ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 949
Скачиваний: 1
той же энергией (для простоты) и различными по направлению им-
пульсами
p
1
и
p
2
(модули которых одинаковы):
Ψ(
r
) =
C
1
e
i
p
1
r
/
}
+
C
2
e
i
p
2
r
/
}
(1.14)
(временной множитель опущен). При
p
1
6
=
p
2
функцию (1.14) невоз-
можно привести к виду (1.4), т. е. состоянию, являющемуся суперпо-
зицией волн де Бройля,
нельзя приписать определенное значение им-
пульса
.
1.4.
Нормировка волн де Бройля
Как уже говорилось, волну де Бройля (1.4) невозможно нормиро-
вать условием (1.8), поскольку
|
Ψ
p
(
r
, t
)
|
2
=
|
C
|
2
= const
и интеграл
(1.8)
по всему пространству
расходится. Эта расходимость физиче-
ски обусловлена тем, что в состояниях (1.4)
все положения частицы
равновероятны
.
Для нахождения
C
воспользуемся следующим приемом. Искус-
ственно ограничим область движения частицы большим объемом в
форме куба, длина ребра которого
L
, так что интегрирование будет
вестись по ограниченному объему
V
=
L
3
. Введем декартовы коорди-
наты, оси которых совпадают с ребрами куба (рис. 1.3). При больших
L
(по сравнению с длиной де Бройлевской волны
λ
) влиянием стенок
куба на движение частицы можно пренебречь. Поэтому для простоты
подчиним (1.4) периодическим граничным условиям:
Ψ
p
(
x, y, z
) = Ψ
p
(
x
+
L, y, z
) = Ψ
p
(
x, y
+
L, z
) = Ψ
p
(
x, y, z
+
L
)
(1.15)
(время
t
в аргументе для простоты опускаем, поскольку временной мно-
житель в (1.15) сокращается).
Введем вместо импульса волновой вектор
k
=
p
/
}
(1.16)
и перепишем
Ψ
p
(
x, y, z
)
в (1.15) в виде
Ψ
k
(
r
) =
C
e
i
kr
=
C
e
i(
k
x
x
+
k
y
y
+
k
z
z
)
.
(1.17)
Вследствие условия (1.15), вектор
k
в (1.17) может принимать лишь
дискретные значения:
k
=
{
k
x
, k
y
, k
z
}
=
2
π
L
{
n
x
, n
y
, n
z
}
,
n
x
, n
y
, n
z
= 0
,
±
1
, . . .
(1.18)
16
Таким образом, при движении в ограниченном объеме импульс волны
де Бройля
квантуется
. Легко заметить, однако, что при неограничен-
ном увеличении
объема квантования
(т. е. при
L
→ ∞
) эта дискрет-
ность исчезает.
В ограниченном объеме нормировочная константа
C
вычисляется
из условия (1.8), так что нормированная на единицу в объеме
V
волна
де Бройля выглядит следующим образом:
Ψ
k
(
r
) =
1
√
V
e
i
kr
.
(1.19)
Ее размерность удовлетворяет условию (1.9).
Система функций (1.19) обладает свойствами ортогональности
Z
(
V
)
Ψ
∗
k
0
(
r
)Ψ
k
(
r
) d
3
r
=
1
V
Z
(
V
)
e
i(
k
−
k
0
)
r
d
3
r
=
δ
k
0
k
≡
δ
n
0
x
n
x
δ
n
0
y
n
y
δ
n
0
z
n
z
(1.20)
и полноты
X
k
Ψ
∗
k
(
r
0
)Ψ
k
(
r
) =
1
V
X
k
e
i
k
(
r
−
r
0
)
=
δ
(
r
−
r
0
)
.
(1.21)
Векторы
k
,
k
0
выбираются в соответствии с (1.18):
X
k
(
. . .
)
≡
+
∞
X
n
x
=
−∞
+
∞
X
n
y
=
−∞
+
∞
X
n
z
=
−∞
(
. . .
);
интегрирование ведется внутри куба с ребром
L
. Введено стандартное
обозначение для
δ
-функции Дирака (см. приложение А).
Пусть теперь частица в момент времени
t
= 0
находится в состоянии
с волновой функцией
Ψ(
r
)
, удовлетворяющей периодическим гранич-
ным условиям (1.15) и, подобно волне дe-Бройля (1.19), нормированной
на единицу внутри большого куба с ребром
L
. Тогда
Ψ(
r
)
можно раз-
ложить в ряд Фурье по волнам де Бройля (1.19):
Ψ(
r
) =
X
k
c
k
Ψ
k
(
r
) =
1
√
V
X
k
c
k
e
i
kr
.
(1.22)
Коэффициенты разложения
c
k
находятся домножением (1.22) на
Ψ
∗
k
0
(
r
)
и интегрированием по объему куба в соответствии с условием ортого-
нальности (1.20):
c
k
=
Z
(
V
)
Ψ
∗
k
(
r
)Ψ(
r
) d
3
r
=
1
√
V
Z
(
V
)
e
−
i
kr
Ψ(
r
) d
3
r.
(1.23)
Таким образом, волновую функцию произвольного состояния микро-
частицы можно представить в виде суперпозиции волн де Бройля.
17
1.5.
Средние значения координаты и импульса
Вновь рассмотрим частицу в произвольном состоянии
Ψ(
r
)
(внутри
большого куба). Поставим задачу вычисления среднего значения неко-
торых заданных функций координаты
F
1
(
r
)
и импульса
F
2
(
p
)
в этом
состоянии.
Среднее значение координаты
Вычислим вначале среднее значение координаты
h
r
i
в состоянии
с волновой функцией
Ψ(
r
)
. В соответствии с (1.7), плотность вероят-
ности различных значений координаты
w
(
r
)
дается квадратом моду-
ля волновой функции. Поэтому, пользуясь теоремой о математическом
ожидании, получаем:
h
r
i
=
Z
(
V
)
r
w
(
r
) d
3
r
(1.7)
=
Z
(
V
)
Ψ
∗
(
r
)
r
Ψ(
r
) d
3
r.
(1.24)
Ниже мы разъясним причину не вполне привычной записи правой ча-
сти (1.24).
Любое произведение декартовых компонент
r
также усредняется в
соответствии с (1.24):
h
x
n
x
y
n
y
z
n
z
i
=
Z
(
V
)
x
n
x
y
n
y
z
n
z
w
(
r
) d
3
r
(1.7)
=
Z
(
V
)
Ψ
∗
(
r
)
x
n
x
y
n
y
z
n
z
Ψ(
r
) d
3
r.
(
n
x
,
n
y
,
n
z
— произвольные числа). Поэтому после разложения функ-
ции
F
1
(
r
)
в ряд Тейлора мы приходим к следующей формуле:
h
F
1
(
r
)
i
=
Z
(
V
)
Ψ
∗
(
r
)
F
1
(
r
)Ψ(
r
) d
3
r.
(1.25)
Среднее значение импульса
Среднее значение импульса в состоянии
Ψ(
r
)
невозможно вычис-
лить по формуле (1.24) с простой заменой
r
→
p
, поскольку нам пока
неизвестно распределение импульсов в данном состоянии. Чтобы по-
лучить его, воспользуемся разложением (1.22), а также нормированно-
стью
Ψ(
r
)
в объеме
(
V
)
и ортогональностью волн де Бройля (1.20):
Z
(
V
)
|
Ψ(
r
)
|
2
d
3
r
= 1 =
X
k
0
k
c
∗
k
0
c
k
Z
(
V
)
Ψ
∗
k
0
(
r
)Ψ
k
(
r
) d
3
r
|
{z
}
δ
k
0
k
=
X
k
|
c
k
|
2
.
18
Полученное соотношение
X
k
|
c
k
|
2
|{z}
w
k
=
X
k
w
k
= 1
похоже на условие нормировки в теории вероятностей. Поэтому по ана-
логии с
|
Ψ(
r
)
|
2
величине
w
k
можно придать смысл вероятности об-
наружения значения импульса
p
=
}
k
в состоянии
Ψ(
r
)
(в данном
случае распределение по импульсам получается дискретным в отличие
от непрерывного распределения по координатам).
Подобно координате среднее значение импульса вычисляем по тео-
реме о математическом ожидании с распределением
w
k
. Для нахожде-
ния
c
k
воспользуемся (1.23):
h
p
i
=
}
X
k
k
w
k
=
}
X
k
k
c
∗
k
c
k
=
}
X
k
ZZ
Ψ
∗
(
r
)Ψ
k
(
r
)Ψ(
r
0
)
k
Ψ
∗
k
(
r
0
) d
3
r
d
3
r
0
.
Вспоминая явный вид
Ψ
k
(
r
)
(см. (1.19)), имеем:
k
Ψ
∗
k
(
r
0
) =
1
√
V
k
e
−
i
kr
0
= i
∇
r
0
Ψ
∗
k
(
r
0
)
.
Действие оператора
∇
r
0
перенесем с функции
Ψ
∗
k
(
r
0
)
на
Ψ(
r
0
)
по фор-
муле интегрирования по частям:
Z
(
V
)
Ψ(
r
0
)
∇
r
0
Ψ
∗
k
(
r
0
) d
3
r
0
= Ψ(
r
0
)Ψ
∗
k
(
r
0
)
|
|
{z
}
0
−
Z
(
V
)
Ψ
∗
k
(
r
0
)
∇
r
0
Ψ(
r
0
) d
3
r
0
.
Интеграл по поверхности куба обращается в нуль вследствие периоди-
ческих граничных условий (1.15) как для
Ψ
k
(
r
0
)
, так и для
Ψ(
r
0
)
.
Исключим теперь из выражения для
h
p
i
функции
Ψ
k
(
r
)
на основа-
нии свойства полноты (1.21):
h
p
i
=
ZZ X
k
Ψ
∗
k
(
r
0
)Ψ
k
(
r
)
|
{z
}
δ
(
r
0
−
r
)
Ψ
∗
(
r
)(
−
i
}
∇
r
0
)Ψ(
r
0
) d
3
r
0
d
3
r
=
=
Z
(
V
)
Ψ
∗
(
r
)(
−
i
}
∇
)Ψ(
r
) d
3
r,
где
∇
≡
∇
r
.
Таким образом,
h
p
i
=
Z
(
V
)
Ψ
∗
(
r
)(
−
i
}
∇
)Ψ(
r
) d
3
r.
(1.26)
19
По аналогии с соответствующими вычислениями
h
F
1
(
r
)
i
для
h
F
2
(
p
)
i
получаем:
h
p
n
x
x
p
n
y
y
p
n
z
z
i
=
Z
(
V
)
Ψ
∗
(
r
)
−
i
}
∂
∂x
n
x
−
i
}
∂
∂y
n
y
−
i
}
∂
∂z
n
z
Ψ(
r
) d
3
r
;
h
F
2
(
p
)
i
=
Z
(
V
)
Ψ
∗
(
r
)
F
2
(
−
i
}
∇
)Ψ(
r
) d
3
r.
(1.27)
Смысл операции дифференцирования под знаком функции
F
2
(
p
)
в
(1.27) станет ясен ниже.
1.6.
Физические величины в квантовой теории
Рассмотрим выражения (1.24) и (1.26) (или (1.25) и (1.27)). Они
имеют одинаковую структуру:
h
F
i
=
Z
(
V
)
Ψ
∗
(
r
) ˆ
F
(
r
)Ψ(
r
) d
3
r.
(1.28)
Конструкция
ˆ
F
(
r
)
называется
оператором величины
F
. Так,
оператор
координаты
— это просто вектор
r
:
ˆ
r
=
r
;
оператор импульса
ˆ
p
=
=
−
i
}
∇
содержит операцию векторного дифференцирования
3
.
Обобщим соотношение
(1.28)
на произвольную физическую вели-
чину
F
:
h
F
i
=
Z
Ψ
∗
(
ξ
) ˆ
F
Ψ(
ξ
) d
ξ.
(1.29)
h
F
i
называют средним значением физической величины
F
в состоянии
Ψ(
ξ
)
. Время в
Ψ(
ξ
)
и аргументы в
ˆ
F
для упрощения записи не пока-
заны. Функция
Ψ
предполагается нормированной на единицу условием
(1.8).
Если соотношение (1.29) выполняется для
произвольного
состояния,
то
ˆ
F
называется
оператором величины
F
. Таким образом,
всякой фи-
зической величине в квантовой механике сопоставляется соответ-
ствующий оператор
, так что среднее значение этой величины в про-
извольном квантовом состоянии микросистемы дается формулой (1.29)
(напомним, что в классической механике физические величины явля-
ются обычными вещественными функциями обобщенных координат и
3
Напомним, что все сказанное здесь относится к
координатному представлению
и будет обобщено в разделе «Теория представлений».
20