ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.10.2023
Просмотров: 344
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Вероятно, одной из основных причин отказа от постановки соответствующей задачи является сложность измерения соотношений между расстояниями. Мы зачастую априори полагаем, что если нам нужно оценить порядок между (а-Ь)и (с - d)(а, Ь, с, d — произвольные шкалируемые объекты), то сделать это можно только путем постановки перед респондентом "лобового" вопроса типа: "Что, с Вашей точки зрения, больше — разность (а - Ь) или разность (с - )?" А на этот вопрос иногда ответить бывает весьма затруднительно (однако при умелом проведении исследования соответствующие ответы бывает возможно получить [Дэйвисон, 1988]).
Заслуга Кумбса состоит не только в том, что он показал разумность постановки описанной задачи. Он продемонстрировал также практическую доступность ее решения. Ведь входом метода одномерного развертывания служит информация, которую получает, вероятно, каждый социолог, — ранжировки объектов.-Надежность же выхода определяется только тем, принимаем ли мы используемую Кумбсом модель восприятия.
Еще один методический момент, который нам хотелось бы отметить, касается яркого показа того, что для социологии естественными являются шкалы, занимающие промежуточное положение между порядковыми и интервальными. Представляется очевидным, что такое положение действительно характерно для тех описанных выше оценочных шкал, которые дают возможность установить отношения частичного порядка для расстояний между объектами (вспомним, что пока мы отождествляли тип шкалы с теми эмпирическими отношениями, которые отображаются в числовые при измерении; несколько иначе мы подойдем к определению типа шкалы в следующем разделе).
Последний методический аспект состоит в демонстрации роли выбора исследователем модели восприятия. Мы уже неоднократно отмечали, что такая модель "стоит" за каждым методом измерения и что социолог должен давать себе отчет в том, какова эта модель, если он хочет, чтобы осуществляемое им измерение действительно отражало какую бы то ни было реальность. Однако при рассмотрении других методов измерения мы с определенным трудом "вытаскивали" подобную модель на показ читателю. Здесь же она явно определяется. Четко вырисовывается ее роль в построении шкалы. И становится совершенно ясно, что при несогласии с этой моделью метод применять нельзя (точнее, не соглашаясь с моделью, нельзя соглашаться и с результатами измерения, осуществленного с помощью рассматриваемого подхода). Представляется, что такая наглядность должна заставить исследователя иначе, более серьезно взглянуть на роль подобных моделей и в других ситуациях.
Именно здесь представляется уместным коротко сказать о том, как метод одномерного развертывания задействован в реализации основной усматриваемой нами во всех рассматриваемых методах идеи: соединения "мягкого" и "жесткого", "качественного" и "количественного". Конечно, то, что мы "принудительно" заставляем респондента ранжировать объекты — жесткий подход (выше мы неоднократно говорили о том, что он может быть неадекватен реальности, но здесь считаем, что ранжировкам можно верить — это тоже часть модели, "стоящей" за нашим методом, модели восприятия). Но, анализируя их, мы действуем "мягко" — не считаем, какой объект больше всего респондентов поставили на такое-то место, не усредняем ранги, приписанные одному объекту (как мы уже говорили, эти приемы нередко уводят нас в сторону от реальных мнений людей).
Кумбсовский подход позволяет более тонко учитывать настрой отдельного человека, правда, здесь надо добавить: при построении усредненных (по всей совокупности респондентов) оценок рассматриваемых объектов. Вследствие этого здесь особую остроту приобретает еще одна проблема, упомянутая выше:-проблема однородности той совокупности респондентов, мнение которых мы фактически агрегируем (напомним, что "мягкими", адекватными должны быть не только способ опроса каждого индивида, но и способ усреднения мнений разных людей, и подход к определению множества тех респондентов, чьи мнения мы имеем право усреднять).
В заключение обсуждения методических аспектов метода одномерного развертывания заметим, что соответствующий подход, будучи обобщенным на многомерный случай, является основой одной из ветвей многомерного шкалирования — многомерного развертывания [Интерпретация и анализ..., 1987, гл. 8; Клигер и др., 1978, гл. 4].
1 ... 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Раздел 3 ОСНОВАНИЯ ТИПОЛОГИЙ ШКАЛ, ПРЕДЛОЖЕННЫХ КУМБСОМ
Глава 10. ТИПОЛОГИЯ, ОСНОВАННАЯ НА СТЕПЕНИ УПОРЯДОЧЕНИЯ ОБЪЕКТОВ И РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ НИМИ
Известно довольно много типологий шкал, использующихся в социологии. В разделе 4 будет рассмотрена самая популярная типология, восходящая к Стивенсу. Можно назвать ряд весьма полезных для социолога типологий, которых мы не будем касаться. Это, например, типологии, отраженные в работах [Torgerson, 1957; Косолапое, 1984].
Типологии Кумбса представляются нам наиболее интересными. Кумбс сумел увидеть в способностях респондента оценивать те или иные объекты то, что до него никто не увидел, осуществил глубокий анализ специфики социологических данных. И это нашло отражение в разработке оснований многочисленных предложенных им типологий социологических шкал.
Говорить о полноценной типологии мы не можем, так как коснулись слишком малого количества шкал: если выделяемые на основе предложенных оснований классы рассматривать как некие "полочки", на которые шкалы должны быть "уложены", то на многие из "полочек" нам просто нечего будет положить, поскольку о соответствующих шкалах мы в данной книге даже не упоминаем.
Но рассмотрение оснований типологии представляется имеющим смысл само по себе. В этих основаниях отразилось видение автором специфики социологической информации, и их анализ может многое дать социологу. Внимательно отнесясь к мнению Кумбса, он поймет,во-первых, что наличие соответствующих аспектов в человеческих представлениях имеет смысл учитывать в своей работе, и, во-вторых, что такой учет можно практически осуществить. А это, как мы увидим, может привести социолога к использованию многих нетрадиционных, но весьма полезных подходов к измерению.
10.1. Отношение порядка и его искажение респондентом
В своих классификациях Кумбс обращал особое внимание на отношение порядка между рассматриваемыми объектами. И это представляется естественным. На наш взгляд, это отношение является одним из ключевых при "ориентации" человека в окружающем мире. Человеческая жизнь фактически состоит из непрерывной цепочки принятия решений, которые мы принимаем автоматически: встать утром рано, или проспать занятия, съесть на завтрак бутерброд с маслом или с сыром, обойти лужу или пойти напрямик и т.д. Делать это человек может только при наличии определенного упорядочения окружающих объектов в его сознании. Рассмотрим более подробно, что такое отношение порядка.
Пока мы опирались на интуитивное понимание названного отношения. Но для того, чтобы говорить о предложенных Кумб-сом основаниях классификации социологических данных, необходимо четко обрисовать свойства отношения порядка. Сделаем это, вспомнив, как оно определяется в математике (математика строго формулирует то, что диктует нам здравый смысл).
Говорят, что на некотором множестве задано бинарное отношение порядка < (этот знак — общепринятое "имя" отношения порядка; бинарность отношения означает то, что в это отношение "вступают" два объекта; если говорить более точно, ниже мы определяем отношение строгого порядка; отношение простого порядка обозначается < и определяется несколько иначе), если, во-первых, оно определено для любых двух объектов этого множества (т.е. для любых двух объектов можно сказать, выполняется ли для них соотношение а<Ь,либо соотношение Ь<а; заметим, что, в соответствии с традицией, в случае выполнения соотношения а<Ьговорят, что объект а меньше объекта Ь),а если, во-вторых, для трех произвольных объектов а, Ь, с из заданного множества выполняются следующие условия:
соотношения а<Ьи Ь<а не могут выполняться одновременно (антисимметричность);
если выполняются соотношения а<Ьи*Ь<с,то выполняется также и соотношение а<с(транзитивность).
Отметим, что всем этим свойствам шкальные значения наших объектов будут удовлетворять, если они будут получены по порядковой шкале.
В п. 6.1 мы уже упоминали, что сформулированные соотношения далеко не всегда выполняются в случаях, когда упорядочение объектов производится человеком. Кумбс вместе с соавторами изучил и систематизировал соответствующие ситуации [Coombs, Raiffa, Thrall, 1954].
Обнаружилось, что вводимое респондентами на множестве рассматриваемых объектов отношение порядка может не удовлетворять условию антисимметричности, и в то же время удовлетворять условию транзитивности и наоборот; может не удовлетворять ни одному из названных условий и удовлетворять обоим. Кроме того, на это накладывается еще возможность того, что порядок может быть лишь частичным: для некоторых объектов оказывается невозможным определить, который из них больше (частичному порядку уделяется определенное внимание российскими авторами [Ядов, 1995; Саганенко, 1979]).
Кумбс с соавторами перечислили классы практически встречающихся (в социально-психологических исследованиях) эмпирических систем соответствующего плана, сопроводив это перечисление яркими примерами. Система таких классов сама явила собой частично упорядоченное множество (отношение порядка на нем определяется естественным образом: один класс "меньше" другого, если первый включается во второй).
Мы не будем здесь приводить соответствующую схему из-за недостатка места, и из-за того что рассмотрели не все проанализированные названными авторами особенности "социологического" отношения порядка (они учитывали не только строгое отношение порядка <, но и нестрогое <=). Отметим лишь, что в западной литературе проблеме "искажения" отношения порядка в эмпирических социально-психологических ЭС уделяли довольно большое внимание разные авторы [Fishburn, Gehrline, 1975; Luce, 1956].
10.2. Основания типологии
Мы уже неоднократно говорили о возможности и важности получения от респондентов информации, связанной, с одной стороны, с упорядочением как объектов, так и расстояний между ними, и, с другой стороны, как с полным, так и с частичным упорядочением чего бы то ни было. Поэтому представляется целесообразным предложить читателю внимательно отнестись к следующим основаниям, предложенным Кумбсом для одной из типологий шкал. Эта типология описана в [Осипов, Андреев, 1977, с. 61— 62].
Первое основание. Что упорядочивается: 1)объекты; 2) расстояния между ними.
Второе основание. Степень упорядочения: 1) упорядочение отсутствует (номинальная шкала); 2) частичное упорядочение; 3) полное упорядочение.
Кумбс предложил типы шкал называть двумя терминами: первый должен относиться к объектам, второй — к расстояниям между ними. Были рассмотрены типы: номинальная—номинальная шкала (т.е. шкала, с помощью которой не упорядочиваются ни объекты, ни расстояния между ними); номинальная — частично упорядоченная шкала (объекты измерены по номинальной шкале, а расстояния — частично упорядочены); номинальная — вполне упорядоченная шкала (объекты измерены по номинальной шкале, а расстояния — по порядковой); частично упорядоченная — номинальная шкала и т.д.
Заметим, что с помощью метода одномерного развертывания, примененного к ситуации с четырьмя и более объектами, мы получаем, вообще говоря, шкалу с названием "вполне упорядоченная — частично упорядоченная". Названию "вполне упорядоченная — вполне упорядоченная" отвечает наша интервальная шкала.
Важно подчеркнуть, что знакомых нам номинальной и порядковой шкал среди кумбсовских шкал нет. Перечисленные шкалы с двойными наименованиями требуют, чтобы расстояния были измерены хотя бы по номинальной шкале, т.е. чтобы было известно хотя бы, какие из них равны друг другу, а какие нет. Для обычных номинальной и порядковой шкал этого не требуется. Ни та, ни другая не предусматривают отображения каких бы то ни было эмпирических отношений между расстояниями в математические.
В последнем предложении мы не случайно применительно к отображению отношений между расстояниями вместо термина "числовой" упомянули термин "математический". Важно подчеркнуть, что большинство перечисленных шкал в принципе не являются числовыми: соответствующие отношения, как бы мы ни старались, невозможно смоделировать с помощью чисел. Это касается в первую очередь отношений частичного порядка как между объектами, так и между расстояниями.
Глава 11. ТИПОЛОГИЯ, ОСНОВАННАЯ НА ПРОЦЕДУРАХ ОПРОСА И МОДЕЛЯХ ВОСПРИЯТИЯ
11.1. Зависимость ответа респондента от процедуры опроса. Классификация процедур
Указанная зависимость неоднократно рассматривалась в литературе [Ноэль, Ι993; Мосичев, 1996; Schuman, Presser, 1996]. Известно, что ответ респондента определяется многими моментами, характеризующими способ постановки вопроса в анкете: местом — в начале или конце перечня возможных ответов на вопрос стоит рассматриваемая альтернатива, количеством предлагаемых ответов, длиной и терминологической насыщенностью вопроса и т.д. Один из примеров приведен в п. 1.2 со ссылкой на статью [Согомонов, Толстых, 1989]. За этим стоит большая и серьезная проблема. Она не является предметом нашего специального анализа. Но мы ее должны упомянуть, рассматривая одну из предложенных Кумбсом типологий шкал.
Свое видение соответствующей проблематики Кумбс отразил в предложенной им классификации процедур опроса. Она коротко описана в отечественной литературе [Клигер и др., 1978, с. 49-51, Осипов, Андреев, 1977, с. 100-103].
Классификация касается практически всех процедур, обычно использующихся социологами. Сам перечень процедур говорит о том, какие именно обстоятельства Кумбс считал влияющими на характер ответа респондента. Опишем классификацию.
Первая группа процедур касается самих оцениваемых объектов.
1. Оценка объектов:
а) числовая оценка; имеется в виду ситуация, когда исследователь просит респондента, скажем, приписать каждой телепередаче из некоторого перечня число от 1 до 7 в зависимости от того, насколько эта передача ему нравится: если очень нравится, приписать 1, если нравится, но не очень, то — 2 и т.д., если совсем не нравится — то 7;
б) вербальная оценка; имеется в виду сходный опрос, но рес-
понденту предлагается не приписывать число передачам, а ука-
зать, с каким из перечисленных выражений относительно каждой
передачи он согласен: "Передача мне очень нравится", "Передача
мне нравится, за исключением отдельных моментов", "Пере-
дача мне совсем не нравится" (те же эмоции могут быть выраже-
ны и другими словами);
в) графическая оценка; тот же опрос сводится к тому, что
респонденту предлагают отрезок прямой от 1 до 7 (пределы мо-
гут быть изменены), полюсы которого отождествляются, соот-
ветственно, с высказываними "Эта передача мне очень нравит-
ся" и "Эта передача мне совсем не нравится" и просят указать
место каждой конкретной передачи на этом отрезке.
2. Сравнение объектов:
а) ранжирование; респонденту предлагается проранжировать
те же телепередачи;
б) сравнение в парах; это процедура, которую мы в главе 6
назвали методом парных сравнений (рассматриваемым как ме-
тод сбора данных).
Как мы видим, действительно, речь идет о самых популярных способах опроса.
Следующая группа процедур касается пар объектов. Процедуры те же, но относятся не к объектам, а к всевозможным парам, составленным из них. Эти процедуры не распространены в отечественных исследованиях. Поэтому прежде всего поясним, зачем такие, вроде бы экзотические, процедуры сбора данных нужны социологу.
В главе 9 мы уже говорили о том, что для социолога часто бывает весьма полезно знать мнение респондентов о соотношении расстояний между оцениваемыми объектами: анализ этих соотношений важен и сам по себе (тем более, что соответствующая информация иногда бывает более надежна, чем оценка (сравнение) самих объектов), и потому, что он может послужить основой многомерного шкалирования — эффективного метода, позволяющего достаточно глубоко проанализировать пространство восприятия каждого респондента. К сожалению, здесь мы не имеем возможности на этом остановиться. Ограничимся лишь напоминанием, что "входом" для этих методов служит матрица близостей для шкалируемых объектов. А она легко получается именно на основе обсуждаемых процедур сбора первичных данных (иногда, правда, эти данные предварительно надо определенным образом преобразовать).
Там же мы оговаривали, что соотношения между расстояниями могут быть получены в результате прямого опроса респондентов, если этот опрос умело организовать. И сейчас мы говорим по существу о способах такой организации. Конечно, способы работы с респондентами в рассматриваемом случае ближе к тем, которые приняты в психологии, чем к тем, которые привычны социологу. Но подобные опросы реально проводятся при сборе данных для многомерного шкалирования. Техника их проведения подробно описана в соответствующей литературе [Дэйвисон, 1988].
Приведем примеры того, как могут быть сформулированы вопросы анкеты, принадлежащие к рассматриваемому кумбсов-скому типу.
1. Оценка пар объектов:
а) числовая оценка — исследователь предлагает респонденту всевозможные пары объектов и просит приписать каждой паре число от 1 до 7 в зависимости от того, насколько, по его мнению, эти объекты близки друг другу в каком-либо отношении (например: "если телепередачи изданной пары нравятся (не нравятся) Вам совершенно в одинаковой степени, припишите этой паре значение 1", "если, по Вашему мнению, передачи этой пары вызывают разные симпатии, припишите паре значение 7".
Аналогично строятся анкеты, реализующие пп. "б" и "в" для пар объектов.
2. Сравнение пар объектов:
а) ранжировка пар объектов — исследователь предлагает рес-
понденту проранжировать пары телепередач в зависимости от того,
насколько, по его мнению, передачи каждой пары похожи с точ-
ки зрения их художественного качества. На первое место надо
поставить пару, состоящую из передач, максимально схожих друг
с другом, на последнее — пару, элементы которой по своим ху-
дожественным свойствам не имеют друг с другом ничего общего;
б) сравнение пар в парах — исследователь просит респонден-
та сказать, какие передачи ближе друг к другу, — а и bv\m с и d.
11.2. Модели восприятия
О моделях восприятия, учитываемых в рассматриваемой типологии, мы фактически уже говорили. Они описаны в п. 9.3. Это векторная модель и модель идеальной точки. Именно они и были положены Кумбсом в основу рассматриваемой нами типологии. Заметим, что, будучи обобщенными на многомерный случай, эти модели, как и другие идеи Кумбса, послужили одним из тех оснований, на котором было выстроено мощное здание многомерного шкалирования. Два рассмотренных вида моделей восприятия легли в основу двух ветвей этого подхода: собственно МШ и многомерного развертывания.
Раздел 4
ФОРМАЛИЗОВАННАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
Глава 12. РОЛЬ ФОРМАЛИЗМА В РАЗВИТИИ НАУКИ
12.1. Формализация как достижение науки
Коснемся^ заявленного в заголовке вопроса, не вдаваясь глубоко в суть соответствующей проблематики.
Прежде всего — несколько слов о понятии формализации.
Ясно, что описание какого-либо фрагмента реальности с помощью математического языка — это формализация. Однако понятие формализации шире. В него можно включать, скажем, переход к использованию формальной логики. Более того, этапу математизации, переводу представлений исследователя на математический язык неизбежно предшествует этап определенной "доматематической", логической (в обыденном смысле этого слова) формализации, размещению этих представлений "по полочкам", т.е. внесению той четкости, без которой невозможна математика (вспомним, например,какие рассуждения мы использовали в главах 5 и 6, прежде чем выразили мнение одного человека об одном оцениваемом объекте в виде определенного нормального распределения).
Очевидно, что подобная логическая формализация может и не иметь своей целью образование базиса для математизации представлений исследователя о реальности (хотя, как мы отмечали в п. 3.3, математический подход возможен там, где формализация достаточно четкая).
Заметим, что ядром процесса формализации всегда служит выделение каких-то сторон реальности. А такое выделение является отражением модельных представлений, иногда довольно сильных (началом процесса моделирования в реальных социологических исследованиях чаще всего служит переход к "мышлению признаками", о чем мы уже говорили в п. 1.3). Уточняя свойства выделенного фрагмента, мы снова фактически пользуемся моделями. Поэтому термины "модель", "моделирование" далее, при обсуждении проблем, связанных с формализацией, будут активно использоваться.
"Доматематический" этап формализации иногда называют построением качественной модели изучаемого явления, математический этап связывают с количественной моделью. Но мы и здесь выскажем свое негативное отношение к использованию в таком смысле названной пары терминов,поскольку совершенно неясно, где провести границу между качественной и количественной моделями. Будем просто говорить о формализации и ее этапах.
Сама возможность формализации научных представлений о любом предмете свидетельствует о достижении достаточно высокого уровня знания. Ввести какой бы то ни было формализм — значит иметь довольно четкое представление о том, что мы изучаем. Пока такой четкости нет, никакой формализм невозможен.
В большинстве известных нам наук рано или поздно использовалась формализация хотя бы каких-то их фрагментов (это касается не только социологии, но и таких наук, как психология, демография, социальная статистика, лингвистика, история, логика, философия и даже литературоведение).
Будучи как бы материальным воплощением научных представлений, достигнутых рассматриваемой ветвью науки к определенному моменту, формализация, несомненно, играет огромную положительную роль. Она дает возможность четко обрисовать круг уже достигнутых результатов, выявить совокупность нерешенных задач, сформировать представления о возможных направлениях их решения и т.д. Другими словами, успешно осуществленная формализация — это знак того, что рассматриваемый фрагмент науки в достаточной мере похож на науку. (Отметим, что в советской философской литературе анализу роли формализации в познании уделялось довольно большое внимание [Гносеологические проблемы формализации, 1969].)
Формализация понятия измерения в социологии олицетворяется в так называемой репрезентационной теории измерений (РТИ), о которой пойдет речь в главе 14. Эта формализация позволила систематизировать соответствующие представления, что дало возможность, с одной стороны, решить ряд стоящих перед социологической практикой задач (п. 14.1), а с другой — выявить минусы этих представлений, определить, какие социологические ситуации остались не учтенными формализмом (п. 14.2), и наметить пути включения этих представлений в общую теорию (п. 14.3).
12.2. Недостатки формализации
Всякий формализм, каким бы "хорошим" (адекватным реальности) он ни был, не может полностью, раз и навсегда удовлетворить исследователя уже в силу самой своей сути, поскольку любая формальная конструкция отражает лишь какую-то часть реальности. На каком-то этапе, при решении какого-то класса задач этого отражения может быть достаточно. Прогнозы, получающиеся на основе соответствующего моделирования, оказываются более или менее оправдывающимися (это и служит проверкой качества модели). Но история науки говорит о том, что такое благодушное положение — до поры до времени. В какой-то момент становится ясно, что формализм учел не все. Что-то существенное оказалось "за бортом". Ученые ищут новый формализм (расширяют имеющийся). И все начинается снова. Далее мы покажем, какие важные для социолога моменты не учитываются формализмом РТИ и предложим направление его изменения (сами же принципы РТИ нам в этом помогут).
1 ... 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Глава 13. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПОНЯТИЯ
СОЦИОЛОГИЧЕСКОГО ИЗМЕРЕНИЯ
13.1. Предыстория вопроса
Проблема измерения в науке серьезно начала интересовать ученых примерно во второй половине XIX века. Сначала все рассмотрения велись в рамках так называемого классического подхода — подхода, опирающегося на предположение о существовании единицы измерения. Здесь было достаточно проблем, с особенной остротой вставших в конце XIX — начале XX века, в связи с возникновением известного кризиса в науке.
Этот кризис затронул и естественные (революция в физике, крах механистического детерминизма), и гуманитарные науки (антипозитивизм, понимающая психология и социология), и математику (парадоксы теории множеств, проблемы оснований математики). В русле попыток преодоления этого кризиса лежало появление новых разработок, направленных как на совершенствование классических представлений об измерении (что привело к созданию новой науки — метрологии; см. [Маликов, 1966; Свириденко, 1971; Фридман, 1965]), так и на принципиальное расширение этих представлений, позволяющее учесть потребность гуманитарных наук (результатом явилось создание РТИ).
Основной причиной внимания к проблемам, связанным с осмыслением природы измерения в гуманитарных науках, служило осознание того, что соответствующая процедура очень часто не предполагает наличия единицы измерения. Но четких представлений об измерении, не использующем сравнения измеряемых объектов с неким эталоном, в науке долгое время не было.
Положение изменилось в начале XX века, когда постепенно начал вырисовываться новый подход к пониманию измерения. Сначала он был связан с простым допущением самой возможности приписывания объектам чисел по каким-то правилам, не связанным с использованием единицы измерения [Campbell, 1928, 1957; Russel, 1937]. Однако измерением такое приписывание называлось далеко не всегда.
Термин "измерение" поначалу применился только для так называемых аддитивных признаков. Аддитивность признака означала, что для изучаемых свойств объектов (отвечающих отдельным значениям признака) имеется отношение порядка и определена физическая операция их соединения. Предполагалось, что в процессе измерения приписывание чисел происходит таким образом, чтобы порядку свойств соответствовал естественный порядок чисел, а физическому процессу соединения свойств отвечала операция сложения чисел. (Заметим, что физической операции сложения ученые уделяли внимание еще в прошлом веке: именно тогда было четко, на математическом языке сформулировано, что это такое [Гельмгольц, 1893; Holder, 1901]; этими формулировками пользовался, в частности, и Кемпбелл.)