ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 691
Скачиваний: 5
106.png)
Подставляя в уравнение, получаем
1
a
2
T
0
T
=
X
00
X
=
−
λ
(206)
В результате получаем два обыкновенных ДУ:
X
00
+
λX
= 0
,
(207)
T
0
+
a
2
λT
= 0
.
(208)
Из граничных условий для
u
получаем граничные условия для
X
:
X
(0) = 0
,
X
(
l
) = 0
.
В результате для функции
X
(
x
)
мы получили задачу о собствен-
ных значениях (задачу Штурма-Лиувилля):
X
00
+
λX
= 0
,
X
(0) = 0
,
X
(
l
) = 0
.
(209)
Ранее было показано, что собственные значения этой задачи
λ
n
=
πn
l
2
(210)
106
107.png)
соответствующие собственным функциям
X
n
(
x
) = sin
λ
n
x
= sin
πn
l
x
(211)
Далее находим функцию
T
(
t
)
:
T
n
(
t
) =
C
n
e
−
a
2
λ
n
t
(212)
Таким образом, мы нашли частные решения однородной задачи:
u
n
(
x, t
) =
C
n
e
−
a
2
λ
n
t
sin
πn
l
x
(213)
Общее решение нашей задачи запишем как суперпозицию част-
ных
u
(
x, t
) =
∞
X
n
=1
C
n
e
−
πn
l
2
a
2
t
sin
πn
l
x
(214)
Из начального условия получаем
f
(
x
) =
∞
X
n
=1
C
n
sin
πn
l
x
(215)
107
108.png)
Последнее выражение есть разложение функции
f
(
x
)
в ряд Фурье
по синусам на интервале
(0
, l
)
. Для нахождения
C
n
домножим
уравнение (215) на
sin
πm
l
x
и проинтегрируем:
l
Z
0
f
(
x
) sin
πm
l
x dx
=
∞
X
n
=1
C
n
l
Z
0
sin
πn
l
x
sin
πm
l
x dx
(216)
С учетом формулы
sin
α
sin
β
=
1
2
(cos(
α
−
β
)
−
cos(
α
+
β
))
получим для интеграла в правой части
l
Z
0
sin
πn
l
x
sin
πm
l
x dx
=
1
2
δ
nm
l.
108
109.png)
В результате для коэффициента
C
n
имеем
C
n
=
2
l
l
Z
0
f
(
ξ
) sin
πn
l
ξ dξ.
(217)
Подставим в решение найденное значение
C
n
:
u
(
x, t
) =
∞
X
n
=1
2
l
l
Z
0
f
(
ξ
) sin
πn
l
ξ dξ
e
−
πn
l
2
a
2
t
sin
πn
l
x
(218)
Поменяем порядок суммирования и интегрирования
u
(
x, t
) =
l
Z
0
2
l
∞
X
n
=1
e
−
πn
l
2
a
2
t
sin
πn
l
ξ
sin
πn
l
x
f
(
ξ
)
dξ
(219)
109
110.png)
Введем функцию
G
(
x, ξ, t
) =
2
l
∞
X
n
=1
e
−
πn
l
2
a
2
t
sin
πn
l
ξ
sin
πn
l
x
(220)
— функцию мгновенного точечного источника или функцию тем-
пературного влияния мгновенного точечного источника тепла. С
ее использованием решение нашей задачи будет иметь вид
u
(
x, t
) =
l
Z
0
G
(
x, ξ, t
)
f
(
ξ
)
dξ
(221)
Покажем, что функция
G
(
x, ξ, t
)
представляет собой распреде-
ление температуры в стержне в момент времени
t
, если в началь-
ный момент температура равна нулю и в этот момент в точке
x
=
ξ
мгновенно выделяется некоторое количество тепла, при
том что на краях стержня поддерживается нулевая температура.
110