ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 1318
Скачиваний: 16
5.3
Лабораторная работа № 3 «Задачи линейной ал-
гебры»
Вариант № 1
1. Найти косинус угла между векторами
a
= (2
,
1)
, b
= (1
,
3)
.
Ответ:
√
2
2
.
2. Найти
|
AB
−
1
|
,
если
A
=
1 3
2 4
, B
=
1
−
1
0
2
.
Ответ:
−
1
.
3. Реализовать процедуру, вычисляющую количество всех ненулевых элементов
заданной матрицы, и применить эту процедуру к матрице
A
=
⎛
⎝
0
1 0 1
−
1 3 0 0
0
0 1 0
⎞
⎠
.
Ответ:
5
.
4. Определить, является ли матрица
A
=
−
1
2
2
−
3
отрицательно определенной.
Ответ:
нет.
5. Определить размерность пространства решений системы
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x
1
+
x
2
+ 2
x
3
= 0
,
x
1
−
2
x
2
−
x
3
= 0
,
2
x
1
+
x
2
+ 3
x
3
= 0
,
−
x
1
+ 2
x
2
+
x
3
= 0
.
Ответ:
1
.
6. Решить матричное уравнение
1 2
3 4
·
X
=
3 5
5 9
.
Ответ:
X
=
−
1
−
1
2
3
.
7. Для матрицы
A
=
⎛
⎝
7
−
12 6
10
−
19 10
12
−
24 13
⎞
⎠
найти собственные значения и их геометри-
ческие кратности.
Ответ:
λ
1
=
−
1
, k
1
= 1
, λ
2
= 1
, k
2
= 2
.
8. Линейный оператор
A
в базисе
f
1
= (1
,
2)
, f
2
= (2
,
3)
имеет матрицу
A
f
=
=
2 5
4 3
.
Линейный оператор
B
в базисе
g
1
= (3
,
1)
, g
2
= (4
,
2)
имеет
матрицу
B
g
=
4 6
6 9
.
Найти матрицу оператора
A
+
B
в базисе
g
1
, g
2
.
Ответ:
23
20
−
12
−
5
.
9. Вычислить дивергенцию векторного поля
f
= (
x
2
,
5
y, z
)
.
Ответ:
6 + 2
x.
66
Вариант № 2
1. Найти косинус угла между векторами
a
= (0
,
1
,
2)
, b
= (
−
2
,
0
,
1)
.
Ответ:
2
5
.
2. Найти ранг произведения матриц
A
=
⎛
⎝
1 2
2 0
1 3
⎞
⎠
и
B
=
1
0 1
−
1 1 1
.
Ответ:
2
.
3. Реализовать процедуру, осуществляющую проверку, является ли заданная мат-
рица диагональной, и применить эту процедуру к матрицам
A
=
⎛
⎝
2 0
0
0 3
0
0 0
−
1
⎞
⎠
и
B
=
⎛
⎝
1 0
0 2
0 0
⎞
⎠
.
Ответ:
true, f alse.
4. Определить, является ли матрица
A
=
1 3
3 10
положительно определенной.
Ответ:
да.
5. Не прибегая к поиску решения, определить, разрешима ли система
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x
1
+ 3
x
2
+ 2
x
3
= 1
,
x
1
−
x
2
−
2
x
3
= 1
,
2
x
1
+ 4
x
2
+ 2
x
3
= 2
,
2
x
1
+
x
2
−
x
3
= 2
.
Ответ:
да.
6. Решить матричное уравнение
X
·
3
−
2
5
−
4
=
−
1 2
−
5 6
.
Ответ:
X
=
3
−
2
5
−
4
.
7. Найти характеристический полином
f
(
λ
)
для матрицы
⎛
⎝
−
1
4
3
−
2
5
3
2
−
4
−
2
⎞
⎠
и убе-
диться, что
f
(
A
) = Θ
.
8. Линейный оператор
A
в базисе
f
1
= (8
,
−
6
,
7)
, f
2
= (
−
16
,
7
,
−
13)
, f
3
= (9
,
−
3
,
7)
имеет матрицу
A
f
=
⎛
⎝
1
−
18 15
−
1
−
22 20
1
−
25 22
⎞
⎠
.
Найти матрицу оператора
A
в базисе
g
1
= (1
,
−
2
,
1)
, g
2
= (3
,
−
1
,
2)
, g
3
= (2
,
1
,
2)
.
Ответ:
⎛
⎝
1
2
2
3
−
1
−
2
2
−
3
1
⎞
⎠
.
9. Вычислить дивергенцию векторного поля
f
= (2
x, y, z
2
)
.
Ответ:
3 + 2
z.
67
Вариант № 3
1. Найти смешанное произведение векторов
a
= (1
,
2
,
−
2)
,
b
= (1
,
−
2
,
1)
,
c
=
= (4
,
−
2
,
−
1)
.
Ответ:
2
.
2. Найти
(
AB
)
T
,
если
A
=
1 2 0
0 1 1
, B
=
⎛
⎝
3
−
1
−
1
2
1
0
⎞
⎠
.
Ответ:
1 0
3 2
.
3. Реализовать процедуру, вычисляющую сумму модулей всех элементов заданной
матрицы, и применить эту процедуру к матрице
A
=
4
−
5
2
0
3
−
1
.
Ответ:
15
.
4. Определить, является ли матрица
A
=
2 4
4 8
положительно определенной.
Ответ:
нет.
5. Не прибегая к поиску решения, определить, разрешимоли уравнение
⎛
⎝
1
2
1
0
−
1 1
1
1
2
⎞
⎠
·
X
=
⎛
⎝
1
−
1 0
2
1
3
1
0
1
⎞
⎠
.
Ответ:
нет.
6. Для матрицы
A
=
⎛
⎝
1
−
i
0
i
3
0
2
0
4
⎞
⎠
получить
LU
-разложение.
Ответ:
L
=
⎛
⎝
1 0 0
i
1 0
2
i
1
⎞
⎠
, U
=
⎛
⎝
1
−
i
0
0
2
0
0
0
4
⎞
⎠
.
7. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
A
=
⎛
⎝
1
−
3 3
3
−
5 3
6
−
6 4
⎞
⎠
.
Ответ:
λ
1
,
2
=
−
2
, h
1
= (1
,
1
,
0)
, h
2
= (
−
1
,
0
,
1)
, λ
3
= 4
, h
3
= (1
,
1
,
2)
.
8. Линейный оператор
A
в базисе
f
1
= (
−
3
,
7)
, f
2
= (1
,
−
2)
имеет матрицу
A
f
=
=
2
−
1
5
−
3
.
Линейный оператор
B
в базисе
g
1
= (6
,
−
7)
, g
2
= (
−
5
,
6)
имеет
матрицу
B
g
=
−
1 5
2
4
.
Найти матрицу оператора
AB
в том базисе, в котором
заданы координаты всех векторов.
Ответ:
15 11
11 9
.
9. Найти вектор-градиент скалярного поля
f
(
x, y, z
) = 3
xy
2
−
2
xz.
Ответ:
(3
y
2
−
2
z,
6
xy,
−
2
x
)
.
68
Вариант № 4
1. Найти смешанное произведение векторов
a
=(1
,
1
,
1)
, b
=(1
,
2
,
3)
, c
=(1
,
−
1
,
1)
.
Ответ:
4
.
2. Найти значение многочлена
f
(
λ
) =
λ
2
−
2
λ
+ 2
для матрицы
A
=
⎛
⎝
1 0
1
1 1
−
1
0 1
1
⎞
⎠
.
Ответ:
⎛
⎝
1 1 0
0 0 1
1 0 0
⎞
⎠
.
3. Реализовать процедуру, осуществляющую проверку, является ли заданная мат-
рица верхнетреугольной, и применить эту процедуру к матрицам
A
=
1 2
0 1
и
B
=
⎛
⎝
0 1
0
0 2
1
1 0
−
1
⎞
⎠
.
Ответ:
true, f alse.
4. Определить, является ли матрица
A
=
−
1
2
0
−
2
отрицательно определенной.
Ответ:
да.
5. Не прибегая к поиску решения, определить, разрешимоли уравнение
X
·
3 6
4 8
=
2 4
9 18
.
Ответ:
да.
6. Решить систему уравнений
(3
−
i
)
x
+ (4 + 2
i
)
y
= 2 + 6
i,
(4 + 2
i
)
x
−
(2 + 3
i
)
y
= 5 + 4
i.
Ответ:
x
= 1 +
i, y
=
i.
7. Для матрицы
A
=
⎛
⎝
1
0
−
2
1
2
2
−
1 0
0
⎞
⎠
найти собственные значения и их алгебраи-
ческие кратности.
Ответ:
λ
1
=
−
1
, p
1
= 1
, λ
2
= 2
, p
2
= 2
.
8. Линейный оператор
A
в базисе
e
1
, e
2
, e
3
имеет матрицу
A
e
=
⎛
⎝
15
−
11 5
20
−
15 8
8
−
7 6
⎞
⎠
.
Найти матрицу оператора
A
в базисе
f
1
= 2
e
1
+ 3
e
2
+
e
3
, f
2
= 3
e
1
+ 4
e
2
+
e
3
,
f
3
=
e
1
+ 2
e
2
+ 2
e
3
.
Ответ:
⎛
⎝
1 0 0
0 2 0
0 0 3
⎞
⎠
.
9. Найти вектор-градиент скалярного поля
f
(
x, y, z
) = 2
x
+ 3
y
2
−
sin
z.
Ответ:
(2
,
6
y,
−
cos
z
)
.
69
5.4
Лабораторная работа № 4 «Решение уравнений и
систем»
Вариант № 1
1. Найти все корни уравнения
24
x
2
+ 2
x
−
8
−
15
x
2
+ 2
x
−
3
= 2
.
Ответ:
0
,
−
2
,
−
1 +
√
66
2
,
−
1
−
√
66
2
.
2. Найти все корни уравнения
x
+
√
x
2
−
1
5
x
−
√
x
2
−
1
= 1
из промежут-
ка
[0; 2]
.
Ответ:
0
,
1
.
3. Найти числодействительных корней уравнения
(
x
+ 1)
5
+ (
x
−
1)
5
= 32
x.
Ответ:
3
.
4. Найти сумму всех положительных корней полинома
x
6
−
3
x
4
−
6
x
2
+ 8
.
Ответ:
3
.
5. Найти произведение корней уравнения
√
x
+ 4 +
√
x
−
4
2
=
x
+
√
x
2
−
16
−
6
.
Ответ:
5
.
6. Решить систему уравнений:
(
x
+ 1)(
y
+ 1) = 10
,
(
x
+
y
)(
xy
+ 1) = 25
.
Ответ:
(4; 1)
,
(1; 4)
.
7. Решить систему уравнений:
⎧
⎨
⎩
x
+
yz
= 2
,
y
+
zx
= 2
,
z
+
xy
= 2
.
Ответ:
(1; 1; 1)
,
(
−
2;
−
2;
−
2)
.
8. Найти точки пересечения кривых
x
+
y
+
xy
= 7
, x
2
+
y
2
+
xy
= 13
.
Построить
графики.
Ответ:
(3; 1)
,
(1; 3)
.
9. Найти точки пересечения прямой
x
3
=
y
4
=
z
5
и эллипсоида
x
2
+
y
2
+
z
2
= 50
.
Ответ:
(3; 4; 5)
,
(
−
3;
−
4;
−
5)
.
10. Найти все целочисленные решения уравнения
x
2
−
xy
−
x
+
y
= 1
.
Ответ:
(0; 1)
,
(2; 1)
.
70