ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 690
Скачиваний: 5
111.png)
Для количества тепла, выделившегося в некоторой окрестности
точки
ξ
можно записать
cρ
ξ
+
ε
Z
ξ
−
ε
f
ε
(
x
)
dx
=
Q
(222)
где
f
ε
– температура в этой окрестности, вызванная появлением
тепла. Причем
f
ε
равна нулю всюду, кроме отрезка
[
ξ
−
ε, ξ
+
ε
]
.
Т.е.,
f
(
x
) =
(
f
ε
(
x
)
,
|
x
−
ξ
|
< ε,
0
,
|
x
−
ξ
|
> ε.
Решение записывается в виде
u
ε
(
x, t
) =
l
Z
0
G
(
x, ξ, t
)
f
(
ξ
)
dξ
=
ξ
+
ε
Z
ξ
−
ε
G
(
x, ξ, t
)
f
ε
(
ξ
)
dξ
111
112.png)
Далее воспользуемся теоремой о среднем
u
ε
(
x, t
) =
G
(
x,
˜
ξ, t
)
ξ
+
ε
Z
ξ
−
ε
f
ε
(
ξ
)
dξ
=
G
(
x,
˜
ξ, t
)
Q
cρ
где
˜
ξ
– некоторая средняя точка интервала
(
ξ
−
ε, ξ
+
ε
)
.
Полагая
Q
=
cρ
и
ε
→
0
, при этом
˜
ξ
→
ξ
и в результате находим
u
(
x, t
) =
G
(
x, ξ, t
)
.
Таким образом, мы доказали, что
G
(
x, ξ, t
)
есть температура в
точке
x
в момент
t
, вызванная действием мгновенного точечного
источника величиной
Q
=
cρ
, находящегося при
t
= 0
в точке
x
=
ξ
.
112