ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 484
Скачиваний: 1
16
РАБОТА
№
4.
ИЗУЧЕНИЕ
ДВИЖЕНИЯ
МАЯТНИКА
МАКСВЕЛЛА
Цель
работы
:
ознакомление
с
плоским
движением
твердого
тела
на
примере
маятника
Максвелла
и
определение
его
момента
инерции
.
I.
ВВЕДЕНИЕ
При
решении
разнообразных
задач
прикладной
механики
возникает
необходимость
рассматривать
движение
тел
,
размерами
которых
нельзя
пренебречь
,
то
есть
такие
тела
нельзя
рассматривать
как
материальные
точ
-
ки
.
Все
реально
существующие
тела
в
большей
или
меньшей
степени
де
-
формируются
под
действием
приложенных
к
ним
сил
.
Для
упрощения
опи
-
сания
движения
вводится
понятие
абсолютно
твердого
тела
.
Абсолютно
твердым
телом
называется
идеализированная
система
,
при
любых
движе
-
ниях
которой
взаимные
расстояния
между
материальными
точками
систе
-
мы
остаются
неизменными
.
Здесь
под
материальными
точками
понимают
не
отдельные
атомы
или
молекулы
,
а
достаточно
малые
макроскопические
части
,
на
которые
мысленно
можно
разделить
рассматриваемую
систему
.
Представление
твердого
тела
как
системы
материальных
точек
позволяет
применять
для
описания
движения
твердого
тела
результаты
,
полученные
для
произвольной
системы
материальных
точек
.
Для
однозначного
описания
движения
материальной
точки
необходи
-
мо
задать
три
функции
,
характеризующие
зависимость
ее
координат
от
времени
.
Для
описания
системы
N
материальных
точек
,
движущихся
неза
-
висимо
друг
от
друга
,
необходимо
задать
3N
функций
,
характеризующих
зависимость
координат
этих
точек
от
времени
.
Число
независимых
пара
-
метров
,
которыми
описывается
движение
системы
материальных
точек
,
на
-
зывается
числом
ее
степеней
свободы
.
Чтобы
однозначно
задать
положение
твердого
тела
в
пространстве
,
необходимо
зафиксировать
три
произвольные
точки
этого
тела
,
не
лежащие
на
одной
прямой
.
Положение
этих
трех
точек
однозначно
описывается
де
-
вятью
координатами
,
которые
связаны
тремя
соотношениями
.
Следователь
-
17
но
,
положение
абсолютно
твердого
тела
характеризуется
шестью
независи
-
мыми
параметрами
,
то
есть
твердое
тело
имеет
шесть
степеней
свободы
.
Различают
пять
видов
движения
абсолютно
твердого
тела
:
поступа
-
тельное
,
вращение
вокруг
неподвижной
оси
,
плоское
движение
,
вращение
вокруг
неподвижной
точки
и
свободное
движение
.
Первые
два
вида
движе
-
ния
–
поступательное
и
вращение
вокруг
неподвижной
оси
–
являются
ос
-
новными
видами
движения
твердого
тела
.
Основные
формы
движения
можно
свести
к
одному
из
основных
видов
движения
или
к
их
совокупно
-
сти
.
Поступательное
движение
в
пространстве
можно
рассматривать
как
сумму
независимых
движений
по
трем
координатным
осям
,
а
вращательное
движение
–
как
сумму
вращательных
движений
около
этих
осей
.
Таким
об
-
разом
,
из
шести
степеней
свободы
твердого
тела
три
степени
свободы
яв
-
ляются
поступательными
,
а
три
–
вращательными
.
Плоским
называется
такое
движение
,
при
котором
все
точки
твердого
тела
движутся
в
плоскостях
,
параллельных
некоторой
плоскости
,
непод
-
вижной
в
данной
системе
отсчета
.
При
плоском
движении
положение
твер
-
дого
тела
полностью
определяется
положением
отрезка
прямой
,
жестко
свя
-
занной
с
точками
тела
в
одном
из
сечений
.
На
рис
. 1
рассмотрим
перемещение
отрезка
из
положения
А
0
В
0
в
положение
АВ
за
промежуток
времени
dt
.
Это
перемещение
может
быть
представлено
в
виде
суммы
двух
движений
:
поступательного
из
положения
А
0
В
0
в
A’B’
,
при
котором
тело
перемещается
параллельно
самому
себе
,
и
вращательного
,
при
котором
тело
поворачивается
на
угол
α
вокруг
оси
,
проходящей
через
точку
O’
перпендикулярно
плоскости
движения
твердого
тела
.
Существует
множество
способов
раз
-
ложения
плоского
движения
на
поступательное
и
вращательное
.
Например
,
тело
могло
переместиться
из
положения
А
0
В
0
в
A”B”
,
а
затем
,
повернув
-
шись
на
угол
α
вокруг
оси
O”
,
занять
положение
АВ
.
Таким
образом
,
раз
-
ложение
плоского
движения
на
поступательное
и
вращательное
неодно
-
значно
,
однако
угол
поворота
α
при
данном
перемещении
неизменен
.
Рис
. 1
18
В
целом
плоское
движение
может
быть
представлено
как
сумма
двух
перемещений
:
В
dr d
dr
=
+
G
G
G
A
;
где
d
G
A
–
поступательное
перемещение
всех
точек
тела
из
положения
А
0
В
0
в
положение
А
’
В
’
или
в
A”B”
;
В
dr
G
–
элемен
-
тарное
перемещение
,
обусловленное
вращением
тела
вокруг
неподвижной
оси
O’
или
O”
на
угол
d
α
,
причем
[
, ]
dr
d
d
r
α
=
+
G
G
G
G
A
,
здесь
r
G
–
радиус
вращения
.
Разделив
обе
части
полученного
равенства
на
элементарное
вре
-
мя
перемещения
dt
,
можно
получить
формулу
скорости
при
плоском
дви
-
жении
:
0
[ , ],
r
υ υ
ω
=
+
G
G
G G
(1)
где
0
/
d dt
υ
=
G
G
A
и
/ .
d
dt
ω
α
=
G
G
Изменение
соотношения
между
d
G
A
и
r
G
приводит
к
изменению
положения
оси
вращения
и
скоростей
0
υ
G
и
ω
G
.
Сле
-
довательно
,
можно
выбрать
такую
ось
вращения
,
когда
скорость
поступа
-
тельного
движения
0
υ
G
равна
нулю
.
Ось
вращения
,
относительно
которой
скорость
поступательного
движения
равна
нулю
,
называется
мгновенной
осью
вращения
.
Таким
образом
,
при
плоском
движении
твердое
тело
может
быть
переведено
из
одн
o
го
положения
в
любое
другое
положение
с
помо
-
щью
одного
поворота
вокруг
некоторой
оси
.
Это
положение
является
част
-
ным
случаем
теоремы
Эйлера
.
Произвольное
плоское
движение
можно
представить
в
виде
ряда
сле
-
дующих
друг
за
другом
бесконечно
малых
перемещений
.
В
результате
по
-
лучится
ряд
бесконечно
близких
положений
1, 2, 3, 4,…,
последовательно
проходимых
телом
.
Согласно
теореме
Эйлера
переход
из
положения
1
в
по
-
ложение
2
может
быть
осуществлен
поворотом
вокруг
некоторой
оси
О
1
,
из
положения
2
в
положение
3 –
поворотом
вокруг
оси
О
2
и
так
далее
.
Поэтому
произвольное
плоское
движение
твердого
тела
можно
рассматривать
как
вращение
вокруг
мгновенной
оси
,
движущейся
как
в
теле
,
так
и
в
простран
-
стве
.
Таким
образом
,
плоское
движение
полностью
определяется
движени
-
ем
одного
из
сечений
в
какой
-
либо
из
параллельных
плоскостей
,
а
положе
-
ние
сечения
–
координатами
двух
его
точек
.
Положение
двух
точек
в
плос
-
кости
характеризуется
четырьмя
координатами
,
которые
связаны
одним
со
-
19
отношением
,
выражающим
постоянство
расстояния
между
двумя
точками
.
Поэтому
плоское
движение
описывается
однозначно
с
помощью
трех
сте
-
пеней
свободы
.
При
вращении
твердого
тела
относительно
неподвижной
оси
отдель
-
ные
элементарные
части
тела
массами
m
i
описывают
окружности
различ
-
ных
радиусов
r
i
и
имеют
различные
линейные
скорости
υ
i
.
Однако
угловая
скорость
вращения
ω
всех
этих
точек
(
если
тело
при
вращении
не
деформи
-
руется
)
одинакова
,
то
есть
1
2
1
2
...
r
r
υ
υ
ω
=
=
=
Кинетическая
энергия
вращающегося
тела
W
k
может
быть
рассчитана
как
сумма
кинетических
энергий
его
составных
частей
:
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
...
...
... .
2
2
2
2
2
k
m
m
m r
m r
W
m r
m r
υ
υ
ω
ω
ω
⋅
⋅
⋅
⋅
=
+
+ =
+
+ =
⋅
⋅ +
⋅ +
Сумма
произведений
масс
элементарных
частей
тела
на
квадраты
их
расстояний
до
определенной
оси
называется
моментом
инерции
тела
отно
-
сительно
этой
оси
:
2
2
2
1
1
2
2
...
i
i
i
J
m r
m r
m r
=
⋅ +
⋅ + =
⋅
∑
.
или
более
точно
2
,
V
J
r dm
=
⋅
∫
где
интегрирование
производится
по
всему
объему
тела
.
Тогда
выражение
для
кинетической
энергии
вращающегося
твердого
тела
можно
записать
в
виде
:
2
.
2
k
J
W
ω
⋅
=
Момент
инерции
тела
зависит
от
распределения
массы
рассматривае
-
мого
тела
относительно
заданной
оси
(
от
формы
,
размеров
тела
и
располо
-
жения
оси
,
относительно
которой
определяется
момент
инерции
).
Кинетическая
энергия
тела
при
плоском
движении
относительно
оси
вращения
,
проходящей
через
центр
масс
,
определяется
соотношением
:
20
2
2
0
0
,
2
2
k
m
J
W
υ
ω
⋅
⋅
=
+
(2)
где
υ
0
–
скорость
центра
масс
,
J
0
–
момент
инерции
тела
относительно
оси
,
проходящей
через
центр
масс
перпендикулярно
плоскости
,
параллельно
ко
-
торой
движутся
все
точки
тела
.
II.
ОПИСАНИЕ
МЕТОДА
ИЗМЕРЕНИЙ
И
ПРИБОРА
Принцип
работы
основан
на
фундаментальном
законе
физики
–
зако
-
не
сохранения
механической
энергии
,
который
гласит
,
что
полная
механи
-
ческая
энергия
изолированной
системы
,
в
которой
действуют
только
кон
-
сервативные
силы
,
с
течением
времени
не
изменяется
.
Маятник
Максвелла
представляет
собой
однородный
металлический
диск
,
в
середине
которого
укреплен
металлический
стержень
(
рис
. 2).
К
концам
этого
стержня
прикреплены
две
капроновые
нити
(
маятник
подвешен
бифилярно
),
которые
виток
к
витку
наматываются
на
стержень
от
его
концов
к
диску
.
При
освобождении
маятника
он
начинает
движение
:
поступательное
–
вниз
и
вращательное
–
вокруг
своей
оси
симметрии
.
По
мере
движения
маятника
вниз
увеличивается
кинетическая
энергия
вращательного
движения
маятника
(
второе
слагаемое
уравнения
(
2
)
),
поэтому
вращение
,
продолжаясь
по
инерции
,
в
низшей
точке
движения
,
когда
нити
уже
размотаны
,
вновь
приводит
к
наматыванию
нитей
на
стержень
,
а
,
следовательно
,
и
к
подъему
маятника
.
Движение
маятника
после
этого
за
-
медляется
,
маятник
останавливается
и
вновь
начинает
движение
вниз
и
так
далее
.
Пренебрегая
силами
трения
и
сопротивлением
воздуха
,
для
маятника
можно
записать
уравнение
закона
сохранения
механической
энергии
:
'
"
,
p
k
k
W
W
W
=
+
(3)
Рис
. 2