ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 950
Скачиваний: 1
и принадлежат различным гильбертовым пространствам, поэтому их
нельзя складывать. Это комплексные величины особого рода, которые
не могут быть разделены на чисто вещественную и чисто мнимую ча-
сти. Действие любого оператора на «кет»-вектор, переводящего его в
другой «кет»-вектор того же гильбертова пространства, осуществля-
ется слева направо и по отношению к операции эрмитова сопряжения
рассматривается как произведение, т. е. если
|
b
i
= ˆ
G
|
a
i
,
то
(
|
b
i
)
†
=
h
b
|
= ( ˆ
G
|
a
i
)
†
= (
|
a
i
)
†
ˆ
G
†
=
h
a
|
ˆ
G
†
.
Таким образом,
действие оператора на «кет»-вектор слева направо
эквивалентно действию эрмитово сопряженного оператора на соот-
ветствующий вектору «кет» дуальный (то есть «бра»-) вектор спра-
ва налево
.
Скалярное произведение «кет»-векторов
|
a
i
и
|
b
i
строится перемно-
жением
h
b
|
и
|
a
i
:
h
b
|
a
i
1
. Скалярное произведение является обычным
комплексным числом и удовлетворяет соотношению
h
b
|
a
i
=
h
a
|
b
i
∗
(ана-
логично скалярному произведению обычных комплексных функций
a
(
r
)
и
b
(
r
)
в гильбертовом пространстве квадратично-интегрируемых
функций, зависящих от
r
:
R
a
∗
(
r
)
b
(
r
) d
3
r
).
Векторы, соответствующие состояниям финитного движения, мож-
но нормировать условием
h
a
|
a
i
= 1
.
Базисные векторы линейного эрмитова оператора
ˆ
G
(
ˆ
G
|
G
n
i
=
=
G
n
|
G
n
i
) удовлетворяют условию ортонормировки
h
G
n
|
G
m
i
=
δ
G
n
G
m
=
δ
nm
.
(3.10)
Свойство (3.10) записано для дискретного спектра. В случае непрерыв-
ного спектра
δ
-символ заменяется
δ
-функцией.
Конструкция
ˆ
F
=
|
b
ih
a
|
, в отличие от
h
b
|
a
i
, является
оператором
,
т. к. при его действии на («кет» или «бра») вектор получается новый
(«кет» или «бра») вектор:
ˆ
F
|
c
i
=
|
b
ih
a
|
c
i
;
h
c
|
ˆ
F
=
h
c
|
b
ih
a
|
.
Для полной ортонормированной системы векторов выполняется
условие полноты
:
X
n
|
G
n
ih
G
n
|
= ˆ1
,
(3.11)
где
ˆ1
— единичный оператор. Для базиса, соответствующего непрерыв-
ному спектру, суммирование в (3.11) заменяется интегрированием.
1
Термины «бра» и «кет» соответствуют частям английского слова bracket —
скобка, т. к. скалярное произведение обозначается такой скобкой.
86
Соотношение (3.11) чрезвычайно удобно для разложения произ-
вольного вектора
|
a
i
по базису некоторого оператора
ˆ
G
:
|
a
i
= ˆ1
|
a
i
(3.11)
=
X
n
|
G
n
ih
G
n
|
a
i
=
X
n
c
(
G
n
)
|
G
n
i
.
(3.12)
Оператор
ˆ
P
n
=
|
G
n
ih
G
n
|
в (3.12) называется
проекционным
, т. к. он
позволяет получить «проекцию» произвольного вектора
|
a
i
на вектор
|
G
n
i
и, в частности, коэффициенты разложения вектора
|
a
i
по базису
оператора
ˆ
G
:
c
(
G
n
) =
h
G
n
|
a
i
.
Пусть базис оператора
ˆ
G
задается множеством векторов
|
G
n
i
. То-
гда упорядоченный набор коэффициентов разложения некоторого век-
тора
|
a
i
по базису оператора
ˆ
G
(см. (3.12)) принято называть
G
-
представлением состояния
|
a
i
. Для него уже имеется дираковское обо-
значение
h
G
n
|
a
i
. Символ в «кет»-векторе называется
индексом состо-
яния
, в «бра»-векторе —
индексом представления
. Другими словами,
G
-представление состояния
|
a
i
представляет собой множество всех его
проекций на состояния с определенными значениями величины
G
. Оно
дает «явный» вид вектора
|
a
i
, удобный для различных вычислений.
Данное утверждение поясняет смысл обозначения (3.9): значение вол-
новой функции
Ψ
a
в точке с координатой
r
равно проекции состояния
«
a
» на состояние с координатой
r
.
Пользуясь дираковской техникой, легко получаем правило пе-
рехода от
F
-представления волновой функции состояния
|
a
i
к
G
-
представлению. Для простоты спектр операторов
ˆ
F
и
ˆ
G
предполагаем
дискретным. На основании (3.11) имеем:
h
G
m
|
a
i
=
h
G
m
|
ˆ1
|
a
i
=
h
G
m
|
X
n
|
F
n
ih
F
n
|
a
i
=
X
n
h
F
n
|
G
m
i
∗
h
F
n
|
a
i
.
(3.13)
Набор коэффициентов перехода
h
F
n
|
G
m
i
образует
F
-представление со-
стояния
|
G
m
i
(см. также (3.2), (3.5)). Обобщение (3.13) на случай непре-
рывного спектра очевидно.
Очень часто, если это не вызывает недоразумений, в обозначении
дираковского вектора вместо определенного значения физической ве-
личины
G
для краткости указывается лишь набор соответствующих
квантовых чисел:
|
G
n
i ≡ |
n
i
.
Ниже всюду взаимосвязь различных представлений будет даваться
в дираковском формализме.
87
3.3.
Теория представлений для операторов физиче-
ских величин
В конкретных вычислениях необходимо использовать одинаковое
представление как для векторов состояний, так и для операторов. По-
добно векторам состояний, оператору
ˆ
F
в
G
-представлении сопостав-
ляется упорядоченный набор коэффициентов его разложения по бази-
су оператора
ˆ
G
. В дираковской форме этот базис представляет собой
операторную конструкцию
|
G
k
ih
G
n
|
, так что разложение выглядит сле-
дующим образом:
ˆ
F
=
X
kn
|
G
k
i
F
kn
h
G
n
|
.
(3.14)
Выражение для коэффициентов
F
kn
получается из (3.14) на основе
свойства ортонормировки (3.10):
F
kn
=
h
G
k
|
ˆ
F
|
G
n
i
.
(3.15)
Конструкция в правой части (3.15) называется
матричным элементом
оператора
ˆ
F
в
G
-представлении
. Легко заметить, что среднее значение
величины
F
в состоянии
|
G
n
i
равно соответствующему диагональному
матричному элементу. На основе соотношения полноты (3.11) можно
также получить формулу, связывающую матричный элемент произве-
дения операторов с матричными элементами каждого сомножителя в
одном и том же базисе
{|
G
n
i}
:
h
G
n
|
ˆ
A
ˆ
B
|
G
n
0
i
=
X
n
00
h
G
n
|
ˆ
A
|
G
n
00
i h
G
n
00
|
ˆ
B
|
G
n
0
i
.
(3.16)
Соотношение (3.16) полностью эквивалентно алгебраическому правилу
перемножения матриц.
Исследуем структуру матрицы линейного эрмитова оператора
ˆ
G
в
своем собственном представлении.
Вновь ограничимся случаем дискретного спектра:
h
G
k
|
ˆ
G
|
G
n
i
=
G
n
h
G
k
|
G
n
i
(3.10)
=
G
n
δ
kn
.
В случае непрерывного спектра
(
n
→
F, k
→
F
0
)
в правой части полу-
чим
δ
-функцию
δ
(
F
−
F
0
)
.
Таким образом, в своем собственном пред-
ставлении матрица линейного эрмитова оператора будет диагональ-
ной
.
Получим правило действия оператора
ˆ
F
на вектор
|
a
i
в
G
-
представлении.
88
Пусть
|
b
i
= ˆ
F
|
a
i
. Домножим это соотношение слева на базисный
вектор
h
G
n
|
:
h
G
n
|
b
i
=
h
G
n
|
ˆ
F
|
a
i
=
h
G
n
|
ˆ
F
ˆ1
|
a
i
(3.11)
=
X
m
h
G
n
|
ˆ
F
|
G
m
ih
G
m
|
a
i
(3.17)
— обычное правило умножения матрицы на столбец:
h
G
1
|
b
i
h
G
2
|
b
i
..
.
=
h
G
1
|
ˆ
F
|
G
1
i h
G
1
|
ˆ
F
|
G
2
i
. . .
h
G
2
|
ˆ
F
|
G
1
i h
G
2
|
ˆ
F
|
G
2
i
. . .
..
.
..
.
. ..
h
G
1
|
a
i
h
G
2
|
a
i
..
.
.
В случае непрерывного спектра имеем:
h
G
|
b
i
=
Z
d
G
0
h
G
|
ˆ
F
|
G
0
ih
G
0
|
a
i
.
(3.18)
Это интегральное преобразование с ядром
h
G
|
ˆ
F
|
G
0
i
.
Использованные ранее операторы в координатном представлении
также могут быть записаны в матричной форме:
h
r
|
ˆ
r
|
r
0
i
=
r
δ
(
r
−
r
0
)
;
h
r
|
p
|
r
0
i
=
δ
(
r
−
r
0
)(
−
i
}
∇
r
0
)
и т.д. При этом интегрирование (3.18) по
d
3
r
0
снимается
δ
-функцией.
Правило пересчета матричного элемента из одного представления
в другое легко выводится из свойства полноты (3.11), например, для
перехода от
ξ
-представления к
G
-представлению оператора
ˆ
F
имеем:
h
G
k
|
ˆ
F
|
G
n
i
=
h
G
k
|
ˆ1 ˆ
F
ˆ1
|
G
n
i
=
X
ξ ξ
0
h
G
k
|
ξ
0
ih
ξ
0
|
ˆ
F
|
ξ
ih
ξ
|
G
n
i
.
(3.19)
Для перехода от координатного представления
диагонального
опе-
ратора
ˆ
F
к
G
-представлению на основании (3.19) получаем следующую
формулу:
h
G
k
|
ˆ
F
|
G
n
i
=
Z
Φ
∗
G
k
(
r
) ˆ
F
Φ
G
n
(
r
) d
3
r,
(3.20)
где
Φ
G
n
(
r
)
≡ h
r
|
G
n
i
.
В качестве иллюстрации получим импульсное представление опера-
тора координаты.
На основе (3.18) получим вначале матричный элемент оператора
координаты в импульсном представлении, исходя из его вида в коорди-
натном представлении:
r
pp
0
=
h
p
|
ˆ
r
|
p
0
i
=
1
(2
π
}
)
3
Z
exp
−
i
}
pr
r
exp
i
}
p
0
r
d
3
r
=
89
=
1
(2
π
}
)
3
(
−
i
}
∇
p
0
)
Z
exp
i
}
(
p
0
−
p
)
r
d
3
r
|
{z
}
(2
π
}
)
3
δ
(
p
0
−
p
)
=
−
i
}
∇
p
0
δ
(
p
0
−
p
)
.
Здесь ясно видна диагональная структура матрицы координаты в им-
пульсном представлении
.
В импульсном представлении оператор координаты действует на
функцию в соответствии с правилом (3.18), т. е. через интегральное
преобразование с ядром
r
pp
0
:
b
(
p
) =
Z
r
pp
0
a
(
p
0
) d
3
p
0
=
−
i
}
Z
∇
p
0
δ
(
p
0
−
p
)
a
(
p
0
) d
3
p
0
=
= i
}
∇
p
0
a
(
p
0
)
|
p
0
=
p
= i
}
∇
p
a
(
p
) = ˆ
r
a
(
p
)
.
Таким образом,
ˆ
r
= i
}
∇
p
, что по структуре аналогично оператору им-
пульса в координатном представлении,
за исключением знака
.
Ниже приведена таблица 3.1 для некоторых операторов в коорди-
натном и импульсном представлениях.
Таблица 3.1
Некоторые операторы в
r
- и
p
-представлениях
Оператор
r
-представление
p
-представление
Координата
ˆ
r
r
i
}
∇
p
Импульс
p
−
i
}
∇
r
p
Момент импульса
ˆ
L
−
i
}
[
r
×
∇
r
]
i
}
[
∇
p
×
p
]
Кинетическая энергия
ˆ
T
−
}
2
2
m
∇
2
r
p
2
2
m
Потенциальная энергия
ˆ
V
V
(
r
)
V
(i
}
∇
p
)
3.4.
Теория представлений и наблюдаемые величи-
ны. Матричная механика
Рассмотрим уравнение для собственных функций и собственных
значений оператора
ˆ
F
в координатном представлении:
ˆ
F
Ψ
F
(
ξ
) =
F
Ψ
F
(
ξ
)
.
(3.21)
Переформулируем эту задачу для
G
-представления, т. е. спроециру-
ем уравнение (3.21) на базисные функции
|
n
i ≡
Ψ
n
(
ξ
)
оператора
ˆ
G
.
90