ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 412
Скачиваний: 1
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Т Е О Р И Я
Ф У Н К Ц И Й
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Учебное пособие для студентов
по специальности математика – 010100(510100)
ВОРОНЕЖ
2006
Утверждено научно-методическим советом
математического факультета
15.02.2006 г., протокол № 6.
Составитель:
проф. Смагин В.В.
Рецензент:
проф. Баскаков А.Г.
Пособие подготовлено на кафедре функционального анализа и оператор-
ных уравнений математического факультета Воронежского государственного
университета.
Рекомендуется для студентов 3-го курса д/о математического факультета.
— 3 —
В данном пособии излагаются основные факты, касающиеся построения
интеграла Лебега и теории меры. При изложении материала используется
схема Ф.Рисса-Даниэля, в которой теория начинается с понятия интеграла
на элементарных (ступенчатых) функциях и быстро, по сравнению со схемой
Лебега, вводит в курс дела. Для понимания материала достаточно знаний и
навыков, которыми студенты математических специальностей овладевают к
третьему курсу обучения.
В конце приводится список использованных при написании данного посо-
бия учебников [1-5]. Эти книги рекомендуются также для самостоятельного
более глубокого изучения предмета. При этом следует обратить внимание на
предложенные в пособии задачи, нумерация которых соответствует методи-
ческой разработке [6].
1. ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА МЕРЫ НУЛЬ
Множество
A
⊂
[
a, b
]
⊂
R
1
называется
множеством меры нуль
(сокра-
щенно ММН), если
(
∀
ε >
0) (
∃{4
i
} −
конечная или счетная система интервалов
)
h ³
A
⊂
[
i
4
i
´
∧
³ X
i
|4
i
|
< ε
´ i
,
где для интервала
4
= (
α, β
)
, его длину обозначаем
|4|
=
β
−
α
.
•
Задача
9.1.
Примером ММН может служить, что следует из задачи 9.1, всякое ко-
нечное или счетное множество. С другой стороны, любой отрезок
[
a, b
]
, где
a < b
, не является ММН. Действительно, любое конечное покрытие отрезка
[
a, b
]
интервалами имеет сумму длин этих интервалов больше, чем
b
−
a
. Ес-
ли же отрезок покрыт счетной системой интервалов, то по лемме Бореля из
этого покрытия всегда можно выбрать конечное подпокрытие этого отрезка.
•
Задачи:
9.2 – 9.10, 9.12.
Приведем пример ММН, которое является множеством мощности конти-
нуум. Это множество Кантора, которое строится на
[0
,
1]
следующим образом.
Из отрезка
[0
,
1]
исключается интервал
(
1
3
,
2
3
)
; затем из оставшихся двух от-
резков
[0
,
1
3
]
и
[
2
3
,
1]
(
отрезков первого ранга
) исключаются интервалы длины
3
−
2
с центрами в серединах указанных отрезков; затем из оставшихся четы-
рех отрезков (
отрезков второго ранга
) исключаются интервалы длины
3
−
3
с
центрами в серединах этих отрезков и так далее до бесконечности. Множество
D
, оставшееся в
[0
,
1]
после исключения всех интервалов, и есть
множество
Кантора
. Легко подсчитать, что сумма, длин удаленных из
[0
,
1]
интервалов,
равна единице. Воспользовавшись задачей 9.6, получим, что
D
– ММН.
— 4 —
Заметим, что точки множества
D
делятся на
точки первого рода
– концы
удаленных интервалов вместе с точками
0
и
1
, и
точки второго рода
– все
остальные точки множества
D
. Очевидно, что множество точек первого рода
счетное. Примером точки второго рода может служить число
1
/
4
. Можно
показать, что множество
D
⊂
[0
,
1]
включает те и только те числа отрезка
[0
,
1]
, которые записываются в виде троичной дроби (конечной или беско-
нечной), не содержащей единицы в числе своих троичных знаков. Отсюда
непосредственно следует, что множество
D
имеет мощность континуум.
Построим на отрезке
[0
,
1]
еще одно множество. Зададим число
α
∈
(0
,
1)
.
Удалим из отрезка
[0
,
1]
интервал длины
α/
2
с центром в середине отрезка;
из оставшихся двух отрезков удалим интервалы длины
α/
2
3
с центрами в
серединах этих отрезков; из оставшихся четырех отрезков удалим интервалы
длины
α/
2
5
с центрами в серединах этих отрезков и так далее. Множество,
оставшееся в
[0
,
1]
после удаления всех интервалов, обозначим
e
D
. Легко под-
считать, что сумма длин удаленных из
[0
,
1]
интервалов равна
α <
1
. Вос-
пользовавшись задачей 9.10, получим, что
e
D
не является ММН. Множество
e
D
назовем
множеством Кантора
ненулевой меры.
•
Задачи:
9.13, 9.11.
Множество
A
⊂
[
a, b
]
называется
множеством полной меры
, если множе-
ство
[
a, b
]
\
A
является ММН.
Если некоторое свойство выполняется на множестве полной меры отрезка
[
a, b
]
, то говорят, что это свойство выполняется
почти всюду
(п.в.) на
[
a, b
]
.
Так, например, для функций
x
(
t
)
и
y
(
t
)
, заданных на
[
a, b
]
, обозначение
x
(
t
)
п.в.
=
y
(
t
)
означает, что множество
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
(
t
)
6
=
y
(
t
)
}
– ММН.
•
Задача
9.14.
Лемма 1.
Объединение конечного или счетного числа множеств меры
нуль есть множество меры нуль.
Доказательство.
Пусть
A
=
∪
i
A
i
, где все
A
i
– ММН. Зададим
ε >
0
.
Каждое множество
A
i
покроем конечной или счетной системой интервалов
{4
i
j
}
j
с суммой длин меньше
ε/
2
i
. Тогда множество
A
окажется покрытым
конечной или счетной системой интервалов
{4
i
j
}
i,j
такой, что
X
i,j
|4
i
j
|
=
X
i
X
j
|4
i
j
|
<
X
i
ε/
2
i
≤
ε.
Таким образом,
A
– ММН.
♥
– конец доказательства.
2. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Функция
h
(
t
)
называется
ступенчатой
на отрезке
[
a, b
]
, если существует
разбиение
a
=
t
0
< t
1
< ... < t
n
=
b
отрезка такое, что в каждом из интерва-
лов
(
t
i
−
1
, t
i
)
функция
h
(
t
)
принимает некоторое постоянное значение
b
i
∈
R
1
— 5 —
(
i
= 1
, n
)
. Значения функции
h
(
t
)
в точках деления
t
i
нас интересовать не
будут, поскольку множество
{
t
i
}
n
i
=0
– ММН.
Лемма 2.
Пусть функция
ϕ
(
x, y
)
непрерывна по совокупности перемен-
ных
x, y
∈
R
1
. Пусть
h
(
t
)
,
k
(
t
)
– ступенчатые на
[
a, b
]
функции. Тогда функ-
ция
ϕ
(
t
) =
ϕ
[
h
(
t
)
, k
(
t
)]
– ступенчатая на
[
a, b
]
.
Доказательство
очевидно, если объединить разбиения отрезка
[
a, b
]
, по-
рожденные функциями
h
(
t
)
и
k
(
t
)
.
♥
Следствие.
Пусть
h
(
t
)
,
k
(
t
)
– ступенчатые на
[
a, b
]
функции. Тогда сту-
пенчатыми являются и следующие функции:
αh
(
t
) (
α
∈
R
1
)
,
|
h
(
t
)
|
, h
(
t
) +
k
(
t
)
, h
(
t
)
k
(
t
)
,
max
{
h
(
t
)
, k
(
t
)
}
,
min
{
h
(
t
)
, k
(
t
)
}
.
Доказательство.
Следует лишь отметить непрерывность функций
max
{
x, y
}
и
min
{
x, y
}
, что следует, например, из представлений:
max
{
x, y
}
= 2
−
1
(
x
+
y
+
|
x
−
y
|
)
,
min
{
x, y
}
= 2
−
1
(
x
+
y
− |
x
−
y
|
)
.
♥
Лемма 3.
Пусть
h
(
t
)
,
k
(
t
)
– ступенчатые на
[
a, b
]
функции и
k
(
t
)
6
= 0
п.в.
на
[
a, b
]
. Тогда частное
h
(
t
)
/k
(
t
)
– ступенчатая на
[
a, b
]
функция.
Для
доказательства
леммы 3, как и в лемме 2, достаточно объединить
разбиения отрезка
[
a, b
]
, порожденные функциями
h
(
t
)
и
k
(
t
)
.
♥
Вещественная функция
x
(
t
)
, для которой допускаются и бесконечные зна-
чения, называется
измеримой
на
[
a, b
]
, если:
1)
x
(
t
)
определена п.в. на
[
a, b
]
;
2)
x
(
t
)
конечна п.в. на
[
a, b
]
;
3) существует последовательность
{
h
n
(
t
)
}
ступенчатых на
[
a, b
]
функций
таких, что
h
n
(
t
)
п.в.
→
x
(
t
)
при
n
→ ∞
.
Очевидно, что всякая ступенчатая функция измерима.
Заметим также, что если
x
(
t
)
п.в.
=
y
(
t
)
и функция
x
(
t
)
измерима на
[
a, b
]
,
то и функция
y
(
t
)
измерима на
[
a, b
]
.
•
Задачи:
10.2, 10.4, 10.5.
Лемма 4.
Пусть
x
(
t
)
,
y
(
t
)
– измеримые на
[
a, b
]
функции. Пусть функция
ϕ
(
x, y
)
непрерывна по совокупности переменных
x, y
∈
R
1
. Тогда функция
ϕ
(
t
) =
ϕ
[
x
(
t
)
, y
(
t
)]
– измеримая на
[
a, b
]
.
Доказательство.
Определим на отрезке
[
a, b
]
множества:
A
1
=
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
(
t
)
−
не определена
}
, B
1
=
{
t
∈
[
a, b
]
|
y
(
t
)
−
не определена
}
,
A
2
=
{
t
∈
[
a, b
]
| |
x
(
t
)
|
=
∞}
,
B
2
=
{
t
∈
[
a, b
]
| |
y
(
t
)
|
=
∞}
,
A
3
=
{
t
∈
[
a, b
]
|
h
n
(
t
)
6→
x
(
t
)
}
,
B
3
=
{
t
∈
[
a, b
]
|
k
n
(
t
)
6→
y
(
t
)
}
.
Здесь
{
h
n
(
t
)
}
и
{
k
n
(
t
)
}
ступенчатые функции такие, что
h
n
(
t
)
п.в.
→
x
(
t
)
и
k
n
(
t
)
п.в.
→
y
(
t
)
при
n
→ ∞
. Функция
ϕ
(
t
)
определена и конечна на множестве