ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 379
Скачиваний: 1
16
20.
Найти
работу
поля
j
x
i
xy
F
G
G
2
2
+
=
вдоль
кривой
AB
L
=
(
наименьшая
дуга
окружности
1
2
2
=
+
y
x
от
точки
)
0
,
1
(
=
A
до
точки
)
1
,
0
(
=
B
).
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
y
i
x
F
G
G
G
2
2
2
+
+
=
в
направлении
внешней
нормали
через
нижнюю
полусферу
1
:
2
2
2
=
+
+
z
y
x
S
,
0
≤
z
.
Вариант
№
9
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
перейти
к
полярным
коор
-
динатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
,
где
(
)
{
}
1
1
,
1
:
)
,
(
2
2
2
2
≤
−
+
≤
+
=
y
x
y
x
y
x
D
.
2.
Вычислить
∫ ∫
+
+
1
0
1
0
2
/
3
2
2
)
1
(
y
x
xdy
dx
.
3.
Переходя
к
полярным
координатам
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
),
вычис
-
лить
площадь
области
,
ограниченной
кривой
2
2
2
3
2
2
4
)
(
y
x
a
y
x
=
+
.
4.
Найти
объем
тела
2
4
0
x
z
−
≤
≤
,
0
2
2
≥
−
y
x
,
0
≥
x
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
2
2
R
z
y
x
=
+
+
,
если
R
y
x
≤
+
,
0
≥
x
,
0
≥
y
.
6.
Записать
интеграл
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
одного
из
повторных
в
ци
-
линдрической
системе
координат
,
если
{
2
2
2
( , , ) : 4
3
48,
D
x y z
x
y
z
=
+
+
≤
}
2
2
3
4
2
0
y
x
z
+
≤
≤
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
}
2
2
2
( , , ) :
16
4
D
x y z
x
y
y
z
=
+
≤
≤ ≤
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
2
2
4
2
2
)
(
z
z
y
x
=
+
+
.
9.
Найти
статический
момент
относительно
плоскости
XY
однородного
тела
плотностью
ρ
,
ограниченного
плоскостями
,
1
=
+
+
z
y
x
,
0
=
x
,
0
=
y
0
=
z
.
10.
Найти
статический
момент
однородного
прямоугольника
плотности
ρ
со
сторонами
a
и
b
относительно
его
сторон
.
11.
Найти
момент
инерции
части
однородной
верхней
полусферы
2
2
2
2
a
z
y
x
=
+
+
,
0
≥
z
плотности
ρ
,
лежащей
внутри
цилиндра
2
2
,
x
y
ax
+
=
относительно
плоскости
YZ
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
xyz
S
∫∫
,
где
S
–
часть
конуса
2
2
z
xy
=
,
0
≥
z
,
лежащая
внутри
цилиндра
2
2
2
a
y
x
=
+
.
17
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
:
)
,
(
y
x
L
=
cos ,
x
a
t
=
sin ,
y
a
t
=
}
0
t
β
≤ ≤
(0
2 )
β
π
< <
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
+
L
ds
y
x
)
(
,
{
:
)
,
(
y
x
L
=
}
}
cos ,
sin , 0 t
.
2
x
a
t y
a
t
π
=
=
≤ ≤
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
−
L
dx
xy
dy
y
2
3
2
,
где
L
–
часть
кривой
3
2
2
2
3
=
+
+
y
x
x
от
точки
A
= (–1,
2
)
до
точки
B
= (1,0).
16.
Пользуясь
формулой
Стокса
,
вычислить
∫
+
−
+
−
+
−
L
dz
x
x
y
dy
z
x
dx
y
z
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
,
где
L
–
эллипс
x
y
x
8
2
2
=
+
,
0
=
+
+
z
y
x
,
положительно
ориентированный
на
верхней
стороне
плоскости
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
+
+
S
dxdy
z
dzdx
y
x
dydz
y
x
2
2
2
2
,
где
S
–
правая
сторона
части
по
-
верхности
тела
2
2
2
z
y
x
≤
+
,
z
y
x
−
≤
+
2
2
2
,
0
≥
z
(
0
≥
x
).
18.
Найти
rot F
JJG
,
если
k
y
x
j
x
z
i
z
y
F
+
+
=
,
k
j
i
,
,
–
единичные
орты
.
19.
Пусть
u
–
скалярное
поле
.
Доказать
,
что
divgrad u
u
=
+
,
где
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Δ
.
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
k
z
j
z
x
y
i
x
F
G
G
G
4
)
(
)
1
3
(
+
+
−
+
−
=
вдоль
контура
L
,
где
L
–
контур
треугольника
,
ABCA
,
C
B
A
,
,
–
точ
-
ки
пересечения
плоскости
0
2
2
2
=
+
−
−
z
y
x
соответственно
с
осями
координат
OZ
OY
OX
,
,
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
x
j
z
i
y
F
G
G
G
+
+
=
в
направлении
внешней
нормали
через
поверхность
S
пирамиды
a
z
y
x
≤
+
+
,
,
0
≥
x
,
0
≥
y
0
≥
z
.
Вариант
№
10
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
перейти
к
полярным
коор
-
динатам
r
и
ϕ
,
полагая
ϕ
cos
r
x
=
,
ϕ
sin
r
y
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
,
где
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≥
−
≤
−
≤
+
≤
=
0
2
1
,
0
,
4
1
:
)
,
(
2
2
x
y
x
y
y
x
y
x
D
.
2.
Вычислить
∫ ∫
+
2
0
1
0
2
2
1
y
dy
x
dx
.
18
3.
Переходя
к
полярным
координатам
cos
x
r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
),
вычис
-
лить
площадь
области
,
ограниченной
кривой
)
(
)
(
4
4
2
3
2
2
y
x
a
y
x
+
=
+
.
4.
Найти
объем
тела
2
2
0
y
x
z
−
≤
≤
,
1
2
≤
+
y
x
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
2
2
,
x
y
z
R
+
+
=
если
α
2
2
2
2
tg
z
y
x
≤
+
,
0
≥
z
.
6.
Записать
интеграл
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
одного
из
повторных
в
цилиндрической
системе
координат
,
если
{
2
2
( , , ) :
2 ,
D
x y z
x
y
ax
=
+
≤
}
0
,
2
2
2
≥
−
≤
+
z
az
a
y
x
.
7.
Выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сферическую
),
записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
инте
-
грала
,
если
{
0
,
1
2
:
)
,
,
(
≥
≤
−
=
x
y
x
z
y
x
D
}
2
2
0
y
x
z
−
≤
≤
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностями
ay
z
y
x
=
+
+
2
)
(
,
0
=
x
,
0
=
y
,
0
=
z
, (
0
,
0
>
>
z
x
).
9.
Найти
момент
инерции
относительно
осей
координат
тела
плотно
-
стью
ρ
,
ограниченного
поверхностями
a
x
x
=
=
,
0
,
b
y
y
=
=
,
0
,
c
z
z
=
=
,
0
.
10.
Найти
статический
момент
однородной
пластины
плотности
ρ
,
зани
-
мающей
область
,
ограниченную
одной
аркой
циклоиды
(
sin )
x a t
t
=
−
,
(1 cos )
y
a
t
=
−
и
отрезком
прямой
0
=
y
относительно
оси
OX
.
11.
Найти
момент
инерции
относительно
плоскости
XY
части
однород
-
ного
конуса
2
2
2
2
x
y
z tg
α
+
=
,
2
2
2
R
y
x
≤
+
)
2
/
0
(
π
α
<
<
,
массой
М
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
z
y
a
S
2
2
2
+
+
∫∫
,
где
S
–
часть
параболоида
yz
ax
=
,
лежащая
внутри
цилиндра
yz
b
z
y
2
2
2
2
2
)
(
=
+
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
:
)
,
(
y
x
L
=
:
3
2
3
2
2
2
3
a
y
x
=
+
,
,
0
≥
x
}
0
≥
y
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
−
L
ds
y
x
)
4
(
2
2
,
{
:
)
,
(
y
x
L
=
}
sin
,
cos
3
3
t
a
y
t
a
x
=
=
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
(
)
cos
,
L
y
dx x
ydy
π
+
+
∫
где
L
–
часть
кривой
ln
sin
0
x y
y
π
− +
=
от
точки
A
= (1,0)
до
точки
)
,
(
π
e
B
=
.
16.
Пользуясь
формулой
Стокса
вычислить
∫
+
+
+
+
+
L
dz
xz
y
dy
x
yz
dx
z
xy
)
(
)
(
)
(
,
где
L
–
окружность
,
положительно
ориентированная
на
верхней
сто
-
роне
плоскости
0
=
+
+
z
y
x
,
2
2
2
2
a
z
y
x
=
+
+
.
19
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
S
xzdxdy
yzdzdx
xydydz
,
где
S
–
часть
внешней
стороны
конуса
2
2
z
y
x
=
+
,
H
z
≤
≤
0
.
18.
Найти
rot F
JJG
,
если
r
F
=
,
где
)
,
,
(
z
y
x
r
=
.
19.
Пусть
u
–
скалярное
поле
.
Доказать
,
что
0.
rot grad u
=
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
k
z
y
j
z
x
i
y
x
F
G
G
G
)
(
)
(
)
(
+
+
−
+
+
=
вдоль
контура
L
,
где
L
–
контур
треугольника
MNPM
,
),
0
,
0
,
0
(
=
M
),
0
,
1
,
0
(
=
N
)
1
,
0
,
0
(
=
P
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
y
F
G
G
+
=
2
в
направлении
внешней
нормали
через
часть
параболоида
z
y
x
S
=
+
2
2
:
,
2
≤
z
.
Вариант
№
11
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
перейти
к
полярным
коор
-
динатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
,
где
{
}
1
0
,
1
0
,
1
:
)
,
(
2
2
≤
≤
≤
≤
≥
+
=
y
x
y
x
y
x
D
.
2.
Вычислить
∫ ∫
+
4
3
2
1
2
)
(
y
x
dy
dx
.
3.
Вычислить
площадь
области
,
ограниченной
кривой
3
2
2
2
2
)
(
ax
y
x
=
+
,
переходя
к
полярным
координатам
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
).
4.
Найти
объем
тела
2
2
2
2
y
x
a
az
y
x
+
≤
≤
+
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
2
2
,
x
y
z
R
+
+
=
если
(
)
)
(
2
2
2
2
2
2
x
y
R
y
x
−
≤
+
.
6.
Записать
интеграл
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
одного
из
повторных
в
цилиндрической
системе
координат
,
если
{
2
2
2
2
( , , ) : ( - )
,
D
x y z
x R
y
z
R
=
+
+
≤
}
2
2
2
2
)
(
x
R
z
R
y
≤
+
−
+
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
,
a
:
)
,
,
(
2
2
2
2
b
y
x
z
y
x
D
≤
+
≤
=
}
0
,
0
2
2
2
≥
≥
−
−
x
z
y
x
.
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
zxy
a
z
y
x
3
2
6
3
2
2
)
)
((
=
+
+
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
осей
координат
тела
плотно
-
стью
ρ
,
ограниченного
поверхностями
x
y
x
y
2
,
=
=
,
4
,
0
=
+
=
x
z
z
.
20
10.
Найти
статический
момент
однородной
пластины
плотности
ρ
,
за
-
нимающей
область
,
ограниченную
линиями
2
x
y
=
и
2
1
2
x
y
+
=
отно
-
сительно
оси
OX
.
11.
Найти
момент
инерции
однородной
поверхности
(
cos )cos
x
b a
ψ
ϕ
= +
,
(
cos )sin
x
b a
ψ
ϕ
= +
,
sin
z
a
ψ
=
)
(
a
b
>
плотности
ρ
относительно
оси
OX
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
z
y
x
S
)
(
2
2
2
+
+
∫∫
,
где
S
–
по
-
верхность
,
полученная
вращением
кардиоиды
(1 cos )
r
a
ϕ
=
+
отно
-
сительно
полярной
оси
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
:
)
,
(
y
x
L
=
2
2
2
3
3
2
3
:
x
y
a
+
=
,
}
0
≥
y
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
L
xyds
4
,
{
:
)
,
(
y
x
L
=
(
)
}
2
2
2
min
, 2
, 0
y
x a
a
x
x
=
−
≥
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
−
L
xydx
dy
x
2
,
где
L
–
часть
кривой
y
x
y
x
2
4
4
6
=
−
от
точки
A
= (–4
2
,4)
до
точки
B
= (0,0).
16.
Пользуясь
формулой
Стокса
,
вычислить
∫
+
+
+
+
+
L
dz
z
x
dy
z
y
dx
y
x
)
(
)
(
)
(
2
2
2
,
где
L
–
эллипс
4
2
2
=
+
y
x
,
2
=
+
z
x
,
положительно
ориентированный
на
верхней
стороне
плоскости
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
+
+
+
S
dxdy
y
zx
dzdx
x
yz
dydz
z
xy
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
,
где
S
–
внешняя
сторона
верхней
полусферы
2
2
2
a
z
y
x
=
+
+
, (
0
≥
z
).
18.
Найти
rot F
JG
,
если
)
(
r
f
c
F
G
=
,
где
)
,
,
(
z
y
x
r
=
G
,
| |
r
r
=
G
,
)
(
u
f
–
непрерывно
дифференцируемая
функция
,
c
G
–
постоянный
вектор
.
19.
Доказать
,
что
(
)
rot F
rot F rot
Φ
Φ
+
=
+
G
G
G
G
.
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
k
y
x
j
z
x
i
z
y
x
F
G
G
G
)
(
)
2
(
)
2
3
(
−
+
+
+
+
+
=
вдоль
контура
L
,
где
L
–
контур
треугольника
MNPM
,
),
0
,
0
,
2
(
=
M
),
0
,
3
,
0
(
=
N
)
1
,
0
,
0
(
=
P
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
y
i
x
F
G
G
G
2
2
2
+
−
=
через
поверхность
тела
2
2
2
2
3
R
z
y
x
≤
+
+
,
2
2
2
0
R
y
x
z
−
+
≤
≤
в
направлении
внешней
нормали
.