ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 979
Скачиваний: 1
61
Рис. 1.8. Построенная гистограмма выборки
Составить отчет по выполненной работе.
Отчет по выполненной работе должен содержать:
– Постановку задачи.
– Сохраненные на переносном носителе
информации файлы
1_1.sta, 1_2.sta, 1_3.sta.
– Описание процесса формирования выборки,
по тому или иному закону распределения, в
зависимости от варианта (см. табл. 1.1).
Конечный файл должен быть сохранен на том
же носителе.
– Вывод о проделанной лабораторной работе.
62
2. ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ.
ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ И ИХ СВОЙСТВА
2.1. Понятие статистической оценки
Пусть задана статистическая модель
F
={F} для схемы
повторных независимых наблюдений над случайной
величиной
и
X
=(X
1
,...,X
n
) - выборка из распределения
L
(
)
F
. Рассматриваются различные функции T=T(
X
) от
выборки, которые являются случайными величинами (т.е. для
которых при всех t определены вероятности F
T
(t)=P{T(
X
)
t}).
Если при этом функция T не зависит от неизвестного
распределения наблюдений, то еѐ называют
статистикой
.
Часто по выборке
X
требуется сделать выводы об истинном
значении g
0
неизвестной теоретической характеристики g=g(F)
наблюдаемой случайной величины. Под этим понимается
задача оценить это значение g
0
, т.е. построить такую
статистику
T(
X
),
значение
которой
t=T(
X
)
при
наблюдавшейся реализации
x
выборки можно считать
разумным приближением ( в каком-то смысле) для g
0
: t
g
0
.
В этом случае, говорят, что статистика T(
X
) есть оценка g.
Так формируется задача точечного оценивания неизвестных
параметров распределений.
Для оценивания характеристики g можно использовать
различные оценки. Чтобы выбрать лучшую, надо иметь
критерий сравнения качества (точности) оценок. Критерии
могут быть разными, но любой критерий определяется
выбором меры точности оценок (меры близости оценки к
истинному значению оцениваемой характеристики). Класс
оценок
ограничивают
некоторыми
дополнительными
требованиями.
Если определѐн некоторый класс оценок
T
g
и выбрана
мера точности, то оценка T
T
g
, oптимизирующая эту меру,
называется оптимальной (в классе
T
g
).
63
Если модель
F
параметрическая:
F
={F(x;
),
}, то
любая теоретическая характеристика является функцией от
параметра
, т.е. речь идѐт об оценивании параметрических
функций, которые обозначаются:
(
). Стремятся, чтобы
области значений оценок T(
X
) и оцениваемой функции
совпадали.
2.2. Состоятельность и несмещенность оценок
Качество
оценок
характеризуется
следующими
свойствами:
1)
состоятельность,
2)
несмещѐнность,
3)
эффективность.
1. Состоятельность.
Оценка
~
~
~
( ,...,
)
n
n
x
x
1
называется
состоятельной оценкой параметра
, если она сходится по
вероятности к параметру
при n
~
n
P
n
Следующая теорема устанавливает достаточное условие
состоятельности
Теорема 2.1. Если математическое ожидание оценки
~
n
стремится к истинному значению параметра
, дисперсия
стремится к нулю при n
(M[
~
n
]
; D[
~
n
]
0, n
), то
~
n
- состоятельная оценка параметра
, т.е.
~
n
P
n
Доказательство: В соответствии с неравенством
Чебышева имеем
P
M
D
n
n
n
~
[
~
]
~
2
64
При n
по условиям теоремы: M[
~
n
]
; D[
~
n
]
0,
т.е.
P
M
n
n
~
[
~
]
0
, а это и есть определение
сходимости по вероятности, т.е.
~
n
P
n
▓.
2. Несмещѐнные оценки.
Любая оценка T=T(
X
) является случайной величиной.
Общим требованием к построению оценок является
требование сосредоточенности распределения T около
истинного значения оцениваемого параметра. Чем выше
степень этой сосредоточенности, тем лучше соответствующая
оценка.
Предположим, что параметр
- скалярный и введѐм
понятие несмещѐнной оценки. Статистика T(
X
) называется
несмещѐнной оценкой
для параметра
, если выполняется
условие
M
[T(
X
)]=
(2.1)
для любого
.
Для оценок, не удовлетворяющих условию (2.1), введѐм
величину
b(
)=M
[T(
X
)]-
,
называемую
смещением
оценки T(
X
). Можно считать, что
несмещѐнные оценки - это такие оценки, для которых
смещение b(
)=0, для любого
.
Величину
M
[(T-
)
2
]=D
[T]+b
2
(
) (2.2)
называют
средним
квадратом
ошибки
или
среднеквадратической ошибкой
оценки T. Для несмещѐнных
оценок среднеквадратическая ошибка совпадает с дисперсией
оценки.
Если оценивается параметрическая функция
(
), то
статистика T=T(
X
) является несмещѐнной оценкой для
(
),
если для любого
выполняется соотношение
M
[T]=
(
)
(2.3)
65
Для класса несмещѐнных оценок можно построить
простую теорию, в которой критерием измерения точности
оценки является еѐ дисперсия. А в некоторых случаях
требование несмещѐнности может оказаться очень "жѐстким"
и привести к нежелательным результатам – отсутствию
оценки.
Простейший метод статистического оценивания –
метод
подстановки
[или аналогии] состоит в том, что в качестве
оценки той или иной числовой характеристики (среднего,
дисперсии
и
др.)
генеральной
совокупности
берут
соответствующую характеристику распределения выборки –
выборочную характеристику.
Пример
: Пусть (x
1
,...,x
n
) выборка
X
из генеральной
совокупности с конечными математическим ожиданием m и
дисперсией
2
. Найти оценку m. Проверить несмещѐнность и
состоятельность полученной оценки.
Решение: По методу подстановки в качестве оценки
~
m
математического ожидания надо взять выборочное среднее.
Таким образом, получаем
~
m x
n
x
i
i
n
1
1
.
Чтобы
проверить
несмещѐнность
и
состоятельность
выборочного среднего как оценки m, рассмотрим эту
статистику как функцию выборочного вектора (X
1
,...,X
n
). По
определению выборочного вектора имеем: M[X
i
]=m и
D[X
i
]=
2
, i=1,2,...,n, причѐм Х
i
- независимые в совокупности
случайные величины.
Следовательно
M X
M
n
X
n
M X
n
n m m
i
i
n
i
i
n
[ ]
[
]
1
1
1
1
1