ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 953
Скачиваний: 2
12
Собственные значения и собственные векторы
86
или, что эквивалентно,
dim Ker
(
A −
λI
)
>
0
.
Последнее неравенство, в силу теоремы о ранге, равносильно неравен-
ству
rk
(
A −
λI
)
< n,
которое, в свою очередь, эквивалентно условию
det
(
A
−
λI
) = 0
,
(43)
где
A
−
λI
— матрица оператора
A −
λI
в произвольном базисе (тож-
дественный оператор и его матрицу мы обозначаем одинаково, потому
что матрица тождественного оператора в любом базисе является еди-
ничной).
Итак, равенство (43) является необходимым и достаточным условием
того, что
λ
— собственное значение оператора
A
. Уравнение (43) назы-
вается
характеристическим уравнением
оператора
A
.
Если
(
a
ij
)
i,j
=1
,...,n
— матрица оператора
A
в некотором базисе, то
характеристическое уравнение таково:
a
11
−
λ
a
12
. . .
a
1
n
a
21
a
22
−
λ . . .
a
2
n
. . .
. . .
. . .
. . .
a
n
1
a
n
2
. . .
a
nn
−
λ
= 0
.
Левая часть характеристического уравнения является многочленом
степени
n
.
Многочлен
p
(
λ
) =
det
(
A
−
λI
)
называется
характеристическим мно-
гочленом
оператора
A
. Поскольку
p
— многочлен степени
n
, уравнение
p
(
λ
) = 0
имеет не более
n
решений. Набор всех корней характеристиче-
ского полинома ( = собственных значений оператора
A
), взятых с учетом
кратности, называется
спектром
оператора
A
.
Вернемся к рассмотренным нами примерам.
Для оператора
A
c
умножения на константу, действующего в
n
-мерном
пространстве, характеристическое уравнение выглядит так:
(
c
−
λ
)
n
= 0
.
Единственным решением этого уравнения и единственным, как мы уже
знаем, собственным значением, является
λ
=
c
. Этому
n
-кратному корню
соответствует
n
-мерное собственное подпространство
E
c
, совпадающее с
E
.
Оператор поворота плоскости
R
ϕ
, как мы видели, не имеет собствен-
ных значений при
ϕ
6
=
kπ, k
∈
Z
. Характеристический полином этого
оператора
(cos
ϕ
−
λ
)
2
+ sin
ϕ
=
λ
2
−
(2 cos
ϕ
)
λ
+ 1
12
Собственные значения и собственные векторы
87
имеет отрицательный дискриминант
4(cos
2
ϕ
−
1)
. Оба корня этого по-
линома — комплексные с ненулевой мнимой частью.
Оператор проекции
π
имеет в стандартном базисе матрицу
1 0
0 0
.
Характеристическое уравнение для этого оператора таково:
(
λ
−
1)
λ
= 0
.
Видно, что уже известные нам собственные значения
0
и
1
являются
корнями этого уравнения.
12.3
Собственные векторы и структура линейного опера-
тора
Постараемся выяснить, как в зависимости от спектра может меняться
структура оператора. Пусть
A
:
E
→
E, dim E
=
n
.
Случай № 1.
Оператор
A
имеет
n
различных собственных значе-
ний
λ
1
, . . . , λ
n
(такой спектр линейного оператора называется
простым
).
Для каждого
λ
j
подберем соответствующий ему собственный вектор
u
j
.
Теорема 12.2.
Векторы
u
1
, . . . , u
n
линейно независимы.
Доказательство.
Применим индукцию по числу собственных век-
торов.
База индукции.
Покажем, что векторы
u
1
и
u
2
линейно независи-
мы. Оба вектора — ненулевые по определению, поэтому линейная
зави-
симость
для них означала бы коллинеарность:
u
2
=
αu
1
. Но два кол-
линеарных вектора если являются собственными, то, очевидно, с одним
собственным значением:
A
u
2
=
A
(
αu
1
) =
α
A
u
1
=
αλ
1
u
1
=
λ
1
(
αu
1
) =
λ
1
u
2
. Это противоречит условию. Следовательно, векторы
u
1
и
u
2
не
могут быть линейно зависимыми.
Шаг индукции.
Пусть доказано, что векторы
u
1
, . . . , u
k
линейно
независимы. Рассмотрим равенство
α
1
u
1
+
. . .
+
α
k
u
k
+
α
k
+1
u
k
+1
=
θ.
(44)
Нам надо доказать, что
α
1
=
. . .
=
α
k
=
α
k
+1
= 0
.
Если
α
k
+1
= 0
,
то
равенство нулю остальных коэффициентов следует из линейной незави-
симости векторов
u
1
, . . . , u
k
. Предположим, что
α
k
+1
6
= 0
.
Тогда
u
k
+1
=
β
1
u
1
+
. . .
+
β
k
u
k
,
где
β
j
=
−
α
j
/α
k
+1
при
j
= 1
, . . . , k
.
Применяя к вектору
u
k
+1
оператор
A
, получим
A
u
k
+1
=
λ
k
+1
u
k
+1
=
λ
k
+1
(
β
1
u
1
+
. . .
+
β
k
u
k
) =
λ
k
+1
β
1
u
1
+
. . .
+
λ
k
+1
β
k
u
k
.
C другой стороны,
A
u
k
+1
=
A
(
β
1
u
1
+
. . .
+
β
k
u
k
) =
β
1
A
u
1
+
. . .
+
β
k
A
u
k
=
β
1
λ
1
u
1
+
. . .
+
β
k
λ
k
u
k
.
12
Собственные значения и собственные векторы
88
Правые части двух последних цепочек равенств равны:
λ
k
+1
β
1
u
1
+
. . .
+
λ
k
+1
β
k
u
k
=
β
1
λ
1
u
1
+
. . .
+
β
k
λ
k
u
k
,
β
1
(
λ
k
+1
−
λ
1
)
u
1
+
. . .
+
β
k
(
λ
k
+1
−
λ
k
)
u
k
=
θ.
Из линейной независимости векторов
u
1
, . . . , u
k
следует, что
β
1
(
λ
k
+1
−
λ
1
) =
. . .
=
β
k
(
λ
k
+1
−
λ
k
) = 0
.
По условию,
λ
k
+1
отличается от чисел
λ
1
, . . . , λ
k
. Поэтому
β
1
=
. . .
=
β
k
= 0
, а значит,
α
1
=
. . .
=
α
k
= 0
. Но
коли так, равенство (44) принимает вид
α
k
+1
u
k
+1
=
θ,
откуда, зная, что
u
k
+1
6
=
θ
, получаем
α
k
+1
= 0
.
Теорема доказана.
Итак: если спектр оператора
A
содержит
n
простых собственных
значений, то в пространстве
E
имеются
n
линейно независимых соб-
ственных векторов оператора
A
. Но
n
линейно независимых векторов
обязательно образуют базис в
E
. А в базисе
u
1
, . . . , u
n
, состоящем из
собственных векторов линейного оператора
A
с собственными значени-
ями
λ
1
, . . . , λ
n
, матрица оператора
A
вот какова:
A
u
=
λ
1
0
. . .
0
0
λ
2
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
λ
n
.
Оператор
E
→
E
, матрица которого в некотором базисе диагональна,
называется
диагонализируемым
. Мы, стало быть, доказали, что линей-
ный оператор с простым спектром диагонализируем.
Случай № 2.
Оператор
A
имеет
n
собственных значений с учетом
кратности, среди которых, однако, есть совпадающие.
И в этом случае может оказаться, что оператор
A
обладает собствен-
ным базисом, и, стало быть, диагонализируем. Таков, например, опера-
тор умножения на константу; таковы же и операторы умножения на
матрицы
0 0 0
0 1 0
0 0 0
или
2 0 0
0 2 0
0 0 4
.
Во всех этих случаях кратность каждого собственного значения рав-
на размерности соответствующего ему собственного подпространства.
Но дело может обстоять и иначе.
Рассмотрим оператор
R
2
→
R
2
умножения на матрицу
a
1
0
a
.
12
Собственные значения и собственные векторы
89
Характеристический его полином
p
(
λ
) =
a
−
λ
1
0
a
−
λ
= (
λ
−
a
)
2
имеет двукратный корень
a
. Однакоже легко убедиться, что единствен-
ным (с точностью до множителя, конечно) собственным вектором этого
линейного оператора является вектор
(1 0)
T
. Собственное подпростран-
ство
E
a
здесь одномерно.
Если
λ
— собственное значение линейного оператора
A
, то его
алгеб-
раической кратностью
называется его кратность как корня характери-
стического полинома;
геометрической кратностью
собственного значе-
ния
λ
называется размерность собственного подпространства
E
λ
.
Раньше нам все попадались случаи, когда алгебраическая и геомет-
рическая кратности собственных значений совпадали; последний рас-
смотренный нами пример показывает, что геометрическая кратность мо-
жет оказаться
меньше
алгебраической.
Задача 12.1.
Геометрическая кратность любого собственного значе-
ния не превосходит его алгебраической кратности.
Итак: в рассматриваемом нами случае № 2 не всегда можно найти
собственный базис, и оператор не всегда оказывается диагонализируе-
мым. Можно доказать (см., например, [2]), что можно построить базис,
в котором матрица оператора имеет так называемую
жорданову форму
.
Если
λ
1
, . . . , λ
s
— собственные значения оператора
A
:
E
→
E
с алгеб-
раическими кратностями
q
1
, . . . , q
s
соответственно,
q
1
+
. . .
+
q
s
=
n
, то в
некотором базисе (который называется жордановым) оператор
A
имеет
матрицу
G
1
0
· · ·
0
0
G
2
· · ·
0
..
.
..
.
. .. ...
0
0
· · ·
G
s
.
Здесь
G
k
— это не число, а квадратный блок вида
G
k
=
G
1
k
0
· · ·
0
0
G
2
k
· · ·
0
..
.
..
.
. ..
..
.
0
0
· · ·
G
r
k
k
,
а
G
l
k
— это, в свою очередь, блок, который выглядит следующим обра-
зом:
G
l
k
=
λ
k
1
· · ·
0
0
0
λ
k
· · ·
0
0
..
.
..
.
. .. ...
..
.
0
0
· · ·
λ
k
1
0
0
· · ·
0
λ
k
.
(45)
12
Собственные значения и собственные векторы
90
Блок (45) называется
жордановой клеткой:
диагональные элементы рав-
ны
λ
k
, над диагональю — единицы. Число
r
k
(количество жордановых
клеток, соответствующих собственному значению
λ
k
) совпадает с гео-
метрической кратностью собственного значения
λ
k
, а сумма размерно-
стей жордановых клеток равна алгебраической кратности. Диагональ-
ная матрица — это частный случай жордановой матрицы, в которой все
жордановы клетки одномерны.
Случай № 3.
Среди корней характеристического полинома есть
комплексные числа с ненулевой мнимой частью. В этом случае также
можно привести матрицу к жордановой форме, только не вещественной,
а комплексной. Этот случай мы подробно рассматривать не будем.