ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 975
Скачиваний: 2
2
Полиномы. Комплексные числа
16
2.2
Корни многочленов
Если
p
(
x
∗
) = 0
, то число
x
∗
называется
корнем
многочлена
p
.
Теорема 2.2.
Число
x
∗
является корнем многочлена
p
⇔
p
делится
на многочлен
x
−
x
∗
.
Доказательство.
См. [2].
Контрольное упражнение 2.2.
Если полином
p
делится на
x
−
x
∗
,
то
x
∗
— корень
p
.
Теорема 2.3
(о количестве корней многочлена)
.
Многочлен степени
n
не может иметь более
n
корней.
Доказательство.
Пусть
p
— многочлен степени
n
. Если
p
вовсе не
имеет корней, то для него утверждение теоремы верно. Если
p
имеет
корень
x
1
, то, по теореме 2.2,
p
(
x
) = (
x
−
x
1
)
p
1
(
x
)
, причем
deg p
1
=
n
−
1
(см. упражнение 2.1). Если
p
1
не имеет корней, то у
p
единственный
корень
x
1
, и утверждение теоремы опять верно; в противном случае
p
1
(
x
) = (
x
−
x
2
)
p
2
(
x
)
, где
x
2
— корень многочлена
p
1
, а
deg p
2
=
n
−
2
.
Применим это рассуждение столько раз, сколько нужно. В результате
либо на
k
-м шаге (
k
≤
n
−
2
) получим
p
(
x
) = (
x
−
x
1
)
·
. . .
·
(
x
−
x
k
)
·
p
k
(
x
)
,
где многочлен
p
k
имеет степень
n
−
k
и не имеет корней — в этом
случае
p
имеет
k
корней
x
1
, . . . , x
k
; либо после
n
−
1
шагов дойдем до
многочлена
p
n
−
1
(
x
)
первой степени:
p
n
−
1
(
x
) =
αx
+
β
=
α
(
x
−
x
n
)
, где
x
n
=
−
β/α
, и тогда
p
(
x
) =
α
(
x
−
x
1
)
·
. . .
·
(
x
−
x
n
)
, то есть многочлен
p
имеет
n
корней
x
1
, . . . , x
n
. Теорема доказана.
Замечание.
Может оказаться, что среди корней
x
1
, . . . , x
k
много-
члена
p
некоторые совпадают, так что если считать совпадающие корни
за один, то
p
имеет даже не
k
, а меньше корней.
Число
r
называется
кратностью
корня
x
∗
многочлена
p
, если
p
(
x
) = (
x
−
x
∗
)
r
e
p
(
x
)
,
e
p
(
x
∗
)
6
= 0
.
Корень кратности 1 называется
простым
, кратности
≥
2
—
кратным
.
Если, как в доказательстве теоремы 1, отделять корни многочлена по
одному, то в списке корней
x
1
, . . . , x
k
каждый корень встретится столь-
ко раз, какова его кратность. Мы скажем, что
k
— количество корней
многочлена
p
с учетом кратности
.
Контрольное упражнение 2.3.
Если два многочлена степени не вы-
ше
n
принимают одинаковые значения в
n
+ 1
точке, то они равны.
Контрольное упражнение 2.4.
Пусть
a
0
+
a
1
x
+
· · ·
+
a
n
x
n
≡
b
0
+
b
1
x
+
· · ·
+
b
m
x
m
,
a
n
6
= 0
, b
m
6
= 0
. Тогда
n
=
m
, и
a
k
=
b
k
∀
k
= 1
. . . n
.
2
Полиномы. Комплексные числа
17
2.3
Определение комплексного числа. Операции над ком-
плексными числами
Уравнение
x
2
+ 1 = 0
не имеет решения в множестве вещественных чисел.
Введем новое, не вещественное число, обозначим его
i
, назовем
мни-
мой единицей
, и объявим, что
i
2
=
−
1
.
Чтобы
i
было настоящим полноправным числом, нам надо научиться
складывать его с другими числами и умножать на другие числа. Это
приводит к следующему определению:
Комплексным числом
называется выражение
x
+
iy
, где
x, y
∈
R
. Два
комплексных числа
z
1
=
x
1
+
iy
1
и
z
2
=
x
2
+
iy
2
равны, если и только
если
x
1
=
x
2
и
y
1
=
y
2
. Множество всех комплексных чисел обозначается
C
. Вещественное число
x
отождествляется с комплексным
x
+
i
·
0
: таким
образом,
R
⊂
C
. Заметим, что, в частности, вещественные числа 0 и 1,
отождествляемые, соответственно, с
0 +
i
·
0
и
1 +
i
·
0
, в множестве
комплексных чисел, как и в
R
, играют особую роль:
∀
z
∈
C
z
+ 0 =
z, z
·
1 =
z.
Имея в виду это свойство, числа 0 и 1 называют
нейтральными элемен-
тами
множества
C
: 0 является
нейтральным элементом по сложению
,
а 1 —
нейтральным элементом по умножению
. Со словосочетанием
«нейтральный элемент» мы встретимся еще в разделе 4 «Матрицы», а
желающие могут заглянуть и в Приложение А.
Если
z
=
x
+
iy
∈
C
, то
x
называется
вещественной частью
числа
z
(
x
=
Re z
)
, а
y
—
мнимой частью
(
y
=
Im z
).
Комплексные числа складываются и умножаются подобно веществен-
ным, с учетом соотношения
i
2
=
−
1
:
(
α
1
+
β
1
i
) + (
α
2
+
β
2
i
) = (
α
1
+
α
2
) + (
β
1
+
β
2
)
i,
(
α
1
+
β
1
i
)
·
(
α
2
+
β
2
i
) = (
α
1
α
2
−
β
1
β
2
) + (
α
1
β
2
+
α
2
β
1
)
i.
Для комплексных чисел
z, w
мы будем писать
zw
вместо
z
·
w
(если
захотим).
Очевидно, что противоположным к комплексному числу
z
=
x
+
iy
является число
−
z
=
−
x
+
i
(
−
y
) =
−
x
−
iy
(числа называются про-
тивоположными, если в сумме они дают 0). Это позволяет
вычитать
комплексные числа:
z
1
−
z
2
:=
z
1
+ (
−
z
2
)
. Найдем обратное к комплекс-
ному числу
z
=
x
+
iy
по умножению, то есть число
w
такое, что
zw
= 1
(мы пока не можем обозначить его
1
/z
, поскольку
деление
комплексных
чисел еще не определено).
2
Полиномы. Комплексные числа
18
Заметив, что
(
x
+
iy
)(
x
−
iy
) =
x
2
+
y
2
∈
R
, получаем
(
x
+
iy
)
x
x
2
+
y
2
−
i
y
x
2
+
y
2
= 1
,
так что
(
x
+
iy
)
−
1
=
x/
(
x
2
+
y
2
)
−
i
·
y/
(
x
2
+
y
2
)
, если только
x
2
+
y
2
6
= 0
.
Но при
x
2
+
y
2
= 0
мы имеем дело с вещественным числом
0
, а то, что
у него нет обратного, нам уже известно.
Число
x
−
iy
называется
сопряженным
к числу
z
=
x
+
iy
и обозна-
чается
z
.
2.4
Геометрическое изображение комплексных чисел
Подобно тому, как вещественное число изображается точкой на прямой,
комплексное число
z
=
x
+
iy
можно изобразить точкой с координата-
ми
(
x, y
)
на плоскости
R
×
R
.
Точка отождествляется со своим радиус-
вектором (выходящим из начала координат).
-
6
O
*
x
y
r
BBM
ϕ
z
=
x
+
i y
HH
HH
HH
HH
j
z
рис. 2.1
Если
z
=
x
+
iy
6
= 0
, то координаты
x
и
y
можно выразить через
длину радиус-вектора
r
и угол
ϕ
между осью
x
и радиус-вектором:
x
=
r
cos
ϕ, y
=
r
sin
ϕ
. Таким образом,
z
=
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
.
(4)
То, что вы видите в правой части этого равенства, называется
три-
гонометрической формой
числа
z
. Число
r
называется
модулем
, а
ϕ
—
аргументом
комплексного числа
z
:
|
z
|
=
r
=
p
x
2
+
y
2
,
arg z
=
ϕ,
0
≤
ϕ <
2
π.
2
Полиномы. Комплексные числа
19
2.5
Геометрическая интерпретация операций
Очевидно, что сложение комплексных чисел изображается сложением
соответствующих векторов по правилу параллелограмма. Чтобы выяс-
нить геометрический смысл умножения, представим комплексные чис-
ла в тригонометрической форме. Пусть
z
1
=
r
1
(cos
ϕ
1
+
i
sin
ϕ
1
)
, z
2
=
r
2
(cos
ϕ
2
+
i
sin
ϕ
2
)
. Тогда
z
1
z
2
=
r
1
r
2
(cos
ϕ
1
+
i
sin
ϕ
1
)(cos
ϕ
2
+
i
sin
ϕ
2
) =
=
r
1
r
2
(cos
ϕ
1
cos
ϕ
2
−
sin
ϕ
1
sin
ϕ
2
+
i
(cos
ϕ
1
sin
ϕ
2
+ sin
ϕ
1
cos
ϕ
2
)) =
=
r
1
r
2
(cos(
ϕ
1
+
ϕ
2
) +
i
sin(
ϕ
1
+
ϕ
2
))
.
Таким образом,
|
z
1
z
2
|
=
|
z
1
||
z
2
|
.
Хочется написать
arg(
z
1
z
2
) = arg
z
1
+
arg
z
2
, но эта сумма аргументов может превзойти
2
π
, аргумент же ком-
плексного числа, как мы его определили, заключается в пределах от
0
до
2
π
. На этот случай придумана специальная операция:
сложение по
модулю
2
π
.
Для вещественного числа
x
и положительного числа
β
число
x mod β
определяется следующим образом: если для
n
∈
Z
nβ
≤
x <
(
n
+ 1)
β
, то
x mod β
= (
x
−
nβ
)
/β.
Если
x
положительно, то
x mod β
— это остаток
от деления
x
на
β
.
Правильная формула для аргумента произведения комплексных чи-
сел такова:
arg(
z
1
z
2
) = (arg
z
1
+ arg
z
2
)
mod
2
π
.
Пример.
Если
ϕ
1
= 5
π/
4
, ϕ
2
= 7
π/
8
,
то
ϕ
1
+
ϕ
2
=
17
8
π,
(
ϕ
1
+
ϕ
2
)
mod
2
π
=
1
8
π
Контрольное упражнение 2.5.
1)
z
·
z
=
r
2
;
2)
|
z
|
=
|
z
|
;
3)
arg
z
=
−
arg
z.
2.6
Формула Муавра. Корни из единицы
Из формулы умножения комплексных чисел в тригонометрической фор-
ме следует так называемая
формула Муавра
: если
z
=
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
,
то
z
n
=
r
n
(cos
nϕ
+
i
sin
nϕ
)
.
(5)
Формула Муавра позволяет легко вычислить все корни
n
-й степени
из единицы, то есть решения уравнения
z
n
= 1
. А именно:
z
n
= 1
⇔
r
= 1
∧
cos
nϕ
= 1
⇔
r
= 1
∧
ϕ
∈ {
0
,
2
π
n
,
4
π
n
, . . . ,
2(
n
−
1)
π
n
}
.
Корней
n
-й степени из единицы ровно
n
: это числа
ω
k
= cos
2
πk
n
+
i
sin
2
πk
n
, k
= 0
,
1
, . . . , n
−
1
.
2
Полиномы. Комплексные числа
20
Контрольное упражнение 2.6.
Изобразить на комплексной плоско-
сти все корни 3-й, 4-й, 6-й, 8-й степеней из единицы.
2.7
Основная теорема алгебры
Теорема 2.4
(Основная теорема алгебры)
.
Любой многочлен
p
(
z
) =
P
n
k
=0
a
k
z
k
с комплексными коэффициентами
a
0
, . . . , a
n
,
a
n
6
= 0
,
n
≥
1
,
имеет комплексный корень.
Доказательство.
См. [2].
Теорема 2.5
(Следствие из Основной теоремы алгебры)
.
Комплексный
многочлен степени
n
имеет ровно
n
комплексных корней с учетом
кратности.
Доказательство
повторяет доказательство теоремы о количестве
корней вещественного многочлена, с очевидным изменением: получае-
мые на каждом шаге многочлены обязаны иметь корень.
Из последней теоремы следует, что любой комплексный многочлен
p
можно представить в виде
p
(
z
) =
c
(
z
−
z
1
)
r
1
· · · · ·
(
z
−
z
m
)
r
m
,
где
c
— комплексное число (равное коэффициенту при старшей степени),
r
j
— кратность корня
z
j
, и
r
1
+
· · ·
+
r
m
=
deg p
.
Задача 2.1.
Если
p
— многочлен с вещественными коэффициентами,
и
p
(
z
) = 0
для
z
∈
C
, то
p
(
z
) = 0
(это означает, что невещественные
корни вещественного многочлена ”ходят парами”).
Пример.
Многочлен
p
(
x
) =
x
4
+ 2
x
2
+ 1 = (
x
2
+ 1)
2
имеет корни
i
и
−
i
(оба двукратные):
x
4
+ 2
x
2
+ 1 = (
x
−
i
)
2
(
x
+
i
)
2
.
Задача 2.2.
Любой многочлен
p
с вещественными коэффициентами
можно представить в виде
p
(
x
) =
c
(
x
−
x
1
)
r
1
·· · ··
(
x
−
x
k
)
r
k
(
x
2
+
λ
1
x
+
µ
1
)
s
1
·· · ··
(
x
2
+
λ
l
x
+
µ
l
)
s
l
,
(6)
где
x
1
, . . . , x
k
— корни многочлена, а выражения
x
2
+
λ
j
x
+
µ
j
, j
= 1
. . . l
не обращаются в 0
(4
λ
2
j
−
µ
j
<
0)
.
Контрольный вопрос 2.7.
Какова степень многочлена (6)?