно
,
площадь
фигуры
,
ограниченной
кривой
( )
x
r
и
осью
x
на
рис
. 3.2,
равна
единице
.
Если
наряду
с
повышением
точности
измерительного
прибора
усо
-
вершенствовать
метод
измерения
продолжительности
падения
шаров
(
на
-
пример
,
автоматизировать
метод
,
исключив
влияние
субъективного
факто
-
ра
),
то
разброс
значений
x
уменьшится
.
Это
приведёт
к
изменению
формы
кривой
( )
x
r
,
однако
площадь
фигуры
между
линией
( )
x
r
и
осью
x
оста
-
нется
равной
единице
.
На
рис
. 3.3
линия
3
соответствует
наиболее
точно
-
му
,
а
линия
1
–
наименее
совершенному
методу
измерения
.
Таким
образом
,
если
отложить
по
обе
стороны
от
величины
0
x
,
соответствующей
макси
-
муму
функции
( )
x
r
,
одинаковые
интервалы
x
D
,
то
вероятность
попадания
в
интервал
(
) (
)
0
0
...
x
x
x
x
é
ù
- D
+ D
ë
û
будет
большей
при
наиболее
совершен
-
ном
методе
,
то
есть
3
2
1
P
P
P
>
>
(
на
рис
. 3.3
площади
соответствующих
фи
-
гур
связаны
соотношением
3
2
1
S
S
S
>
>
).
Рис
. 3.3
Если
задать
требуемую
вероятность
P
того
,
что
величина
х
находит
-
ся
в
заданном
интервале
(
) (
)
0
0
...
x
x
x
x
é
ù
- D
+ D
ë
û
,
то
этот
интервал
будет
больше
для
менее
точного
метода
,
то
есть
,
если
метод
3
–
наиболее
,
а
ме
-