ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 946
Скачиваний: 5
Ядро
ползучести
Больцман
предложил
общий
подход
,
в
котором
не
нужно
строить
реологических
схем
в
явной
форме
.
Определяющее
уравнение
вязкоупругой
среды
сразу
задается в следующей интегральной форме
задается
в
следующей
интегральной
форме
(4.3)
в
которой
функция
,
называемая
ядром
ползучести
,
может
быть
произвольной
гладкой
или
обобщенной
функцией
,
зависящей
от
двух
С
,
d
)
(
)
,
t
(
K
)
t
(
t
∫
∞
−
=
ϑ
ϑ
σ
ϑ
ε
)
,
(
ϑ
t
K
независимых
переменных
.
С
помощью
интеграла
описывается
произвольная
линейная
зависимость
деформации
от
напряжения
с
памятью
на
интервале
времени
.
Ядра
ползучести
называются
разностными
.
)
,
(
t
−∞
)
(
)
,
(
ϑ
ϑ
−
=
t
K
t
K
др
у
р
В
модели
Кельвина
–
Фойхта
ядро
ползучести
разностное
и
является
гладкой
функцией
,
так
как
.
В
модели
Максвелла
ядро
тоже
разностное
,
но
определяется
через
обобщенную функцию Дирака по формуле
)
(
)
,
(
ϑ
ϑ
t
K
t
K
η
τ
t
e
t
K
−
=
)
(
обобщенную
–
функцию
Дирака
по
формуле
.
Можно
показать
,
что
любая
вязкоупругая
модель
,
построенная
на
основе
реологической
схемы
,
приводит
к
уравнению
(4.3)
вязкоупругой
среды
с
разностным
ядром
ползучести
.
η
δ
1
)
(
)
(
+
=
E
t
t
K
Преобразование
Лапласа
Преобразованием
Лапласа
функции
,
равной
нулю
при
,
называется
комплекснозначная
функция
комплексной
переменной
,
которая
определяется
как
интеграл
:
)
(
t
f
0
<
t
p
∫
∞
−
=
.
)
(
)
(
ˆ
dt
e
t
f
p
f
pt
Одно
из
основных
свойств
такого
преобразования
состоит
в
том
,
что
для
свертки
двух
функций
и
:
0
)
(
t
f
)
(
t
g
∫
∫
−
=
−
≡
∗
=
t
t
d
t
g
f
d
g
t
f
t
g
f
t
h
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
преобразование
Лапласа
равно
произведению
преобразований
.
Полагая
,
что
началом
процесса
деформирования
среды
служит
начало
отсчета
,
и
что
при
среда
находилась
в
естественном
состоянии
с
,
запишем
определяющее уравнение в виде свертки
0
0
h
ˆ
g
f
ˆ
ˆ
0
=
t
0
<
t
0
)
(
)
(
=
=
t
t
σ
ε
определяющее
уравнение
в
виде
свертки
(4.4)
Отсюда
после
применения
преобразования
Лапласа
получим
уравнение
,
позволяющее
сформулировать
принцип
соответствия
Вольтера
:
всякой
модели
вязкоупругой
среды
в
пространстве
образов
Лапласа
соответствует
модель
теории
.
σ
ε
∗
=
K
σ
ε
ˆ
ˆ
ˆ
K
=
ˆ
ˆ
у ру
р д
р
р
р
у
д
р
упругости
с
комплексным
модулем
Юнга
.
В
случае
одноосного
напряженного
состояния
этот
принцип
показывает
,
что
зависимость
напряжения
от
деформации
,
обратная
к
(4.4)
также
выражается
в
виде
свертки
ф
б
б
K
R
ˆ
1
ˆ
=
,
ε
σ
∗
=
R
)
(
R
где
функция
,
называемая
ядром
ползучести
,
может
быть
вычислена
как
обратное
преобразование
Лапласа
от
,
например
,
по
формуле
Меллина
:
при достаточно большом значении параметра
)
(
t
R
K
ˆ
1
∫
∞
+
∞
−
=
i
a
i
a
pt
dp
e
p
R
i
t
R
)
(
ˆ
2
1
)
(
π
a
при
достаточно
большом
значении
параметра
.
a
Нелинейные
наследственные
модели
Реологические
схемы
нелинейных
моделей
теории
наследственности
строятся
с
помощью
трех
элементов
–
упругой
пружины
,
вязкого
демпфера
и
пластического
шарнира
.
Пластический шарнир моделирует поведение идеально пластической среды в
Пластический
шарнир
моделирует
поведение
идеально
пластической
среды
,
в
которой
напряжение
не
может
превосходить
некоторого
порогового
значения
–
предела
текучести
,
служащего
одним
из
феноменологических
параметров
материала
.
Если
напряжение
в
шарнире
ниже
предела
текучести
,
то
скорость
деформации
равна
нулю
.
По
мере
достижения
предела
текучести
начинается
течение при котором скорость деформации может быть произвольной
s
σ
течение
,
при
котором
скорость
деформации
может
быть
произвольной
величиной
,
положительной
при
растяжении
и
отрицательной
при
сжатии
:
Пластический
шарнир
0
,
,
0
,
,
0
s
s
если
если
если
σ
σ
ε
σ
σ
ε
σ
σ
ε
≤
<
=
=
≥
&
&
&
Нелинейные
модели
наследственности
описывают
пороговый
характер
деформирования
–
при
относительно
невысоких
напряжениях
материал
ведет
себя
как
обычная
вязкоупругая
среда
,
а
по
мере
достижения
напряжением
порогового
значения
свойства
среды
резко
меняются
.
П
й
й
.
,
0
s
если
σ
σ
ε
−
=
≤
Простейшая
модель
,
описывающая
ползуче
-
пластическую
среду
,
в
которой
напряжение
ограничено
представлена
на
рисунке
внизу
.
При
напряжении
ниже
предельного
среда
ведет
себя
как
вязкая
жидкость
,
в
предельном
состоянии
она
течет
подобно
идеальной
жидкости
.
При
последовательном
соединении
реологических
элементов
скорости
С
р
д
д
р
р
деформации
суммируются
,
поэтому
определяющие
соотношения
ползуче
-
пластической
среды
принимают
вид
:
Схема
ползуче
-
пластической
среды
,
,
,
,
s
s
s
если
если
если
σ
σ
η
σ
ε
σ
σ
η
σ
ε
σ
σ
η
σ
ε
−
=
≤
<
=
=
≥
&
&
&
.
,
s
s
если
σ
σ
η
σ
ε
≤
Нелинейные
наследственные
модели
Схема
на
рисунке
вверху
соответствует
неньютоновской
жидкости
Шведова
–
Бингама
.
Такая
среда
не
деформируется
,
если
напряжение
ниже
предельного
,
и
обладает
свойствами
вязкой
жидкости
,
если реализуется предельное состояние
.
жидкости
,
если
реализуется
предельное
состояние
.
При
параллельном
соединении
суммируются
напряжения
,
поэтому
определяющие
соотношения
среды
Шведова
–
Бингама
записываются
в
виде
,
s
s
если
σ
σ
η
σ
σ
ε
≥
−
=
&
На рисунке внизу представлена реологическая схема модели
.
,
,
,
0
s
s
s
если
если
σ
σ
η
σ
σ
ε
σ
σ
ε
η
−
≤
+
=
<
=
&
&
Схема
Шведова
–
Бингама
На
рисунке
внизу
представлена
реологическая
схема
модели
упруго
-
вязко
-
пластической
среды
,
которая
широко
применяется
при
описании
высокоскоростного
деформирования
металлических
и
металлокерамических
материалов
в
задачах
пробивания
элементов
защитных
конструкций
.
Определяющие
соотношения
модели
имеют
вид
:
вид
:
,
,
,
,
s
s
s
если
E
если
E
σ
σ
σ
ε
σ
σ
η
σ
σ
σ
ε
<
=
≥
−
+
=
&
&
&
&
Нелинейные
модели
материалов
,
по
-
разному
сопротивляющихся
растяжению
и
сжатию
,
в
настоящее
время
еще
недостаточно
.
s
s
если
E
σ
σ
η
σ
σ
σ
ε
−
≤
+
+
=
&
&
Схема
упруго
-
вязко
-
пластической
среды
развиты
.
р д
Теория
старения
.
Метод
изохронных
кривых
Теория
старения
дает
альтернативный
способ
описания
ползучести
материалов
.
В
рамках
этой
теории
деформация
считается
функцией
от
напряжения
,
температуры
и
времени
.
Полагая
,
что
температура
является
заданной
постоянной
величиной
,
запишем
определяющее уравнение в общем виде
)
(
t
f
c
σ
ε
=
определяющее
уравнение
в
общем
виде
Здесь
индекс
“c”
употребляется
для
обозначения
деформации
ползучести
.
Теория
старения
описывает
деформацию
материала
,
несущая
способность
которого
меняется
со
временем
.
Уравнение
теории
старения
не
инвариантно
относительно
сдвига
по
времени
.
).
,
(
t
f
σ
ε
=
Функция
строится
на
основе
серии
диаграмм
ползучести
материала
.
Для
этого
служит
метод
изохронных
кривых
.
Фиксируя
момент
времени
,
можно
f
1
t
ру
р
,
определить
систему
точек
пересечения
с
кривыми
ползучести
.
Каждой
из
этих
точек
соответствует
точка
с
координатами
, , …
на
Метод изохронных кривых
)
,
(
0
0
σ
ε
)
,
(
1
1
σ
ε
рд
,
,
плоскости
.
Метод
изохронных
кривых
Геометрическим
местом
точек
является
диаграмма
одноосного
деформирования
материала
–
изохронная
кривая
в
данный
момент
.
Аналогично
можно
построить
)
,
(
0
0
)
,
(
1
1
)
,
(
σ
ε
1
t
серию
изохронных
кривых
для
моментов
времени
,
и
так
далее
.
На
практике
оказывается
,
что
изохронные
кривые
подобны
между
собой
.
2
t
3
t