ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 380
Скачиваний: 1
26
Вариант
№
15
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
,
где
D
–
область
,
лежащая
вне
окружности
1
2
2
=
+
y
x
и
вне
кривой
cos 3
r
ϕ
=
,
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
,
и
записать
инте
-
грал
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Переходя
к
полярным
координатам
,
вычислить
интеграл
∫∫
+
D
dxdy
y
x
2
2
,
где
{
}
ay
y
x
y
x
D
≤
+
=
2
2
:
)
,
(
.
3.
Вычислить
площадь
области
,
ограниченной
кривыми
k
y
h
x
b
y
a
x
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
3
,
0
=
y
,
переходя
к
полярным
координатам
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
(
или
обобщенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
).
4.
Найти
объем
тела
x
z
≤
≤
0
,
ax
y
x
2
2
2
≤
+
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
2
2
,
x
y
z
a
+
+
=
если
2
2
2
2
4
y
b
x
a
x
−
≤
,
b
a
<
.
6.
Расставить
всеми
возможными
способами
пределы
интегрирования
в
сферической
системе
координат
в
интеграле
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
,
если
{
,
x
:
)
,
,
(
2
2
2
R
y
z
y
x
D
≤
+
=
}
)
(
,
0
R
H
H
z
≥
≤
≤
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
если
{
,
)
4(
:
)
,
,
(
2
2
2
z
y
x
z
y
x
D
≤
+
=
}
}
2
2
0
1
,
z
x
y
≤ ≤ +
+
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сферическую
).
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
(
)
2
2
2
2
6
2
2
2
2
sin
)
(
z
y
x
z
a
z
y
x
+
+
=
+
+
π
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
оси
О
Z
тела
плотностью
ρ
,
ограниченного
поверхностями
2
2
2
=
+
y
x
,
2
=
+
+
z
y
x
,
0
=
z
)
0
(
>
z
.
10.
Вычислить
момент
инерции
однородной
пластины
массой
М
,
огра
-
ниченной
кривой
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
,
относительно
большой
и
малой
осей
.
11.
Найти
массу
части
конуса
2
2
2
z
y
x
=
+
,
4
0
≤
≤
z
,
если
плотность
в
каждой
точке
равна
квадрату
расстояния
до
вершины
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
2
2
2
z
y
dS
S
−
−
∫∫
,
где
S
–
поверх
-
ность
,
полученная
вращением
линии
{
}
( , ) :
sin , 0
L
x y
y
x
x
π
=
=
≤ ≤
во
-
круг
оси
OX
.
27
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
:
)
,
(
y
x
L
=
2
1
1
:
ln ,
4
2
y
y
y
=
−
}
2
1
≤
≤
y
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
L
xds
,
где
L
–
верхняя
половина
кривой
π
ϕ
ϕ
≤
≤
+
=
0
,
cos
1
r
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
−
+
L
dz
x
axdy
xzdx
2
,
где
L
–
часть
кривой
xy
az
a
z
y
x
=
=
+
+
,
0
,
0
≥
≥
y
x
от
точки
A
= (0,
a
,0)
до
точки
B
= (
a
,0,0).
16.
Пользуясь
формулой
Грина
,
вычислить
(
замыкая
,
если
нужно
,
кри
-
вую
отрезком
прямой
)
2
2
(
cos
)
(
sin
)
x
x
L
e
y y dx
e
y x dy
−
−
−
+
−
∫
.
L
–
правая
)
(
a
x
≥
полуокружность
ax
y
x
2
2
2
=
+
от
точки
)
,
(
a
a
A
=
до
точки
)
,
(
a
a
B
−
=
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
S
zdxdy
ydzdx
xdydz
,
где
S
–
внутренняя
сторона
эллипсоида
1
/
/
/
2
2
2
2
2
2
=
+
+
c
z
b
y
a
x
.
18.
Найти
div F
JG
,
если
r
F
=
,
где
)
,
,
(
z
y
x
r
=
.
19.
Найти
( ( ) )
div f r r
G
где
)
,
,
(
|,
|
z
y
x
r
r
r
=
=
G
G
,
)
(
r
f
–
непрерывно
диффе
-
ренцируемая
функция
.
Выяснить
,
когда
( ( ) ) 0
div f r r
=
G
.
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
k
z
j
x
i
x
F
G
G
G
+
+
=
вдоль
контура
:
)
,
,
{(
z
y
x
L
=
}
0
,
2
2
2
2
=
+
+
=
+
+
z
y
x
a
z
y
x
,
положительно
ориентиро
-
ванного
на
верхней
стороне
плоскости
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
y
j
y
x
i
x
y
F
G
G
G
+
+
+
−
=
)
(
)
(
в
направле
-
нии
нормали
верхней
стороны
треугольника
АВС
,
где
A
= (1,0,0),
В
= (0,1,0),
С
= (0,0,1).
Вариант
№
16
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
,
где
(
)
{
}
1
,
1
1
:
)
,
(
2
2
2
2
≥
+
≤
+
−
=
y
x
y
x
y
x
D
перейти
к
полярным
координа
-
там
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Переходя
к
полярным
координатам
,
вычислить
интеграл
∫∫
−
D
dxdy
x
R
y
2
2
2
,
где
{
}
2
2
2
:
)
,
(
R
y
x
y
x
D
≤
+
=
.
3.
Переходя
к
полярным
координатам
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
),
вычис
-
28
лить
площадь
области
,
ограниченной
кривыми
3
3
3
3
5
k
y
h
x
b
y
a
x
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
,
0
=
y
.
4.
Найти
объем
тела
2
2
2
h
hz
y
x
≤
≤
+
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
2
2
,
x
y
z
a
+
+
=
если
)
(
2
x
a
a
y
+
≥
.
6.
Расставить
всеми
возможными
способами
пределы
интегрирования
в
сферической
системе
координат
в
интеграле
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
,
если
{
,
x
:
)
,
,
(
2
2
2
2
R
z
y
z
y
x
D
≤
+
+
=
}
3
/
R
z
≥
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
если
{
,
:
)
,
,
(
2
2
2
R
y
x
z
y
x
D
≤
+
=
}
2
2
2
R
z
x
≤
+
,
выбрав
одну
из
систем
ко
-
ординат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сферическую
).
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
)
(
z
y
x
y
x
ze
a
z
y
x
+
+
+
−
=
+
+
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
оси
О
Z
тела
плотностью
ρ
,
ограниченного
поверхностями
cz
y
x
=
+
2
2
,
c
z
=
.
10.
Вычислить
момент
инерции
однородной
пластины
массой
М
,
огра
-
ниченной
кривыми
sin
y
x
=
,
π
≤
≤
x
0
,
0
=
y
относительно
прямой
1
=
y
.
11.
Найти
статический
момент
части
цилиндра
2
2
2
,
x
y
R y
+
=
лежа
-
щей
между
плоскостями
0
=
z
и
c
z
=
,
относительно
плоскости
XZ
,
если
плотность
z
y
+
=
ρ
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
∫∫
S
yzdS
,
где
S
–
часть
поверхно
-
сти
,
полученная
вращением
линии
{
}
( , ) :
cos , / 2
/ 2
L
x y
y
x
x
π
π
=
=
≤ ≤
,
удовлетворяющая
условию
z
y
<
<
0
вокруг
оси
OX
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
:
)
,
(
y
x
L
=
2
3
4
:
y
ax
x
=
−
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
+
L
ds
y
x
)
4
(
,
где
L
–
правая
петля
кривой
2
cos 2 , (x
0)
r
ϕ
=
≥
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
−
+
L
azdy
aydz
yzdx
,
где
L
–
часть
кривой
ax
x
z
y
x
=
+
=
+
2
2
2
2
2
y
,
0
,
0
≥
≥
y
z
от
точки
A
= (0,0,0)
до
точки
B
= (
a
,0,
a
).
16.
Пользуясь
формулой
Грина
,
вычислить
(
замыкая
,
если
нужно
,
кривую
отрезком
прямой
)
∫
+
−
L
dy
x
dx
y
2
/
)
2
/
1
(
,
где
L
–
верхняя
часть
полуокружности
2
2
2
a
y
x
=
+
, (
0
≥
y
)
от
точки
A
= (
a
,0)
до
точки
B
= (
a
−
,0).
29
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
+
+
S
zdxdy
ydzdx
xdydz
,
где
S
–
внешняя
сторона
поверхности
тела
2
2
2
a
y
x
≤
+
,
H
z
H
≤
≤
−
.
18.
Найти
div F
JG
,
если
r
r
F
=
,
где
)
,
,
(
z
y
x
r
=
,
|
|
r
r
=
.
19.
Электростатическое
поле
точечного
заряда
q
равно
2
0
0
4
r
r
q
E
G
G
⋅
=
πε
,
где
|
|
0
r
r
r
G
G
G
=
.
Вычислить
div E
G
в
точке
)
,
,
(
z
y
x
M
=
, (
0
≠
xyz
).
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
k
xz
j
yz
i
xy
F
G
G
G
+
+
=
вдоль
положи
-
тельно
ориентированного
на
верхней
стороне
плоскости
контура
:
)
,
,
{(
z
y
x
L
=
2
2
1,
1}
x
y
x y z
+
=
+ + =
.
21.
Найти
поток
векторного
поля
k
z
j
z
x
y
i
x
F
G
G
G
4
)
(
)
1
3
(
+
+
−
+
−
=
в
направ
-
лении
внешней
нормали
через
поверхность
S
,
где
S
–
поверхность
пирамиды
,
образуемой
плоскостью
0
2
2
2
=
+
−
−
z
y
x
и
координатны
-
ми
плоскостями
.
Вариант
№
17
1.
В
двойном
интеграле
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
,
где
( )
{
}
2
x
1
,
1
1
:
)
,
(
2
2
≤
≤
≤
+
−
=
y
x
y
x
D
перейти
к
полярным
координатам
r
и
ϕ
,
полагая
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y r
ϕ
=
,
и
записать
интеграл
в
виде
∫
∫
2
1
2
1
)
(
)
(
)
,
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
r
r
dr
r
g
d
.
2.
Переходя
к
полярным
координатам
,
вычислить
интеграл
∫∫
−
−
D
y
x
a
xdxdy
2
2
2
,
где
{
}
ax
y
x
y
x
D
≤
+
=
2
2
:
)
,
(
.
3.
Переходя
к
полярным
координатам
cos
x r
ϕ
=
,
sin
y
r
ϕ
=
(
или
обоб
-
щенным
полярным
координатам
ϕ
α
cos
ar
x
=
,
ϕ
α
sin
br
y
=
),
вычис
-
лить
площадь
области
,
ограниченной
кривой
3
3
3
3
5
k
y
h
x
b
y
a
x
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
.
4.
Найти
объем
тела
2
2
2
2
3 ,
x
y
z
a
+
+
≤
az
y
x
2
2
2
≤
+
.
5.
Найти
площадь
поверхности
2
2
2
2
,
x
y
z
a
+
+
=
если
x
a
by
x
2
2
3
≤
+
,
b
a
≤
.
6.
Расставить
всеми
возможными
способами
пределы
интегрирования
в
сферической
системе
координат
в
интеграле
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
,
если
{
,
4
x
:
)
,
,
(
2
2
2
az
z
y
z
y
x
D
≤
+
+
=
}
2
2
2
3
z
y
x
≤
+
.
7.
Записать
∫∫∫
D
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
в
виде
повторного
интеграла
,
выбрав
одну
из
систем
координат
(
декартову
,
цилиндрическую
или
сфериче
-
скую
),
если
{
,
)
2(
:
)
,
,
(
2
2
Rx
y
z
z
y
x
D
≥
+
=
}
2
2
2
2
3R
≤
+
+
z
y
x
.
30
8.
Найти
объем
тела
,
ограниченного
поверхностью
)
(
)
(
4
4
3
4
2
2
2
y
x
z
a
z
y
x
+
=
+
+
.
9.
Найти
момент
инерции
относительно
оси
О
Z
тела
плотностью
ρ
,
ограниченного
поверхностями
1
=
+
+
c
z
b
y
a
x
,
0
=
x
,
0
=
y
,
0
=
z
)
0
,
0
,
0
(
≥
≥
≥
z
y
x
.
10.
Вычислить
момент
инерции
однородной
пластины
массой
М
,
огра
-
ниченной
кривыми
2
x
ay
=
,
a
y
x
2
=
+
относительно
осей
координат
.
11.
Найти
момент
инерции
однородной
поверхности
ax
y
x
2
2
2
=
+
,
2
2
2
z
y
x
+
≥
плотности
ρ
относительно
оси
OZ
.
12.
Вычислить
поверхностный
интеграл
dS
z
y
x
S
)
(
2
1
2
2
−
+
+
∫∫
,
где
S
–
часть
параболоида
2
2
2
2
y
x
z
−
−
=
,
0
≥
z
.
13.
Найти
координаты
центра
масс
дуги
однородной
кривой
{
( , ) :
(
)
2
x
a
x
a
a
L
x y
y
e
e
−
=
=
+
,
}
a
x
≤
≤
0
.
14.
Вычислить
криволинейный
интеграл
первого
рода
∫
L
ds
y
2
,
где
L
–
петля
кривой
cos 4
r
a
ϕ
=
,
пересекающая
положительную
часть
оси
OX
.
15.
Вычислить
криволинейный
интеграл
второго
рода
∫
+
+
L
zdz
dy
dx
y
x
3
2
,
где
L
–
часть
кривой
H
z
,
2
2
2
=
=
+
r
y
x
от
точки
A
= (
r
,0,
H
)
до
точ
-
ки
B
= (–
r
,0,
H
).
16.
Пользуясь
формулой
Грина
,
вычислить
(
замыкая
,
если
нужно
,
кри
-
вую
отрезком
прямой
)
∫
−
+
+
+
+
L
dy
y
x
yx
dx
y
x
xy
)
(
)
(
,
где
L
–
часть
ок
-
ружности
ax
y
x
=
+
2
2
, (
2
/
a
x
≤
)
от
точки
)
,
2
/
(
a
a
A
−
=
до
точки
)
,
2
/
(
a
a
B
=
.
17.
Вычислить
поверхностный
интеграл
второго
рода
∫∫
−
+
−
+
−
S
dxdy
y
x
dzdx
x
z
dydz
z
y
)
(
)
(
)
(
,
где
S
–
часть
внешней
стороны
верхней
)
0
(
≥
z
полусферы
Rx
z
y
x
2
2
2
2
=
+
+
,
лежащая
внутри
цилин
-
дра
ax
y
x
2
2
2
=
+
,
R
a
<
.
18.
Найти
div F
JG
,
если
k
xy
xyz
f
j
xz
xyz
f
i
yz
xyz
f
F
)
(
2
)
(
)
(
−
+
=
,
где
k
j
i
,
,
–
единич
-
ные
орты
,
а
)
(
u
f
–
непрерывно
дифференцируемая
функция
.
19.
Пусть
u
–
скалярное
поле
.
Доказать
,
что
2
(
)
(
)
div u u
u u
u
Δ
∇ =
+ ∇
.
20.
Найти
циркуляцию
векторного
поля
k
xyz
j
xe
i
ye
F
xy
xy
G
G
G
+
+
=
вдоль
кон
-
тура
:
)
,
,
{(
z
y
x
L
=
}
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
)
1
(
2
2
2
≥
≥
≥
=
=
=
−
=
+
z
y
x
z
y
x
z
y
x
,
положительно
ориентированного
на
внутренней
стороне
конуса
.