ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 237
Скачиваний: 3
Кафедра математического и прикладного анализа, Тимошенко Ю.К.
5
Таблица 1. Арифметические операторы.
+
оператор сложения
−
оператор вычитания или изменения знака
∗
оператор умножения
/
оператор деления
∧
или
∗∗
оператор возведения в степень
Действительные числа по умолчанию восьмибайтовые (имеют 16 значащих цифр).
Запись
3
.
1
e
−
3
означает
3
.
1
×
10
−
3
. Можно использовать как заглавную букву «E»,
так и строчную «e». Будем называть в этом пособии вещественные числа с фикси-
рованной и плавающей точкой в описанном выше виде вещественными константами
обычной
точности. Заметим, что вещественные данные обычной точности в языках
Fortran и C/C++ (ОС Windows) четырехбайтовые (7 значащих цифр). Необходимо
принимать во внимание, что запись константы с фиксированной точкой в виде
12
.
,
допустимая в некоторых языках программирования, в СКМ MAXIMA некорректна
– после десятичной точки необходимо явно прописать дробную часть. Однако для
для вещественных чисел с плавающей точкой это несущественно. Пример:
(%i2)
[2e0, 2.E0, 2., 2.0];
(%o2)
[2
.
0
,
2
.
0
,
2
,
2
.
0]
Здесь квадратные скобки обозначают объект, называемый «список» (о списках см.
далее). Из приведенного примера видно, в частности, что
2
.
отображается в output-
скобке как
2
.
Числовые константы с фиксированной точкой могут быть преобразованы к виду
с плавающей точкой с помощью функций float и numer:
(%i3)
1/5 + 3/11, float;
(%o3)
0
.
47272727272727
(%i4)
1/5 + 3/11, numer;
(%o4)
0
.
47272727272727
СКМ MAXIMA дает возможность проводить вычисления с повышенной точно-
стью. Количество разрядов задается через системную переменную fpprec. По умол-
чанию она содержит
16
, то есть, вещественные числа имеют шестнадцать разрядов.
Кафедра математического и прикладного анализа, Тимошенко Ю.К.
6
Об изменении разрядности вещественных чисел см. [1].
Естественно, приведенной здесь информации совершенно недостаточно для по-
нимания и выполнения заданий из последующих параграфов. В будущем эта часть
пособия будет существенно расширена. А сейчас . . . нужно изучать литературу по
MAXIMA [1–4] и использовать справочную систему этой СКМ.
Кафедра математического и прикладного анализа, Тимошенко Ю.К.
7
2.
Последовательности. Пределы последовательностей. Функ-
ции одной переменной: пределы, графики, производные, экс-
тремумы, ряд Тейлора.
2.1.
Примеры суммирования последовательностей
Задание 1.
Найти в аналитическом виде сумму из
n
членов последовательно-
сти нечетных чисел, начиная от 1.
Вариант решения.
(%i1)
(%i1) /* сумма n нечетных чисел, начиная от 1 */
kill(all)$
sum(2*i-1,i,1,n);
ev(sum(2*i-1,i,1,n),simpsum);
(%o1)
n
X
i
=1
2
i
−
1
(%o2)
n
2
Задание 2.
Найти в аналитическом виде сумму членов бесконечной последова-
тельности
1
3
+
1
3
2
+
1
3
3
+
1
3
4
+
. . .
(1)
Вариант решения.
(%i6)
kill(all)$
sum (1/3^i, i, 1, inf);
sum (1/3^i, i, 1, inf), simpsum;
(%o1)
∞
X
i
=1
1
3
i
(%o2)
1
2
2.2.
Примеры вычисления пределов последовательностей
Задание 3.
Найти предел последовательности
1 +
1
n
n
,
(
n
= 1
,
2
,
3
, . . .
)
(2)
Кафедра математического и прикладного анализа, Тимошенко Ю.К.
8
Вариант решения.
(%i3)
/*
предел последовательности
*/
kill(all)$
limit((1+1/n)^n,n,inf);
(%o1)
%
e
Задание 4.
Показать, что
lim
n
→∞
n
n
√
n
!
=
e.
(3)
Вариант решения.
(%i2)
/*
предел последовательности
*/
kill(all)$
limit(n/(n!)^(1/n),n,inf);
(%o1)
%
e
2.3.
Функции: простые преобразования
Задание 5.
Найти
f
[
f
(
x
)]
, f
[
f
(
f
(
x
))]
, если
f
(
x
) = 1
/
(1
−
x
)
(см. [5], задача
#209).
Вариант решения.
(%i7)
kill(all)$
f(x):=1/(1-x)$
print("f(x)=",f(x))$
res2:f(f(x)),ratsimp$
print("f(f(x))=",res2)$
res3:f(f(f(x))),ratsimp$
print("f(f(f(x)))=",res3)$
f
(
x
) =
1
1
−
x
f
(
f
(
x
)) =
x
−
1
x
f
(
f
(
f
(
x
))) =
x
Задание 6.
Пусть
f
n
(
x
) =
f
[
f
(
. . . f
(
x
))]
|
{z
}
n
раз
. Найти
f
n
(
x
)
, если
f
(
x
) =
x/
√
1 +
x
2
(см. [5], задача #210).
Кафедра математического и прикладного анализа, Тимошенко Ю.К.
9
Вариант решения.
(%i5)
kill(all)$
f(x):=x/sqrt(1+x^2);
nmax:5$
xx1:x$
flist:[]$
for n:1 thru nmax step 1 do
(
xx2:ev(f(xx1),ratsimp),
flist:append(flist,[xx2]),
xx1:xx2
)$
flist;
(%o1)
f (
x
) :=
x
√
1 +
x
2
(%o6)
[
x
√
x
2
+ 1
,
x
√
2
x
2
+ 1
,
x
√
3
x
2
+ 1
,
x
√
4
x
2
+ 1
,
x
√
5
x
2
+ 1
]
Ответ:
f
n
(
x
) =
x/
√
1 +
nx
2
.
2.4.
Примеры вычисления пределов функций
Задание 7.
Найти предел функции
lim
x
→
0
ln(1 + sin(4
x
))
e
sin(5
x
)
−
1
.
(4)
Вариант решения.
(%i6)
/*
Предел функции
*/
kill(x)$
res:limit(log(1+sin(4*x))/(exp(sin(5*x))-1),x,0)$
print("result =",res)$
result
=
4
5
Задание 8.
Определить, имеет ли функция
|
2
x
−
3
|
/
(2
x
−
3)
скачок при
x
= 3
/
2
.
Если имеет, то чему он равен.
Вариант решения.