Файл: Муниципальное управление (Половинкин).pdf

Рис. 11.2. 

Рис. 11.3

. 

 
Модели  могут  иметь  самую  разнообразную  структуру.  Однако  все 

возможные  структуры  можно  разделить  на  две  группы.  Будем  называть 

структуру 

G

жесткой,  если  связи  между  ее  подсистемами  остаются 

неизменными  в  течение  времени  ее  функционирования.  Если  структура 

описывается  графом,  а  он  –  матрицей  инциденций  J,  то  последняя  для 

жесткой  структуры  представляет  собой  фиксированную  матрицу  с 

элементами  (0,1).  В  частности,  для  графа,  показанного  на  рис.  11.3,  она 

имеет следующий вид: 

Подсистема 

D

i 

Управление 

Выход 

Внешние возмущения 

Воздействия других подсистем 

D

2 

D

4 

D

1 

D

3 



























0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

J

 
Будем  называть  структуру 

G

вероятностной,  если  связи  между 

подсистемами  являются  случайными.  Это  означает,  что  существует  не 

единственная  структура,  а  ансамбль  структур,  элементами  которого 

являются  жесткие  структуры  G>,  которые  реализуются  с  некоторой 

вероятностью. 

Среди конкретных структур наиболее распространенными являются 

иерархические структуры. Обычно с иерархической структурой связывают 

уровни подчиненности, на каждом из которых может находиться, вообще 

говоря,  любое  количество  подсистем.  Связь  между  подсистемами 

однонаправленная,  т.  е.  подсистемы  верхнего  уровня  воздействуют  на 

подсистемы нижнего уровня. 

С  формальной  точки  зрения  это  означает,  что  иерархическую 

структуру  можно  описать  следующей  последовательностью  отношений 

между подсистемами 

D

i

, i = 1,..., q

: 

q

2

1

i

i

i

D

D

D









, 

(11.1) 

 
где 

i

1

, ..., i

q

 – 

числа из интервала 1, ..., 

q.

В  последовательности  (11.1)  предполагается,  что  на  каждом  уровне 

находится  по  одной  подсистеме.  Последовательность  отношений  (11.1) 

описывает жесткие иерархические структуры. 

Для  вероятностной  иерархической  структуры  каждая  из  подсистем 

может  занимать  соответствующий  уровень  подчиненности  с  некоторой 

вероятностью,  и  иерархическая  цепочка  (11.1)  является  случайной. 

Количество  таких  различных  цепочек  конечно  в  силу  конечности  числа 

уровней и подсистем. 

Например,  для  трех  уровней  и  трех  подсистем  при  условии,  что  на 

каждом  уровне  может  находиться  только  одна  подсистема,  ансамбль 

иерархических  структур  содержит  шесть  иерархических  цепочек  (рис. 

11.4). 

Рис. 11.4 

Итак, 

вероятностной 

будем  называть  такую  иерархическую 

структуру,  для  которой последовательность отношений  (4.4)  выполняется 

с некоторой вероятностью, т. е. 





m

i

i

i

р

D

D

D

Р

q

2

1











(11.2) 

 
где 

m

 – 

номер перестановки из 

q

индексов 

i

1

, ..., i

q

, m = 1, ...,q!.

Равенство  (11.2)  определяет  дискретную  функцию  распределения 

вероятностей Р(m) со значениями 

р

m

на множестве иерархических цепочек 

(структур). 

Второй  этап  в  процедуре  формирования  модели  –  описание 

процессов  в  выделенных  подсистемах.  Методы,  которые  можно  здесь 

использовать,  существенно  зависят  от  цели  моделирования.  Если 

достаточно лишь воспроизведение выходного процесса в рассматриваемой 

подсистеме,  то  связь  между  ее  входом  и  выходом  может  быть  описана  с 

помощью 

какого-нибудь 

формального 

представления 

оператора, 

например, функциональными рядами. 

Однако  цели  моделирования  городских  систем,  как  правило,  более 

широкие, а именно, необходимо не только воспроизводить выход той или 

иной подсистемы, но и моделировать реальные внутренние механизмы ее 

D

1 

D

2 

D

1 

D

3 

D

2 

D

1 

D

2 

D

3 

D

3 

D

1 

D

3 

D

2 

функционирования.  При  формировании  такой  модели  приходиться 

использовать  фундаментальные  закономерности  материального  мира  и 

общества,  большинство  из  которых  формулируется  в  виде  уравнений  – 

дифференциальных, разностных, интегральных, функциональных. 

Одно  из  наиболее  развитых  направлений  в  моделировании 

внутренних механизмов функционирования городских подсистем основано 

на  идеях  и  методах  социальной  физики.  Эта  наука  пытается 

интерпретировать и затем изучать некоторые явления, элементом которых 

является  человек,  используя  общие  физические  принципы  и 

закономерности. 

Многие  из  них  являются  следствием 

экстремального  принципа. 

Согласно  одной  из  его  модификаций,  то  или  иное  движение  в  системе 

происходит  так,  что  при  этом  максимизируется  или  минимизируется 

некоторый  критерий  (функционал).  Этот  критерий  характеризует 

движение  системы  на  заданном  промежутке  времени,  определяя  для 

каждой траектории системы на этом временном интервале число. Он носит 

название функционала 

действия.

Формально  функционал  действия  задается  либо  интегральной 

операцией,  либо  операцией  суммирования,  совершаемой  над  функцией 

обобщенной  энергии  системы.  Так,  если  рассматривается  простая 

механическая  система,  состоящая  из  га  подсистем,  то  функция  ее 

обобщенной  энергии  –  функция  Лагранжа  –  представляет  собой  разность 

между кинетической и потенциальной энергиями системы. 

Функционал действия для городских подсистем может иметь смысл 

затрат  на  строительство  на  определенном  интервале  времени,  объема 

вводимой жилой площади за планируемый период и т. д. 

Один  из  фундаментальных  физических  принципов  представляет 

собой гипотезу о том, что система при своем движении минимизирует (или 

максимизирует)  функционал  действия.  Эта  гипотеза  носит  название 

принципа наименьшего действия. 

Рассмотрим  другую  модификацию  экстремального  принципа  на 

примере физической системы, состоящей из 

N

однородных частиц, которые 

могут случайным образом занимать места на любом из  m энергетических 

уровней.  Причем  количество  частиц  существенно  больше  количества 

уровней. 

Попадание частицы на тот или иной уровень случайно и не зависит 

от поведения других частиц. Поэтому на каждый уровень может попасть с 

некоторой  вероятностью  любая  частица.  Размещение  конкретных  частиц 

по уровням характеризует 

микросостояние 

системы. 

Большое количество случайных попаданий частиц на энергетические 

уровни приводит к тому, что все частицы как-то распределяются по этим 

уровням. В результате на первом уровне оказывается 

NI

частиц, на втором – 

N

2

частиц,  ...,  на  m-м  уровне  – 

N

m

частиц.  Каждое  N

i

  может  принимать 

значения от 1 до 

N

, 

но такие, что 

N

N

i





. 

Набор чисел 

{N

1

, ..., N

m

}

называется 

макросостоянием 

системы. Этот 

набор  так  же,  как  микросостояние,  является  случайным,  и  его  можно 

характеризовать  функцией  распределения  вероятности 

P(N

1

, 

..., 

N

m

).

Функция 

Р

имеет так называемый «острый максимум», т.е. ее значения 

для 

0
i

i

N

N



, i = 1,..., m существенно меньше, чем 





0
m

0

1

N

,

,

N

P



. 

Для  характеризации  вероятностных  свойств  макросостояния  наряду 

с распределением Р используется энтропия 

S=c



lnP

.  

 (11.3) 

 
Энтропия  как  функция  макросостояния  так  же  имеет  «острый 

максимум».  Последнее  дает  основание  выдвинуть  гипотезу,  что 

реализуемое  в  данной  системе  макросостояние  соответствует  максимуму 

энтропии. Эта гипотеза носит название 

принципа максимизации энтропии.

Продемонстрируем  применение  этого  принципа  на  примере 

формирования  вероятностной  структуры  модели  городской  системы, 

состоящей  из 

q

подсистем.  Предполагается,  что  модель  имеет