ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 342
Скачиваний: 1
16
y
x
y
x
a
y
f
x
f
−
≤
−
−
=
−
2
1
)
1
(
2
1
)
(
)
(
2
ξ
.
Поэтому
существует
единственное
решение
Q
x
∈
*
уравнения
x
x
f
=
)
(
,
то
есть
уравнения
x
x
a
x
=
+
)
(
2
1
или
a
x
=
2
.
Таким
образом
,
последовательность
n
x
действительно
сходится
к
a
.
При
этом
справедлива
оценка
скорости
сходимости
0
2
0
0
1
2
1
)
2
1
1
(
2
1
x
a
x
x
x
a
x
n
n
n
−
=
−
−
≤
−
.
Пример
2.
Доказать
,
что
уравнение
1
2
=
t
te
имеет
единственное
решение
в
интервале
)
1
,
0
(
.
Оценить
количество
приближений
для
его
вычисления
с
точностью
до
2
10
−
.
Решение
.
Запишем
уравнение
в
виде
2
t
e
t
−
=
и
рассмотрим
отображение
2
)
(
t
e
t
f
−
=
.
Очевидно
,
что
f
монотонно
убывает
и
для
]
1
,
0
[
∈
t
выполняются
неравенства
1
2
1
)
0
(
)
(
)
1
(
2
1
0
<
=
≤
≤
=
<
f
t
f
f
e
,
т
.
е
.
f
отображает
отрезок
]
1
,
0
[
в
себя
.
Так
как
2
1
2
)
(
≤
=
′
−
t
e
t
f
,
то
согласно
формуле
Лагранжа
f
-
сжимающее
отображение
и
,
следовательно
,
имеет
вид
на
]
1
,
0
[
единственную
неподвижную
точку
,
т
.
е
.
данное
уравнение
имеет
единственное
решение
]
1
,
0
[
*
∈
t
.
Так
как
1
,
0
=
=
t
t
не
удовлетворяет
уравнению
,
то
)
1
,
0
(
*
∈
t
.
Это
решение
может
быть
получено
методом
последовательных
приближений
,
начиная
с
любого
)
1
,
0
(
0
∈
t
.
Справедлива
оценка
погрешности
0
1
0
1
1
*
2
2
1
2
1
0
t
e
t
t
t
t
t
n
n
n
−
=
−
≤
−
−
−
−
.
В
частности
,
для
0
0
=
t
имеем
2
*
10
2
−
−
<
≤
−
n
n
t
t
.
Отсюда
2
10
2
>
n
,
или
2
2
lg
≥
n
,
т
.
е
.
2
]
2
2
lg
[
=
>
n
.
17
Задания
для
самостоятельного
решения
1.
Доказать
,
что
последовательность
цепных
дробей
,...
2
1
2
1
2
,
2
1
2
,
2
+
+
+
имеет
предел
и
найти
его
.
2.
Доказать
,
что
для
любых
]
1
,
0
[
∈
a
последовательные
приближения
0
,
2
/
)
(
0
2
1
=
−
−
=
+
x
a
x
x
x
n
n
n
сходятся
к
a
.
3.
При
каком
0
>
a
последовательность
,...
,
,
a
a
a
a
a
a
+
+
+
имеет
предел
?
Найдите
его
.
4.
Доказать
,
что
последовательные
приближения
:
a)
1
,
2
0
1
=
+
=
+
t
t
t
t
n
n
n
; b)
5
,
2
)
5
(
0
2
1
=
+
=
+
t
t
t
t
n
n
n
имеют
предел
и
найти
его
.
5.
Является
ли
сжимающим
отображение
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
1
2
1
2
1
05
.
0
2
.
0
8
.
0
7
.
0
x
x
x
x
x
x
плоскости
в
себя
в
2
2
2
1
2
,
,
R
R
R
∞
.
6.
Показать
,
что
следующие
уравнения
имеют
единственное
решение
:
a)
x
x
x
sin
4
1
1
8
1
2
+
+
=
; b)
1
)
sin
3
(
=
+
t
t
; c)
x
x
arctg
x
cos
4
1
2
1
+
=
.
4.
Решение
интегральных
уравнений
Фредгольма
и
Вольтерры
второго
рода
методом
последовательных
приближений
Уравнение
)
(
)
(
)
,
(
)
(
t
f
ds
s
x
s
t
K
t
x
b
a
+
=
∫
λ
(1)
18
называется
интегральным
уравнением
Фредгольма
второго
рода
.
Здесь
λ
-
числовой
параметр
,
)
,
(
),
(
s
t
K
t
f
-
заданные
функции
переменных
)
(
],
,
[
,
t
x
b
a
s
t
∈
-
искомая
функция
.
Рассмотрим
два
случая
:
a)
]
,
[
b
a
C
f
∈
и
]
,
[
]
,
[
b
a
b
a
C
K
×
∈
; b)
]
,
[
2
b
a
L
f
∈
и
]
,
[
]
,
[
2
b
a
b
a
L
K
×
∈
.
Метод
последовательных
приближений
решения
уравнений
(1)
состоит
в
построении
последовательности
,...,
2
,
1
,
0
),
(
)
(
)
,
(
)
(
1
=
+
=
∫
+
n
t
f
ds
s
x
s
t
K
t
x
b
a
n
n
λ
(2)
начиная
с
произвольно
выбранной
функции
]
,
[
0
b
a
C
x
∈
в
случае
а
)
и
]
,
[
2
0
b
a
L
x
∈
в
случае
b).
Если
выполнено
условие
сжатия
1
<
q
,
где
q
вычисляется
в
случаях
а
)
и
b)
по
формулам
,
)
)
,
(
(
)
,
)
,
(
max
)
2
1
2
∫∫
∫
≤
≤
=
b
a
b
a
b
a
b
t
a
dtds
s
t
K
b
ds
s
t
K
q
a
λ
λ
то
)
(
t
x
n
сходятся
к
решению
)
(
*
t
x
в
соответствующих
пространствах
.
При
этом
справедлива
оценка
погрешности
0
1
*
1
x
x
q
q
x
x
n
n
−
−
≤
−
.
Уравнением
Вольтерры
называется
частный
случай
уравнения
Фредгольма
вида
)
(
)
(
)
,
(
)
(
t
f
ds
s
x
s
t
K
t
x
t
a
+
=
∫
λ
. (3)
Последовательные
приближения
,
построенные
для
уравнения
(3),
в
отличие
от
уравнения
Фредгольма
,
сходятся
при
любом
значении
λ
к
единственному
решению
уравнения
Вольтерры
.
Пример
1.
Решить
интегральное
уравнение
t
ds
s
tsx
t
x
6
5
)
(
2
1
)
(
1
0
+
=
∫
.
19
Решение
.
Проверим
,
что
выполнено
условие
разрешимости
этого
уравнения
в
пространстве
]
1
,
0
[
С
.
Действительно
,
1
4
1
2
1
2
1
max
2
1
1
0
1
0
<
=
⋅
=
=
∫
≤
≤
tsds
q
t
.
Положим
0
)
(
0
≡
t
x
.
Тогда
)
6
1
1
(
6
5
)
(
,
6
5
)
(
2
1
+
=
=
t
t
x
t
t
x
.
По
индукции
докажем
,
что
справедливо
представление
)
6
1
...
6
1
1
(
6
5
)
(
)
1
(
−
+
+
+
=
n
n
t
t
x
. (4)
Для
2
=
n
эта
формула
верна
.
Предположим
,
что
для
всех
номеров
до
n
-
го
порядка
она
справедлива
и
проверим
ее
для
1
+
n
.
Имеем
=
+
+
+
+
=
−
+
∫
t
ds
s
s
t
t
x
n
n
6
5
)
6
1
...
6
1
1
(
6
5
2
1
)
(
)
1
(
1
0
1
).
6
1
...
6
1
1
(
6
5
6
5
2
1
)
6
1
...
6
1
1
(
6
5
1
0
2
)
1
(
n
n
t
t
ds
s
t
+
+
+
=
+
+
+
+
∫
−
Таким
образом
,
представление
(4)
справедливо
.
Поэтому
t
t
t
t
x
t
x
k
k
n
n
=
−
⋅
=
=
=
∑
∞
=
∞
→
6
1
1
1
6
5
6
1
6
5
)
(
lim
)
(
0
*
.
Проверка
показывает
,
что
решение
найдено
верно
.
Выпишем
оценку
погрешности
n
-
го
приближения
:
n
C
n
C
n
t
x
x
4
9
10
6
5
)
4
1
1
(
4
1
]
1
,
0
[
]
1
,
0
[
*
⋅
=
−
≤
−
.
Пример
2.
Решить
уравнение
ds
s
x
ts
t
x
∫
+
=
1
0
2
)
(
3
1
)
(
. (5)
Решение
.
Условие
разрешимости
в
]
1
,
0
[
C
не
выполняется
,
так
как
20
.
1
3
1
3
max
3
1
0
2
1
0
=
⋅
=
=
∫
≤
≤
ds
s
t
q
t
Но
условие
разрешимости
в
]
1
,
0
[
2
L
выполнено
,
поскольку
,
1
)
5
1
3
1
(
3
)
(
3
2
1
2
1
1
0
1
0
4
2
<
⋅
=
=
∫∫
dtds
s
t
q
что
гарантирует
существование
единственного
решения
]
1
,
0
[
2
*
L
x
∈
уравнения
(5).
Найдем
его
методом
последовательных
приближений
.
Положим
1
)
(
0
=
t
x
,
тогда
t
t
x
+
=
1
)
(
1
,
)
4
3
1
(
1
)
(
2
+
+
=
t
t
x
.
С
помощью
математической
индукции
нетрудно
убедиться
,
что
t
t
t
t
x
n
k
k
n
4
1
4
3
1
1
1
)
4
3
(
1
)
(
1
0
+
=
−
+
=
+
=
∑
−
=
.
Поэтому
t
t
t
t
x
k
k
4
1
4
3
1
1
1
)
4
3
(
1
)
(
0
*
+
=
−
+
=
+
=
∑
∞
=
.
Оценим
погрешность
n
-
го
приближения
.
Получим
3
15
1
)
5
3
(
3
15
15
)
15
3
(
2
1
*
]
1
,
0
[
2
]
1
,
0
[
2
−
=
−
≤
−
−
n
L
n
L
n
t
x
x
.
Пример
3.
Решить
уравнение
Вольтерры
ds
s
x
s
t
t
t
x
t
∫
−
−
=
0
)
(
)
(
)
(
.
Решение
.
Это
уравнение
имеет
единственное
решение
)
(
*
t
x
.
Вычислим
последовательные
приближения
.
Положим
0
)
(
0
=
t
x
,
тогда
t
t
x
=
)
(
1
,
!
3
)
3
1
2
1
(
3
2
)
(
)
(
3
3
3
2
0
2
t
t
t
t
t
t
t
t
sds
s
t
t
t
x
t
−
=
−
−
=
+
⋅
−
=
−
−
=
∫
.
Покажем
,
используя
метод
индукции
,
что
)!
1
2
(
)
1
(
...
!
5
!
3
)
(
1
2
1
5
3
−
−
+
−
+
−
=
−
−
n
t
t
t
t
t
x
n
n
n
. (6)