ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 692
Скачиваний: 5
006.png)
∂u
∂y
=
ϕ
(
v
)
0
1
x
Подставляем в уравнение
xϕ
(
v
)
0
−
y
x
2
+
yϕ
(
v
)
0
1
x
= 0
.
Простейшее уравнение второго порядка:
∂
2
u
∂x∂y
= 0
.
(9)
Заменим
∂u
∂y
=
v
. Тогда наше уравнение принимает вид:
∂v
∂x
= 0
.
(10)
Его общее решение
v
=
f
(
y
)
. Тогда, возвращаясь к замене, полу-
чим:
∂u
∂y
=
f
(
y
)
.
(11)
6
007.png)
Общее решение
u
(
x, y
) =
Z
f
(
y
)
dy
+
ψ
(
x
)
,
(12)
или
u
(
x, y
) =
ψ
(
x
) +
ϕ
(
y
)
.
(13)
Упражнение. Проверить, что (13) есть общее решение (9).
Упражнение. Проверить, что функция
u
(
x, y
) =
xϕ
(
x
+
y
) +
yψ
(
x
+
y
)
является общим решением уравнения
∂
2
u
∂x
2
−
2
∂
2
u
∂x∂y
+
∂
2
u
∂y
2
= 0
.
(14)
7
008.png)
2
Классификация ДУ с частными производными второго
порядка
√√
Уравнением с частными производными 2-го порядка с 2-мя
независимыми переменными
x
,
y
называется соотношение между
неизвестной функцией
u
(
x, y
)
и ее частными производными до
2-го порядка включительно:
F
(
x, y, u, u
x
, u
y
, u
xx
, u
yy
, u
xy
) = 0
(15)
Линейное относительно старших производных уравнение
a
11
u
xx
+ 2
a
12
u
xy
+
a
22
u
yy
+
F
1
(
x, y, u, u
x
, u
y
) = 0
(16)
здесь коэффициенты
a
ij
являются функциями
x
и
y
.
Линейное уравнение
a
11
u
xx
+ 2
a
12
u
xy
+
a
22
u
yy
+
b
1
u
x
+
b
2
u
y
+
cu
+
f
= 0
(17)
причем
a
,
b
,
c
,
f
– зависят только от
x
и
y
. Если
a
,
b
,
c
,
f
не
зависят от
x
и
y
, то (17) – линейное уравнение с постоянными
коэффициентами. Если
f
= 0
, то (17) – однородное уравнение.
8
009.png)
Рассмотрим вопрос о приведении уравнения вида (16) к наибо-
лее простому виду. Для этого рассмотрим замену переменных:
x
→
ξ
=
ϕ
(
x, y
)
(18)
y
→
η
=
ψ
(
x, y
)
.
(19)
По правилу нахождения производной сложной функции:
u
x
=
u
ξ
ξ
x
+
u
η
η
x
(20)
u
y
=
u
ξ
ξ
y
+
u
η
η
y
(21)
Далее
u
xx
= (
u
ξ
ξ
x
)
x
+ (
u
η
η
x
)
x
=
=
u
ξξ
ξ
2
x
+
u
ξη
ξ
x
η
x
+
u
ξ
ξ
xx
+
u
ηη
η
2
x
+
u
ηξ
η
x
ξ
x
+
u
η
η
xx
=
=
u
ξξ
ξ
2
x
+ 2
u
ξη
ξ
x
η
x
+
u
ηη
η
2
x
+
u
ξ
ξ
xx
+
u
η
η
xx
(22)
Аналогично,
u
xy
=
u
ξξ
ξ
x
ξ
y
+
u
ξη
(
ξ
x
η
y
+
ξ
y
η
x
) +
u
ηη
η
x
η
y
+
u
ξ
ξ
xy
+
u
η
η
xy
u
yy
=
u
ξξ
ξ
2
y
+ 2
u
ξη
ξ
y
η
y
+
u
ηη
η
2
y
+
u
ξ
ξ
yy
+
u
η
η
yy
9
010.png)
Подставляем вычисленные значения производных в уравнение (16):
˜
a
11
u
ξξ
+ 2˜
a
12
u
ξη
+ ˜
a
22
u
ηη
+ ˜
F
(
ξ, η, u, u
ξ
, u
η
) = 0
(23)
Коэффициенты при старших производных имеют вид:
˜
a
11
=
a
11
ξ
2
x
+ 2
a
12
ξ
x
ξ
y
+
a
22
ξ
2
y
(24)
˜
a
12
=
a
11
ξ
x
η
x
+
a
12
(
ξ
x
η
y
+
η
x
ξ
y
) +
a
22
ξ
y
η
y
(25)
˜
a
22
=
a
11
η
2
x
+ 2
a
12
η
x
η
y
+
a
22
η
2
y
(26)
Очевидно, что наиболее простой вид рассматриваемое уравнение
будет иметь, если
˜
a
11
= 0
и
˜
a
22
= 0
.
Для того чтобы
˜
a
11
= 0
, необходимо, чтобы функция
ϕ
(
x, y
)
была решением уравнения
a
11
z
2
x
+ 2
a
12
z
x
z
y
+
a
22
z
2
y
= 0
(27)
Для того чтобы
˜
a
22
= 0
, необходимо, чтобы функция
ψ
(
x, y
)
была
решением уравнения (27).
10