ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 671
Скачиваний: 5
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
С.И. Мармо,
М.В. Фролов
ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Часть I
Учебное пособие для вузов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2007
Утверждено научно-методическим советом физического факультета
11 декабря 2007 г., протокол № 12
Рецензент проф. кафедры электроники ВГУ, д-р. физ.-мат. н. В.И. Костылев
Учебное пособие подготовлено на кафедре теоретической физики физическо-
го факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 3 курса дневной формы обучения физического
факультета Воронежского государственного университета.
Для специальности: 010701 — Физика
2
Содержание
1. Математические методы электродинамики
4
1.1. Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. Векторный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3. Криволинейные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2. Постоянное электрическое поле
21
3. Постоянное магнитное поле
36
Приложение
49
1.
Основные дифференциальные операции в сферических и ци-
линдрических координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.
Сферические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Список литературы
51
3
Учебное пособие предназначено для проведения практических занятий
по курсу «Электродинамика» (шифр ОПД.Ф.01.02). Материал пособия от-
носится к первой части курса, в которой изучаются электромагнитные яв-
ления в вакууме. Каждый раздел содержит теоретическую часть, примеры
решения задач и задачи для самостоятельного решения. Изложение теории,
в котором приводятся основные положения и даются ключевые формулы,
имеет справочный характер и непосредственно связано с решением задач по
соответствующей теме. Подбор задач проводился так, чтобы показать основ-
ные методы их решения, а также проиллюстрировать наиболее существенные
положения теории. Решенные в пособии задачи имеют базовый характер и
должны дать достаточно полное представление об изучаемой теме и помочь
студентам в самостоятельной работе над другими задачами из данного посо-
бия, а также из задачников, приведенных в списке литературы.
1. Математические методы электродинамики
Электромагнитное поле может быть описано заданием напряженностей
электрического и магнитного полей
E
(
r
, t
)
,
B
(
r
, t
)
— двух векторных функ-
ций, зависящих от точки пространства и времени. Поэтому математическая
сторона электродинамики связана с исчислением векторных полей. Напом-
ним здесь основные результаты векторной алгебры, интегрального исчисле-
ния векторов и векторного анализа.
1.1. Векторная алгебра
Векторные величины характеризуются абсолютным значением и направ-
лением. В любой системе координат вектор определяется тройкой чисел (ко-
торые, конечно, зависят от выбора системы координат). Пусть, например,
радиус-вектор
r
, задающий положение точки, имеет в некоторой декартовой
системе координат (д.с.к.) компоненты
x, y, z
:
r
=
x
i
+
y
j
+
z
k
(использует-
ся также обозначение
r
= (
x, y, z
)
). В другой д.с.к., имеющей общее начало
с исходной, но повернутой относительно неё, вектор
r
будет иметь другие
компоненты
x
0
, y
0
, z
0
:
r
=
x
0
i
0
+
y
0
j
0
+
z
0
k
0
. Штрихованные компоненты выра-
жаются через нештрихованные по правилу
x
0
i
=
3
X
j
=1
α
ij
x
j
,
где коэффициенты преобразования
α
ij
представляют собой косинусы углов
между
j
-й осью исходной и
i
-й осью повернутой системы. Это трансфор-
мационное свойство может быть положено в основу определения понятия
4
векторной величины: вектором
a
называется совокупность трех величин
a
i
(
i
= 1
,
2
,
3
), которые при поворотах координатной системы преобразуются
так же, как координаты
x
1
, x
2
, x
3
:
a
0
i
=
3
X
j
=1
α
ij
a
j
.
(1.1)
Двум векторам
a
= (
a
x
, a
y
, a
z
)
и
b
= (
b
x
, b
y
, b
z
)
можно поставить в соот-
ветствие скалярную величину (которая не меняется при переходе к другой
системе координат), образовав скалярное произведение
ab
=
ab
cos
α ,
α
— угол между
a
и
b
. В д.с.к. скалярное произведение вычисляется через
проекции векторов по формуле
ab
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
.
Если
a
⊥
b
, то
ab
= 0
.
Двум векторам
a
и
b
можно поставить в соответствие вектор
c
, удовле-
творяющий условиям: 1)
|
c
|
=
|
a
||
b
|
sin
θ
; 2) вектор
c
ортогонален векторам
a
,
b
; 3) векторы
a
,
b
,
c
образуют правую тройку. Так построенный вектор
c
называется векторным произведением векторов
a
и
b
и обозначается
[
ab
]
. В
д.с.к.
[
ab
]
вычисляется по правилу
[
ab
] = (
a
y
b
z
−
a
z
b
y
)
i
+ (
a
z
b
x
−
a
x
b
z
)
j
+ (
a
x
b
y
−
a
y
b
x
)
k
,
или, в краткой символической записи,
[
ab
] =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i
j
k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак. Итак,
[
ab
]
⊥
a
,
b
; [
ba
] =
−
[
ab
]
. В том (и только в том) случае, если сомножите-
ли векторного произведения коллинеарны (т.е. параллельны или антипарал-
лельны), то векторное произведение равно нулю:
[
ab
] = 0
,
если
a
·
b
или
a
↑↓
b
.
Из трех векторов можно составить смешанное произведение
(
a
[
bc
])
или
двойное векторное произведение
[
a
[
bc
]]
. Множители смешанного произведе-
ния можно переставлять циклически (или нециклически c переменой знака),
получая тождественные выражения:
(
a
[
bc
]) = (
c
[
ab
]) = (
b
[
ca
]) =
−
(
b
[
ac
]) =
−
(
c
[
ba
]) =
−
(
a
[
cb
])
.
5