Файл: Механика деформируемого твердого тела.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2021

Просмотров: 1003

Скачиваний: 5

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

Задача

 

разрушения

 

стержня

 

при

 

ползучести

„

Определить

 

время

за

 

которое

 

стержень

имеющий

 

начальную

 

длину

      

и

 

ф

б

0

l

S

поперечное

 

сечение

     , 

растянется

 

за

 

счет

 

деформации

 

ползучести

 

до

 

бесконечных

 

размеров

 

под

 

действием

 

постоянной

 

осевой

 

силы

    .

„

В

 

этой

 

задаче

 

упругую

 

деформацию

 

стержня

 

можно

 

не

 

учитывать

.

Определяющее

 

уравнение

 

теории

 

течения

 

запишем

 

в

 

виде

0

S

P

n

B

σ

ε

=

&

„

Для

 

простоты

 

будем

 

считать

 

материал

 

несжимаемым

В

 

этом

 

случае

 

объем

 

стержня

 

не

 

меняется

:              , 

зато

 

меняется

 

его

 

длина

 

и

 

поперечное

 

сечение

Напряжение

 

в

 

стержне

 

также

 

является

 

величиной

 

переменной

.

B

σ

ε

=

0

0

l

S

l

S

=

l

Pl

P

„

Деформация

 

за

 

бесконечно

 

малое

 

время

      

равна

 

относительному

 

удлинению

 

стержня

поэтому

.

0

0

0

0

l

l

S

S

σ

σ

=

=

=

t

Δ

.

ln

:

l

d

d

l

l

l

l

t

=

=

Δ

=

Δ

&

&

&

ε

ε

„

Искомая

 

зависимость

        

принимает

 

следующий

 

вид

„

При

 

некоторой

 

достаточно

 

большой

 

длине

 

стержня

 

происходит

 

его

 

разрушение

Считая длину в момент разрушения бесконечной по этой формуле можно

dt

l

l

)

(

t

l

n

n

nB

l

l

.

1

0

0

σ

=

Считая

 

длину

 

в

 

момент

 

разрушения

 

бесконечной

по

 

этой

 

формуле

 

можно

 

определить

 

долговечность

 

и

 

предел

 

длительной

 

прочности

 –

начальное

 

напряжение

под

 

действием

 

которого

 

стержень

 

сохраняет

 

ресурс

 

заданное

 

время

 :

n

n

nBt

B

t

.

1

,

1

0

0

=

=

σ

n

nBt

nB

0

σ


background image

Задача

 

ползучести

 

вращающегося

 

диска

„

Требуется

 

определить

 

напряженное

 

и

 

деформированное

 

состояние

 

диска

 

радиуса

     

переменной

 

толщины

       , 

вращающегося

 

длительное

 

время

 

с

 

постоянной

 

угловой

 

скоростью

    . 

Упругой

 

деформацией

 

диска

 

можно

 

пренебречь

.

a

)

(

r

h

ω

у

„

Решение

 

задачи

„

Запишем

 

уравнение

 

движения

 

диска

 

в

 

проекции

 

на

 

радиальную

 

ось

      

с

 

учетом

 

центробежной

 

силы

 

инерции

играющей

 

в

 

данном

 

случае

 

роль

 

массовой

 

силы

:

Задача о

r

(

)

2

2

d

Задача

 

о

 

вращающемся

 

диске

 

„

Здесь

       

и

       –

отличные

 

от

 

нуля

 

радиальное

 

и

 

окружное

 

напряжения

„

Уравнения

 

совместности

 

имеют

 

вид

(

)

.

0

2

2

=

+

r

h

h

rh

dr

d

r

ω

ρ

σ

σ

ϕ

r

σ

ϕ

σ

„

Для

 

замыкания

 

к

 

системе

 

уравнений

 

необходимо

 

добавить

 

определяющие

 

уравнения

.

0

=

+

r

dr

d

r

ε

ε

ε

ϕ

ϕ

&

&

&

(

)

(

)

2

2

1

1

n

n

B

B

&

&

„

причем

          

„

Полученная

 

замкнутая

 

система

 

четырех

 

уравнений

 

с

 

четырьмя

 

неизвестными

 

функциями

 

решается

 

с

 

учетом

 

граничного

 

условия

            

на

 

внешнем

 

контуре

           

и

 

условия

 

ограниченности радиального напряжения в центре диска

После этого еще одна

(

)

(

)

,

2

,

2

1

1

r

n

i

r

n

i

r

B

B

σ

σ

σ

ε

σ

σ

σ

ε

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

2

2

ϕ

ϕ

σ

σ

σ

σ

σ

+

=

r

r

i

0

=

r

σ

a

r

=

0

=

r

ограниченности

 

радиального

 

напряжения

 

в

 

центре

 

диска

          . 

После

 

этого

 

еще

 

одна

 

отличная

 

от

 

нуля

 

компонента

 

тензора

 

скоростей

 

деформации

               

по

 

оси

  

может

 

быть

 

найдена

 

как

                    .

„

При

 

произвольной

 

заданной

 

зависимости

         

решение

 

задачи

 

строится

 

численно

 

с

 

привлечением

 

методов

 

решения

 

краевых

 

задач

 

для

 

систем

 

обыкновенных

 

фф

й

0

=

r

h

h

z

&

&

=

ε

ϕ

ε

ε

ε

&

&

&

=

r

z

)

(

r

h

дифференциальных

 

уравнений


background image

Задача

 

течения

 

вязкопластической

 

среды

 

в

 

трубе

„

Требуется

 

определить

 

распределение

 

скорости

 

при

 

установившемся течении вязкопластической среды за счет

установившемся

 

течении

 

вязкопластической

 

среды

 

за

 

счет

 

собственного

 

веса

 

в

 

вертикальной

 

трубе

 

радиуса

     . 

Заданы

 

плотность

 

среды

     , 

предел

 

текучести

      

и

 

вязкость

    . 

На

 

стенках

 

трубы

 

выполняется

 

условие

 

полного

 

прилипания

.

„

Пусть

     

и

     –

радиальная

 

и

 

осевая

 

координаты

 

точки

В

 

этой

 

a

ρ

s

τ

η

r

z

задаче

 

отлично

 

от

 

нуля

 

касательное

 

напряжение

            , 

остальные

 

компоненты

 

тензора

 

напряжений

 

в

 

цилиндрической

 

системе

 

координат

 

тождественно

 

равны

 

нулю

Выполняется

 

дифференциальное

 

уравнение

 

равновесия

 

в

 

проекции

 

на

 

ось

    , 

в

 

которое

 

входит

 

ускорение

 

свободного

 

падения

     :

Течение

 

в

 

трубе

τ

τ

=

rz

g

z

„

Отсюда

с

 

учетом

 

ограниченности

 

касательного

 

напряжения

 

при

          

следует

что

 

оно

 

линейно

 

зависит

 

от

 

радиуса

:                      

Если

то напряжение всюду не превосходит предела текучести и так как на

.

0

)

(

1

=

g

dr

r

d

r

ρ

τ

0

=

r

.

2

gr

ρ

τ

=

)

(

2

g

c

a

ρ

τ

„

Если

                           , 

то

 

напряжение

 

всюду

 

не

 

превосходит

 

предела

 

текучести

и

 

так

 

как

 

на

 

стенках

 

трубы

 

выполняется

 

условие

 

прилипания

среда

 

не

 

движется

При

           

вблизи

 

оси

 

трубы

 

возникает

 

застойная

 

зона

движущаяся

 

как

 

жесткое

 

целое

Радиус

 

этой

 

зоны

 

равен

    

„

Вертикальная

 

скорость

             

в

 

области

 

течения

  

находится

 

из

 

определяющего

 

уравнения

 

)

(

2

g

c

a

s

ρ

τ

c

a

>

c

v

v

z

=

d

d

&

для

 

скорости

 

сдвига

                 :

„

Такое

 

распределение

 

скорости

 

реализуется

 

только

 

в

 

области

 

течения

         . 

В

 

застойной

 

зоне

 

скорость

 

постоянна

 

и

 

равна

dr

dv

rz

=

γ

&

.

)

(

4

)

(

2

2

η

τ

η

ρ

a

r

a

r

g

v

s

=

c

r

>

.

)

(

4

)

(

)

(

2

2

τ

ρ

a

c

a

c

g

c

v

s

=

4

)

(

η

η


background image

Задача

 

течения

 

в

 

вискозиметре

 

Шведова

р

„

Требуется

 

описать

 

вращательное

 

движение

 

невесомой

 

вязкопластической

 

среды

 

между

 

двумя

 

коаксиальными

 

цилиндрами

 

радиуса

     

и

 

радиуса

         , 

считая

что

 

внутренний

 

цилиндр

 

неподвижен а внешний вращается вокруг своей оси с постоянной

a

a

b

>

неподвижен

а

 

внешний

 

вращается

 

вокруг

 

своей

 

оси

 

с

 

постоянной

 

угловой

 

скоростью

     , 

если

 

на

 

стенках

 

цилиндров

 

выполняется

 

условие

 

прилипания

„

При

 

вращательном

 

движении

 

отлично

 

от

 

нуля

 

касательное

 

напряжение

           , 

которое

 

удовлетворяет

 

дифференциальному

 

уравнению равновесия в проекции на радиальную ось

ω

τ

τ

ϕ

=

r

уравнению

 

равновесия

 

в

 

проекции

 

на

 

радиальную

 

ось

 

цилиндрической

 

системы

 

координат

:

„

Вблизи

 

внешнего

 

цилиндра

 

может

 

образоваться

 

застойная

 

зона

в

 

которой

 

напряжение

 

не

 

достигает

 

предела

 

текучести

и

 

среда

 

не

 

Вращательное

 

движение

 

.

0

2

=

+

r

dr

d

τ

τ

р

р

д

р д

у

,

р д

деформируется

„

Напряжение

 

записывается

 

в

 

виде

                 

Здесь

     -

касательное

 

напряжение

 

на

 

внутреннем

 

цилиндре

 

„

Решение

 

задачи

 

.

r

a

2

2

0

τ

τ

=

0

τ

.

ln

1

1

2

)

(

2

2

2

0

a

b

b

a

a

b

b

v

s

η

τ

η

τ

ω

=

=

построено

 

полностью

Оно

 

получено

 

в

 

параметрической

 

форме

Задавая

 

величину

      

в

 

пределах

 

от

       

до

              , 

получаем

 

распределение

 

касательного

 

напряжения

 

и

 

скорости

 

в

 

области

               . 

2

a

b

a

b

η

η

0

τ

s

τ

2

2

a

b

s

τ

c

r

a


background image

5. 

Введение

 

в

 

механику

 

разрушений