ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 968
Скачиваний: 1
21
M
M
M X
n
X
X
k
k
k
i
k
i
n
*
( )
1
1
,
(значение выборочного момента
k
i
k
i
n
n
x
x
*
1
1
).
При k=2 величину M
k
называют
выборочной дисперсией
и
обозначают S
2
= S
2
(
X
):
S
M
n
X
X
i
i
n
2
2
2
1
1
.
Замечания.
1.
Выборочные
моменты
являются
случайными
величинами,
поскольку
являются
функциями
выборки.
2.
Выборочные моменты имеют свои функции
распределения и числовые характеристики.
Рассмотрим некоторые характеристики распределения
среднего
X
и S
2
выборки. Так как. X
i
- независимы и
распределены так же, как и наблюдаемая случайная величина
, то
M X
n
MX
M
i
i
n
[ ]
1
1
1
;
D X
n
DX
n
D
n
i
i
n
[ ]
1
1
2
1
2
.
1.5. Асимптотическое поведение выборочных
моментов. Теорема Слуцкого
Рассмотрим поведение выборочных моментов A
k
,
определяемых равенством (1.10) при n
[неограниченном
возрастании n]. Чтобы подчеркнуть зависимость моментов A
k
от n (объема выборки), будем использовать обозначение A
nk
.
Первые два момента случайной величины. A
nk
определяются
следующими
равенствами:
(предполагаем,
что
22
соответствующие моменты наблюдаемой случайной величины
существуют)
n
M
M
n
D
n
DX
n
A
D
M
MX
n
A
M
k
k
k
k
k
n
i
k
i
nk
k
k
n
i
k
i
nk
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
]
[
1
]
[
.(1.11)
На основании неравенства Чебышева отсюда следует, что
A
nk
P
k
при n
.
Таким образом, выборочный момент A
nk
можно
рассматривать в качестве приближенного значения (оценки)
соответствующего теоретического момента
k
, когда число
наблюдений n велико. Аналогичное утверждение справедливо
и для выборочных центральных моментов и вообще для
любых выборочных характеристик, которые имеют вид
непрерывных функций от конечного числа величин A
nk
.
Этот вывод является следствием общей теоремы о
сходимости функций от случайных величин.
Теорема 1.5 (Слуцкого). Пусть случайные величины
)
(
),...,
(
1
n
r
n
сходятся по вероятности при
n
к
некоторым постоянным
r
c
c
,...,
1
соответственно. Тогда для
любой непрерывной функции
)
,...,
1
(
r
x
x
y
случайная величина
)
,...,
1
(
))
(
),...,
(
1
(
)
(
r
c
c
y
P
n
r
n
y
n
.
Доказательство:
Функция
y
непрерывна, поэтому для
любого
0
найдется
)
(
такое,
что
)
,...,
1
(
)
,...,
1
(
r
c
c
y
r
x
x
y
при
i
c
i
x
,
r
i
,
1
.
Введем события
i
c
n
i
i
B
)
(
,
r
i
,
1
. Тогда событие
23
)
1
(
,...,
1
r
i
i
B
B
r
B
B
B
влечет событие
)
(
C
B
C
, где
событие
1
i
C
можно
представить
как
)
,...,
1
(
)
(
r
c
c
y
n
C
.
Отсюда
r
i
i
B
P
r
B
U
U
B
P
B
P
B
P
C
P
1
)
(
1
)
...
1
(
1
)
(
1
)
(
)
(
(1.12)
Далее, из сходимости по вероятности случайной величины
)
(
n
i
имеем, что для данного
и любого γ>0 найдется
)
(
i
n
i
n
такое, что
)
)
(
(
)
(
i
c
n
i
P
i
B
P
γ/r при
i
n
n
.
Пусть
)
,...,
1
max(
0
r
n
n
n
, тогда при
0
n
n
выполняются
все неравенства
r
i
r
B
P
1
)
(
.Следовательно, из формулы
(1.12) получим
0
,
1
)
)
,...,
1
(
)
(
(
n
n
r
c
c
y
n
P
,
отсюда имеем
)
(
)
(
c
y
P
n
при
n
→ ∞, что и требовалось
доказать.▓
1.6. Асимптотическая нормальность выборочных
моментов.
Введем
дополнительные
обозначения.
Если
распределение случайн0й величины
n
сходится при n
к
распределению случайной величины
и при этом
L
(
)=N(m,
2
), то будем писать
L
(
n
)
N(m
n
,
n
2
). Будем
считать, что случайная величина
n
асимптотически нормальна
24
с параметрами m
n
,
n
2
, N(m
n
,
n
2
) и записывать это так
L
(
n
)~N(m
n
,
n
2
). Это означает, что
L
n
n
n
m
N(0,1).
Исследуем распределения выборочных характеристик для
больших выборок (n
). Каждый выборочный момент A
nk
представляет собой сумму n независимых и одинаково
распределенных случайных величин, поэтому к нему можно
применить центральную предельную теорему. Имеет место
следующая теорема.
Теорема 1.6: Выборочный момент A
nk
асимптотически
нормален N(
k
, (
2k
-
k
2
)/n)
Доказательство: Так как (см. формулы (1.11))
MX
i
k
k
;
DX
i
k
k
k
2
2
, то по центральной предельной теореме
L
(
n
)
N(0,1),
где
n
k
k
i
k
i
n
k
k
k
nk
k
n
X
n
n
A
1
2
2
1
2
2
.
Следовательно, случайная величина A
nk
асимптотически
нормальна с параметрами
k
и (
2k
-
k
2
)/n. ▓
Эта теорема позволяет оценивать для больших выборок
вероятность заданных отклонений значений выборочных
моментов от теоретических. Действительно, из этой теоремы
имеем, что при любом фиксированном t>0 и n
P
n
A
t
e
dx
t
k
k
nk
k
x
t
t
2
2
2
1
2
2
1
2
( )
.
В частности, из теоремы 1.6 следует, что выборочное
среднее
X
=A
n1
асимптотически нормально N(
1
,
2
/n).
Отметим, что если
L
(
)=N(
1
,
2
)
, то случайная
величина
X
как сумма независимых нормальных случайных
величин также нормальна с параметрами
1
и
2
/n, т.е. в этом
случае
L
(
X
)=N(
1
,
2
/n) при любом n. Центральные
25
выборочные моменты M
nk
также при n
обладают
свойством асимптотической нормальности.
Задачи и решения
Выборка и способы ее представления
Пусть имеется случайная величина ξ и функция
распределения F
ξ
(x) и некоторый эксперимент. Осуществляя
этот эксперимент мы наблюдаем значение x которое
принимает случайная величина ξ. Осуществив n независимых
испытаний эксперимента, мы получим последовательность
(x
1
,…,x
n
), называемую выборкой объема n из генеральной
совокупности с функцией распределения F
x
(x).
Расположив величины (x
1
,…,x
n
) в порядке возрастания
получим вариационный ряд x
1
<x
2
<... <x
n
. Размахом выборки
называется величина w=x
n
-x
1
.
Из исходной выборки сформируем выборку (z
1
,…,z
k
), где
z
i
встречается в исходной выборке n
i
раз (i=1,…,k). Число n
i
называется частотой элемента z
i
.
k
1
i
i
n
n
Статистическим рядом называется последовательность
пар (z
i
,n
i
), его представляют в виде таблицы:
z
i
z
1
z
2
… z
k
n
i
n
1
n
2
… n
k
При большом объеме выборки ее элементы объединяются в
группы (разряды) и результаты опытов представляются в виде
группированного статического ряда. Для этого интервал,
содержащий все элементы выборки , разбивается на k не
пересекающихся интервалов. Для упрощения, обычно длины
интервалов выбирают одинаковыми. В этом случае длину