ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 693
Скачиваний: 5
101.png)
Упражнение. Проверить, что (193) удовлетворяет уравнению
(180) и соответствующему начальному условию.
Далее необходимо вернуться к исходной переменной
t
:
τ
=
a
2
t
и, подставляя в (193), получим
u
(
x, t
) =
1
2
a
√
πt
∞
Z
−∞
f
(
ξ
)
e
−
(
x
−
ξ
)
2
4
a
2
t
dξ
(194)
Можно проверить, что функция
G
(
x, ξ, t
) =
1
2
a
√
πt
e
−
(
x
−
ξ
)
2
4
a
2
t
(195)
также является решением исходного уравнения и ее называют
фундаментальным решением уравнения теплопроводно-
сти.
Физическим тепловым импульсом называется начальное распре-
101
102.png)
деление температуры
f
ε
(
x
) =
(
u
0
,
|
x
−
x
0
|
< ε,
0
,
|
x
−
x
0
|
> ε.
(196)
В этом случае решение задачи будет иметь вид
u
(
x, t
) =
u
0
2
a
√
πt
x
0
+
ε
Z
x
0
−
ε
e
−
(
x
−
ξ
)
2
4
a
2
t
dξ
(197)
и по теореме о среднем оно может быть записано следующим об-
разом
u
(
x, t
) =
2
εu
0
2
a
√
πt
e
−
(
x
−
˜
ξ
)
2
4
a
2
t
(198)
Точечный тепловой импульс соответствует
ε
→
0
. Количество
теплоты, переданное стержню, пропорционально произведению
2
εu
0
102
103.png)
и при
ε
→
0
должно оставаться конечным. Полагая
2
εu
0
= 1
получаем, что
u
0
→ ∞
при
ε
→
0
. Т.о., точечный тепловой им-
пульс может быть записан в виде
δ
-функции Дирака:
f
(
x
) =
δ
(
x
−
x
0
)
.
Подставляя записанное в таком виде начальное условие в (194),
получаем решение
u
(
x, t
) =
1
2
a
√
πt
e
−
(
x
−
x
0
)
2
4
a
2
t
,
(199)
которое есть фундаментальное решение
G
(
x, ξ, t
)
при
ξ
=
x
0
. Т.о.,
мы можем утверждать, что функция
G
(
x, ξ, t
−
t
0
) =
1
2
a
p
π
(
t
−
t
0
)
e
−
(
x
−
ξ
)
2
4
a
2
(
t
−
t
0
)
,
(200)
103
104.png)
дает температуру в точке
x
в момент времени
t
, если в начальный
момент времени
t
=
t
0
в точке
ξ
возникает точечный тепловой
импульс. Функция
G
(
x, ξ, t
−
t
0
)
носит название функции влияния
точечного источника для неограниченной области или функции
Грина, с ее помощью решение задачи записывается в виде:
u
(
x, t
) =
∞
Z
−∞
f
(
ξ
)
G
(
x, ξ, t
)
dξ
(201)
104
105.png)
4.3
Решение задачи о теплопроводности для конечного от-
резка
Рассмотрим задачу о теплопроводности на отрезке:
u
t
=
a
2
u
xx
+
g
(
x, t
)
,
(0
< x < l, t >
0)
(202)
Начальное условие
u
(
x,
0) =
f
(
x
)
(203)
и однородные граничные условия
u
(0
, t
) = 0
,
u
(
l, t
) = 0
.
(204)
4.3.1
Однородная задача
Рассмотрим сначала однородную задачу
u
t
=
a
2
u
xx
.
(205)
Будем искать решение в виде
u
(
x, t
) =
X
(
x
)
T
(
t
)
105