ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 946
Скачиваний: 1
клидовом пространстве
ξ
≡
r
; в общем случае число обобщенных коор-
динат равно числу степеней свободы квантовой системы). Для каждой
конкретной квантовой системы класс функций
Ψ(
ξ, t
)
, которые могут
описывать ее все возможные (т. е. физически реализуемые) состояния,
достаточно широкий и на математическом языке эти функции обра-
зуют гильбертово пространство
L
2
. Ниже мы обсудим более подробно
математические условия, налагаемые на функции
Ψ(
ξ, t
)
, но вначале
приведем простейший пример квантового состояния и соответствую-
щей волновой функции.
Для описания движения
свободной
(т. е. не подверженной действию
внешних сил) частицы с заданным импульсом
p
(вот первый пример
квантового состояния!) Л. де Бройль предложил использовать плоскую
волну:
Ψ
p
(
r
, t
) =
C
exp
i
pr
−
Et
}
,
(1.4)
где
m
и
E
=
p
2
/
2
m
— масса и энергия частицы, а
C
— некоторая
постоянная. Функцию (1.4) принято называть
волной де Бройля
. Ее
частота
ω
и длина
λ
связаны соответственно с энергией и импульсом
частицы такими же, как и у фотона, соотношениями:
ω
=
E/
}
;
λ
= 2
π
}
/p.
(1.5)
В 1924 г. гипотеза де Бройля являлась постулативной
2
. Она
переклика-
лась
с гипотезой Планка в смысле дуализма «волна–частица», но логи-
чески полностью
противоположна
ей. Если Планк приписывал элек-
тромагнитному
полю
присущие веществу
корпускулярные
свойства, то
де Бройль поступил наоборот: он предположил, что частицы
вещества
при определенных условиях проявляют
волновые
свойства, присущие
полю
.
Типичные значения
длины волны де Бройля
для электрона, уско-
ренного электрическим полем с разностью потенциалов в диапазоне
(1
÷
10
4
)
эВ,
λ
∼
(0
,
1
÷
10)
˚
A (
1
˚
A
= 10
−
10
м). Поэтому для наблюде-
ния волновых свойств электронов оптические дифракционные решет-
ки непригодны. В кристаллах же ионы расположены упорядоченно на
расстояниях
d
∼
(4
÷
5)
˚
A. Поэтому кристаллические решетки явля-
ются и естественными дифракционными решетками в диапазоне длин
волн де Бройля (напомним, что для наблюдения типичных волновых
явлений (дифракции и интерференции) необходимо выполнение соот-
ношения
λ
∼
d
, где
d
— постоянная решетки). В 1927 г. Дэвиссон и
Джермер поставили такой эксперимент (рис. 1.1) и впервые обнаружи-
ли дифракционную картину в угловом распределении электронов.
2
Хотя ниже мы увидим, что выражение (1.4) для волновой функции свободной
частицы с импульсом
p
следует из точных уравнений квантовой механики.
11
Рис. 1.1.
В общем случае (т. е. не только для свободного движения) волно-
вая функция находится из решения соответствующего линейного од-
нородного дифференциального уравнения (уравнения Шредингера —
см. ниже), поэтому она определяется с точностью до произвольного
постоянного множителя —
нормировочной константы
. Если волновые
функции отличаются только постоянным множителем, то соответству-
ющие им состояния
физически эквивалентны
.
Волновая функция сама по себе является ненаблюдаемой величи-
ной. (С ненаблюдаемыми величинами читатель сталкивался и ранее:
например, в электродинамике ненаблюдаемыми величинами являются
потенциалы электромагнитного поля.) М. Борн в 1926 г. предложил
следующую вероятностную интерпретацию волновой функции
Ψ(
ξ, t
)
:
квадрат ее модуля пропорционален плотности вероятности обнаруже-
ния частицы в момент времени
t
в точке с координатой
ξ
:
|
Ψ(
ξ, t
)
|
2
≡
Ψ
∗
(
ξ, t
)Ψ(
ξ, t
)
∼
w
(
ξ, t
)
(1.6)
(символ (*) означает операцию комплексного сопряжения), т. е. волно-
вую функцию следует толковать
статистически
.
Для понимания данного утверждения проделаем мысленный экс-
перимент. Будем пропускать монохроматический пучок электронов
сквозь две узкие щели, позади которых располагается фотопластинка
(дифракция на двух щелях). При этом на фотопластинке будет наблю-
даться дифракционная картина (рис. 1.2а), т. е. движение электронов
подобно волновому. Затем поставим этот же эксперимент с более низ-
кой интенсивностью пучка (пропуская практически по одному электро-
ну с той же самой энергией). На фотопластинке в
случайном порядке
возникнут отдельные пятна в местах электронных ударов (рис. 1.2б).
Однако с увеличением времени экспозиции эти пятна складываются в
сплошные полосы, т. е. возникает
та же самая дифракционная карти-
на
, что и на рис. 1.2а, подтверждая вероятностный характер движе-
12
Рис. 1.2.
ния в микромире. Реальный эксперимент такого рода был поставлен
в 1949 г. в Физическом институте Академии наук СССР (Фабрикант,
Биберман, Сушкин) и подтвердил гипотезу М. Борна.
В состояниях
финитного движения
частица локализована в конеч-
ной области пространства, так что надлежащим выбором нормировоч-
ной константы соотношение (1.6) можно превратить в строгое равен-
ство:
|
Ψ(
ξ, t
)
|
2
=
w
(
ξ, t
)
.
(1.7)
Согласно теории вероятностей,
условие нормировки
для волновой
функции финитного движения можно сформулировать следующим об-
разом:
Z
|
Ψ(
ξ, t
)
|
2
d
ξ
= 1
,
(1.8)
где интегрирование ведется по
всему конфигурационному простран-
ству
(достоверное событие).
Интеграл в (1.8) конечен, только если функция
|
Ψ(
ξ, t
)
|
2
на больших
расстояниях спадает достаточно быстро. В состояниях
инфинитного
движения
, в частности, описываемых волной де Бройля, этот интеграл
расходится, поэтому ниже условие нормировки для этого случая будет
сформулировано иным образом. Там, где это не оговорено отдельно,
мы будем считать волновые функции нормированными на единицу. Из
условия (1.8) видно, что даже нормированная волновая функция опре-
деляется не однозначно, а с точностью до произвольного постоянно-
го
фазового множителя
e
i
δ
. В настоящем пособии данный множитель
13
всюду выбирается так, чтобы по возможности упростить вид волновой
функции.
У волновой функции
нет универсальной размерности
. Ее размер-
ность определяется только элементом интегрирования:
[Ψ(
ξ, t
)] = [d
ξ
]
−
1
/
2
.
(1.9)
Только при выполнении (1.9) интегральное выражение в (1.8) будет
безразмерным
.
В качестве волновой функции может выступать не любая матема-
тическая функция, а только удовлетворяющая
стандартным услови-
ям: конечная, однозначная и непрерывная
. Первые два условия непо-
средственно следуют из ее вероятностной интерпретации, а требование
непрерывности мы поясним ниже.
Укажем на существенное отличие квантового движения от распро-
странения истинной волны (например, электромагнитной). Если име-
ются
N
источников электромагнитных волн, то результирующая волна
будет по-прежнему зависеть
только от одной пространственной пере-
менной
. В случае системы
N
микрочастиц
ее полная волновая функция
будет зависеть от
N
пространственных переменных
:
Ψ(
r
1
, . . . ,
r
N
;
t
)
.
Все предыдущие выводы, а также формулы (1.4)–(1.9) легко обобщают-
ся на этот случай. Теперь, однако, в качестве элемента интегрирования
следует взять
d
ξ
= d
r
1
. . .
d
r
N
— элемент так называемого
конфигура-
ционного пространства
.
1.3.
Принцип суперпозиции состояний
Как уже говорилось выше, всякое состояние квантовой системы опи-
сывается соответствующей волновой функцией
Ψ
a
, где индекс
a
указы-
вает набор параметров, характеризующих данное состояние и отлича-
ющих его от других возможных квантовых состояний той же самой
системы. Это положение является первым постулатом в формальной
схеме построения квантовой механики и дает математический способ
описания квантовых состояний. Утверждается, что волновые функции
всех
возможных состояний квантовой системы образуют
гильбертово
пространство
L
2
(множество интегрируемых с их квадратами функ-
ций).
Скалярное произведение
двух функций
Φ
и
Ψ
в этом пространстве
определяется следующим образом:
h
Φ
|
Ψ
i
=
Z
Φ
∗
(
ξ
)Ψ(
ξ
) d
ξ.
(1.10)
14
Обозначение скалярного произведения символом
h
Φ
|
Ψ
i
называется ди-
раковской скобкой. Дираковский формализм часто позволяет упро-
стить и унифицировать запись математических выкладок в квантовой
теории. В частности, условие нормировки (1.8) в дираковских обозна-
чениях имеет вид
h
Ψ
|
Ψ
i
=
Z
Ψ
∗
(
ξ
)Ψ(
ξ
) d
ξ
= 1
.
(1.11)
Эта техника получит дальнейшее развитие в главе «Теория представ-
лений». Пока же приведем очевидное из (1.10) тождество
h
Φ
|
Ψ
i
=
h
Ψ
|
Φ
i
∗
.
(1.12)
Следующим постулатом квантовой теории, имеющим принципиаль-
ное значение для понимания физики квантовых явлений, является
Принцип суперпозиции состояний
. Он утверждает:
если квантовая си-
стема может находиться в состояниях с волновыми функциями
Ψ
1
и
Ψ
2
, то она может находиться и в состоянии с волновой функцией
Ψ =
c
1
Ψ
1
+
c
2
Ψ
2
,
(1.13)
где
c
1
и
c
2
— произвольные комплексные константы. Состояние
Ψ
на-
зывается суперпозицией состояний
Ψ
1
и
Ψ
2
. Фактически принцип су-
перпозиции содержит утверждение о своеобразной «квантовой интер-
ференции» состояний, поскольку распределение вероятностей (квадрат
модуля
Ψ
) наряду с
|
Ψ
1
|
2
и
|
Ψ
2
|
2
содержит и «интерференционное» сла-
гаемое
Re(
c
1
c
∗
2
Ψ
1
Ψ
∗
2
)
.
Из принципа суперпозиции следу-
Рис. 1.3.
ет, в частности, что уравнение для
волновой функции должно быть ли-
нейным, а также парадоксальный с
точки зрения классической механики
факт, что физические величины, име-
ющие определенные значения в состо-
яниях
Ψ
1
и
Ψ
2
, могут не иметь опреде-
ленного значения в состоянии
Ψ
(кото-
рое также является физически реали-
зуемым состоянием системы!). В каче-
стве примера снова рассмотрим волну де Бройля (1.4), которая соответ-
ствует состоянию с определенными значениями импульса
p
и энергии
E
. Рассмотрим теперь суперпозицию двух волн де Бройля с одной и
15