Файл: Mech_sol(Volchkov).pdf

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Механика деформируемого твердого тела.

(теория пластичности)

материалы к лекциям для студентов 4-го курса ММФ (2-й поток)

лектор: профессор Ю.М. Волчков

НОВОСИБИРСК

2009

2

В предлагаемом варианте электронного пособия содержится часть матери-

ала, который излагался на лекциях в 7-м семестре для студентов 2-го потока
четвертого курса ММФ.

Программа курса "Теория пластичности"(4-й курс, 7-й семестр,

2-й поток, 2009 г.)

1. Тензор деформаций. Инварианты тензора деформаций. Интенсивность де-

формаций сдвига. Уравнения совместности деформаций. Тензор скоростей де-
формаций. Инварианты тензора скоростей деформаций. Интенсивность скоро-
стей деформаций сдвига ([1], гл. 1., или [2], §§ 7.2-7.3, или [3], гл. 1).

2. Тензор напряжений. Инварианты тензора напряжений. Девиатор напря-

жений. Интенсивность касательных напряжений. Диаграмма Мора. Уравнения
равновесия. ([1], гл. 1., или [2], §§ 7.4-7.7, или [3], гл. 2).

3. Поверхность текучести. Условие постоянства максимального касательно-

го напряжения (условие текучести Треска - Сен-Венана). Условие постоянства
интенсивности касательных напряжений (условие текучести Мизеса) ([1], гл. 2,
§§ 6-10).

4. Поверхность нагружения. Догружение, разгрузка ([1], гл. 2, § 11).
5. Теория пластического течения. Основные гипотезы. Уравнения Прандтля

- Рейса. Уравнения Сен-Венана - Мизеса ([1], гл. 2, § 13).

6. Понятие о предельной нагрузке. Поверхность текучести и предельная на-

грузка системы из трех стержней. ([2], §§ 5.6-5.8).

7. Жесткопластическое тело. Ассоциированный закон текучести. Принцип

максимума и постулат Друкера в теории идеальной пластичности. Постановка
задач теории идеальной пластичности ([2], гл. 15, §§ 15.1–15.4).

8. Теорема о единственности распределения напряжений в пластических об-

ластях. Кинематически возможное поле скоростей и статически допустимое на-
пряженное состояние. Экстремальные свойства предельных состояний текуче-
сти([2], §§ 15.4-15.5).

9. Задача о плоской деформации жесткопластического тела. Основная си-

стема уравнений (уравнения для напряжений и скоростей деформаций). Линии
скольжения и их основные свойства. Простые напряженные состояния. Гра-
ничные условия для напряжений. Основные краевые задачи. Определение поля
скоростей. Поля скоростей для простых напряженных состояний ([1], гл. 5, §§
31, 32, 35, 36, 38, 39 , или [2], §§ 15.1-15.10 ).

10. Задача о вдавливании плоского штампа. Решение Прандтля, решение

3

Хилла ([1], гл. 5, §§ 45, или [2], § 15.10 ).

11. Кручение призматических стержней. Гипотезы Сен-Венана. Основные

уравнения задачи о кручении призматических стержней. Функция напряже-
ний. Уравнения упругого и пластического течения. Вычисление предельного
момента ([1], гл. 4, §§ 27, 28).

При чтении лекций использована следующая

Литература

.

1. Л. М. Качанов. Основы теории пластичности. М. Изд-во "Наука". 1969.
2. Ю. Н. Работнов. Механика деформируемого твердого тела. М. Изд-во "На-

ука". 1988.

3. В. В. Новожилов. Теория упругости. Судпромгиз. 1958.
4. Дж. Мейз. Теория и задачи механики сплошных сред. М. Изд-во ЛКИ.

2007.

4

Глава 1

Основные уравнения теории упругости

1.1

Деформация среды

1.1.1

Лагранжев и эйлеров способы описания сплошной среды

Деформация (лат. deformatio искажение) — изменение формы и размеров ма-
териального тела или его части. Обычно в механике сплошной среды, когда
говорят о деформации, имеется в виду деформация бесконечно малой окрест-
ности материальной точки.

Движение частиц, принадлежащих некоторому объёму материального тела

и имевших в начальный момент времени

t

= 0

координаты

X

i

, можно описать

с помощью уравнений

x

i

=

x

i

(

X

1

, X

2

, X

3

, t

)

,

или

x

=

x

(

X

, t

)

,

(1.1)

где

x

i

— координаты тех же материальных частиц в момент времени

t

. Будем

считать, что начальная и конечная конфигурации отнесены к одной и той же
декартовой системе координат с базисом

(

i

1

,

i

2

,

i

3

)

. Предполагается, что соот-

ветствие (1.1) взаимно однозначно и непрерывно с непрерывными частными
производными любого порядка, который нам потребуется.

Способ описания движения материальной среды (1.1) называется

лагранже-

вым

.

Разрешая уравнения (1.1) относительно

X

i

, получим

X

i

=

X

i

(

x

1

, x

2

, x

3

, t

)

,

или

X

=

X

(

x

, t

)

.

(1.2)

Способ описания движения материальной среды (1.2), в котором независимыми

5