ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1316
Скачиваний: 16
Вариант № 3
1. Вычислить
lim
x
→
1
1
x
−
1
−
1
ln
x
.
Ответ:
−
1
2
.
2. Вычислить
lim
x
→
0+
1
sin
x
2
.
Ответ:
∞
.
3. Доказать, что функции
f
(
x
) = sin 8
x
и
g
(
x
) = arcsin 5
x
при
x
→
0
являются
бесконечно малыми одного порядка малости.
4. Определить характер разрыва функции
f
(
x
) =
√
x
arctg
1
x
в точке
x
= 0
.
Ответ:
устранимый разрыв.
5. Исследовать на непрерывность функцию
f
(
x, y
) =
⎧
⎨
⎩
2
xy
x
2
+
y
2
,
если
x
2
+
y
2
= 0
,
0
,
если
x
2
+
y
2
= 0
в точке
(
x
;
y
) = (0; 0)
.
Ответ:
функция разрывна.
6. Найти производную функции
f
(
x
) = cos
2
3
x
и упростить полученное выраже-
ние.
Ответ:
−
3 sin 6
x.
7. Вычислить
d
2
f
dx
2
(
π
)
,
если
f
(
x
) =
x
2
ln
x
+ cos 2
x.
Ответ:
2 ln
π
−
1
.
8. Вычислить
∂f
∂x
(
x, y
)
,
∂
2
f
∂x
2
(
x, y
)
,
если
f
(
x, y
) =
x
2
+
x y
+ 12
y
2
x
+
y
.
Ответ:
x
2
+ 2
xy
−
11
y
2
(
x
+
y
)
2
,
24
y
2
(
x
+
y
)
3
.
9. Найти производную функции
f
(
x, y
) = ln (
x
2
+
y
2
)
в точке
M
(
x
0
;
y
0
)
в направ-
лении, перпендикулярном к проходящей через эту точку линии уровня функции
f
(
x, y
)
.
Ответ:
2
x
2
0
+
y
2
0
.
10. Определить, в какой точке кривой
y
2
= 2
x
3
касательная перпендикулярна пря-
мой
4
x
−
3
y
+ 2 = 0
.
Построить графики.
Ответ:
1
8
;
−
1
16
.
11. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
f
(
x
) =
4
√
x
2
+ 16
на про-
межутке
[
−
3
,
3]
.
Ответ:
4
5
,
1
.
76
Вариант № 4
1. Вычислить
lim
x
→
0
ln
x
1 + 2 ln sin
x
.
Ответ:
1
2
.
2. Вычислить
lim
x
→
2
−
sgn cos
π
x
.
Ответ:
−
1
.
3. Проверить, являются ли функции
f
(
x
) = arcsin (
x
2
−
x
)
и
g
(
x
) = cos
x
при
x
→
0
бесконечно малыми одного порядка малости.
Ответ:
нет.
4. Определить характер разрыва функции
f
(
x
) = (
x
+ 3)
2
x
в точке
x
= 0
.
Ответ:
разрыв II рода.
5. Исследовать на непрерывность функцию
f
(
x, y
) =
⎧
⎨
⎩
x
2
+
y
2
x
4
+
y
4
,
если
x
2
+
y
2
= 0
,
0
,
если
x
2
+
y
2
= 0
в точке
(
x
;
y
) = (0; 0)
.
Ответ:
функция непрерывна.
6. Найти производную функции
f
(
x
) = 2(sin
2
x
−
2) e
x
и упростить полученное
выражение.
Ответ:
(2 sin 2
x
−
cos 2
x
−
3) e
x
.
7. Вычислить
df
dx
(0)
,
если
f
(
x
) =
√
x
+ 1
√
x
+ 1 + 1
.
Ответ:
1
8
.
8. Проверить, выполненоли равенство
∂
2
f
∂y∂x
(0
,
0) =
∂
2
f
∂x∂y
(0
,
0)
,
если
f
(
x, y
) =
⎧
⎨
⎩
xy
x
2
−
y
2
x
2
+
y
2
,
если
x
2
+
y
2
= 0
,
0
,
если
x
2
+
y
2
= 0
.
Ответ:
нет.
9. Найти производную
dy
dx
в точке
M
(1; 1)
от неявной функции, заданной урав-
нением
2
y
= 1 +
xy
3
.
Ответ:
−
1
.
10. Определить, в какой точке параболы
y
=
x
2
−
7
x
+ 3
касательная параллельна
прямой
5
x
+
y
−
3 = 0
.
Построить графики.
Ответ:
(1;
−
3)
.
11. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
f
(
x
) = cos
x
√
sin
x
на про-
межутке
(
0
,
π
2
)
.
Ответ:
0
,
√
2
4
√
3
3
.
77
5.6
Лабораторная работа № 6 «Интегралы»
Вариант № 1
1. Вычислить
x
+ 1
x
2
+ 1
dx.
Ответ:
1
2
ln(
x
2
+ 1) + arctg
x
+
C.
2. Вычислить
9
4
dx
√
x
−
1
.
Ответ:
2(1 + ln 2)
.
3. Вычислить
+
∞
0
x
2
e
−
x
dx.
Ответ:
2
.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
y
=
x
(
x
−
1)(
x
−
2)
и о сью
OX
.
Ответ:
1
2
.
5. Вычислить
Ω
dxdy
a
2
−
x
2
−
y
2
,
где
Ω
— часть круга радиуса
a
с центром в
точке
O
(0; 0)
,
лежащая в первой четверти.
Ответ:
aπ
2
.
6. Найти площадь части поверхности
z
2
= 2
xy,
отсекаемой плоскостями
x
+
y
= 1
,
x
= 0
, y
= 0
.
Ответ:
√
2
4
π.
7. Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими окружностями, радиусы
которых равны соответственно
1
и
3
.
Зная, что плотность материала пропор-
циональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца, если плот-
ность на внутренней окружности равна единице.
Ответ:
52
3
π.
8. Вычислить
Ω
dxdydz
(1 +
x
+
y
+
z
)
3
,
где область
Ω
ограничена поверхностями
x
+
+
y
+
z
= 1
, x
= 0
, y
= 0
, z
= 0
.
Ответ:
1
2
ln 2
−
5
16
.
9. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
2
=
x.
Ответ:
π
3
a
2
bc.
10. Вычислить
C
(
x
+
y
)
ds,
где
C
— контур треугольника с вершинами
O
(0; 0)
,
A
(1; 0)
, B
(0; 1)
.
Ответ:
1 +
√
2
.
78
Вариант № 2
1. Вычислить
1
√
4
−
x
2
+
1
√
4 +
x
2
dx.
Ответ:
arcsin
x
2
+ ln
x
+
√
4 +
x
2
+
C.
2. Вычислить
π
2
0
sin
x
cos
2
x dx.
Ответ:
1
3
.
3. Вычислить
+
∞
−∞
cos
x
x
2
+ 1
dx.
Ответ:
π
e
.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
xy
=
a
2
и
x
+
y
=
5
2
a,
где
a >
0
.
Ответ:
a
2
8
(15
−
16 ln 2)
.
5. Вычислить
Ω
x dxdy,
где
Ω
— треугольник с вершинами
O
(0; 0)
,
A
(1; 1)
,
B
(0; 1)
.
Ответ:
1
6
.
6. Найти площадь области
Ω =
*
(
x, y
) :
x
2
+
y
2
≤
a
2
y
2
x
2
≤
3
a
2
, x
≥
0
, y
≥
0
+
.
Ответ:
a
2
6
(3
√
3
−
π
)
.
7. Найти координаты центра масс однородной пластины, ограниченной кривыми
ay
=
x
2
и
x
+
y
= 2
a,
где
a >
0
.
Ответ:
−
a
2
;
8
5
a
.
8. Вычислить
Ω
xyz dxdydz,
где область
Ω
ограничена поверхностями
x
2
+
y
2
+
+
z
2
= 1
, x
= 0
, y
= 0
, z
= 0
.
Ответ:
1
48
.
9. Найти массу тела, занимающегоединичный объем
0
≤
x
≤
1
,
0
≤
y
≤
1
,
0
≤
z
≤
1
,
если плотность тела в точке
M
(
x, y, z
)
задается формулой
=
x
+
+
y
+
z.
Ответ:
3
2
.
10. Вычислить
C
x
2
+
y
2
ds,
где
C
— окружность
x
2
+
y
2
=
ax.
Ответ:
2
a
2
.
79
Вариант № 3
1. Вычислить
e
x
sin
x dx.
Ответ:
1
2
e
x
(sin
x
−
cos
x
) +
C.
2. Вычислить
1
0
x
2
√
4
−
x
2
dx.
Ответ:
π
3
−
√
3
2
.
3. Вычислить
+
∞
1
3
x
3
+ 2
x
+ 3
x
5
+ 3
x
4
+ 2
x
3
dx.
Ответ:
25
8
ln 3
−
2 ln 2
−
1
2
.
4. Найти площадь фигуры, заключенной между параболами
y
2
= 2
px
и
x
2
= 2
py.
Ответ:
4
3
p
2
.
5. Вычислить
Ω
sgn(
x
2
+
y
2
−
4)
dxdy,
где
Ω =
(
x, y
) :
x
2
+
y
2
≤
9
.
Ответ:
π.
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
z
= 1+
x
+
y, x
+
y
= 1
, x
= 0
,
y
= 0
, z
= 0
.
Ответ:
5
6
.
7. Найти массу круглой пластины радиусом
R
, если плотность ее в каждой точке
равна удвоенному расстоянию от этой точки до границы пластины.
Ответ:
2
3
πR
3
.
8. Вычислить
Ω
xy
2
z
3
dxdydz,
где область
Ω
ограничена поверхностями
z
=
xy,
y
=
x, x
= 1
, z
= 0
.
Ответ:
1
364
.
9. Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1
, x
= 0
, y
= 0
, z
= 0
.
Ответ:
3
8
a
;
3
8
b
;
3
8
c
.
10. Вычислить
C
y
2
ds,
где
C
— арка циклоиды
x
=
a
(
t
−
sin
t
)
, y
=
a
(1
−
cos
t
)
при
0
≤
t
≤
2
π.
Ответ:
256
15
a
3
.
80