ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 693
Скачиваний: 5
Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, постро-
енного на сомножителях. Очевидно, поэтому, что смешанное произведение
равно нулю тогда (и только тогда), когда сомножители лежат в одной плос-
кости.
Двойное векторное произведение можно разложить следующим образом:
[
a
[
bc
]] =
b
(
ac
)
−
c
(
ab
)
.
Векторы, преобразующиеся по правилу (1.1) при поворотах, могут двояко
вести себя при инверсии системы координат, т.е. при преобразовании вида
x
0
i
=
−
x
i
,
(1.2)
где матрица преобразования
α
ij
=
−
δ
ij
. Те векторы, компоненты которых,
как и
x
i
, меняют знак при инверсии, называются
истинными
или
поляр-
ными
. Векторы, компоненты которых при инверсии координат не изменяют
знака, называются
псевдовекторами
или
аксиальными
векторами (угловая
скорость вращения, векторное произведение
[
ab
]
двух полярных векторов и
др.).
Задачи для самостоятельного решения
1.1.
Вычислить:
а) векторное произведение
[
ab
]
;
б) смешанное произ-
ведение
(
a
[
ba
])
; в) угол между
a
и
b
, если
a
=
i
−
k
,
b
=
i
+
k
.
1.2.
Найти единичный вектор, направленный вдоль вектора
a
1
+
a
2
, где
a
1
= 2
i
+ 3
j
−
4
k
,
a
2
=
i
+ 3
j
+ 2
k
.
1.3.
Найти проекцию вектора
a
=
i
−
2
j
+
k
на вектор
b
= 4
i
−
4
j
+ 7
k
.
1.4.
Доказать равенство
(
ab
)
2
+ [
ab
]
2
=
a
2
b
2
.
1.5.
Какому условию должны удовлетворять векторы
a
и
b
, чтобы векто-
ры
a
−
b
и
a
+
b
были а) ортогональны; б) коллинеарны?
1.6.
Даны векторы
a
= 3
i
+ 2
j
−
k
,
b
=
−
6
i
−
4
j
+ 2
k
,
c
=
i
−
2
j
−
k
.
Определить, какие из них взаимно перпендикулярны, а какие параллельны
или антипараллельны.
1.7.
Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам
A
= 2
i
+
j
−
k
и
B
=
i
−
j
+
k
.
1.8.
Известны векторы
A
и
B
. Представить вектор
A
в виде суммы двух
векторов:
A
k
— параллельного и
A
⊥
— перпендикулярного к
B
.
1.2. Векторный анализ
Основные дифференциальные операции.
Если любой точке про-
странства (или части пространства) ставится в соответствие некоторая ве-
личина, то говорят, что в пространстве задано поле этой величины. Если лю-
бой точке пространства ставится в соответствие число, то поле называется
6
скалярным; если любой точке пространства ставится в соответствие вектор,
то поле называется векторным.
С формальной точки зрения поле есть функция точки. Пусть задано ска-
лярное поле:
f
=
f
(
r
)
. Если в пространстве выбрана некоторая декартова си-
стема координат, то можем написать:
f
=
f
(
x, y, z
)
. Возьмем в пространстве
некоторую точку
M
. Из неё можно выходить по всевозможным направлени-
ям. Выберем некоторое направление
l
(рис. 1). Производной
f
по направле-
нию
l
называется скорость изменения поля в данном направлении:
df
dl
= lim
N
→
M
f
(
N
)
−
f
(
M
)
MN
.
На заданном направлении
l
координаты
x, y, z
являются функциями рассто-
яния
l
,
f
=
f
(
x
(
l
)
, y
(
l
)
, z
(
l
))
, поэтому
f
можно продифференцировать как
сложную функцию:
df
dl
=
∂f
∂x
dx
dl
+
∂f
∂y
dy
dl
+
∂f
∂z
dz
dl
.
Представим последнее выражение как скалярное произведение двух векто-
ров:
df
dl
=
µ
∂f
∂x
i
+
∂f
∂y
j
+
∂f
∂z
k
¶ µ
dx
dl
i
+
dy
dl
j
+
dz
dl
k
¶
.
Первый вектор здесь называется
градиентом
по-
M
N
t
l
Рис. 1
ля
f
grad
f
=
∂f
∂x
i
+
∂f
∂y
j
+
∂f
∂z
k
.
(1.3)
Второй вектор
dx
dl
i
+
dy
dl
j
+
dz
dl
k
=
d
(
x
i
+
y
j
+
z
k
)
dl
=
d
r
dl
=
τ
— это единичный вектор направления
l
. Таким образом,
df
dl
= (grad
f
·
τ
)
.
(1.4)
Из последнего выражения следует, что вектор
grad
f
в точке
M
указывает
в сторону наибыстрейшего возрастания поля
f
, причём эта наибыстрейшая
скорость равна
|
grad
f
|
. Из этого утверждения (которое составляет геомет-
рический смысл градиента) ясно, что градиент инвариантно связан с рас-
сматриваемым полем, т.е. остается неизменным при замене декартовых осей
(этого не видно из определения (1.3), данного в неинвариантной форме, «при-
вязанной» к какой-то системе координат). Итак, градиент скалярного поля
образует векторное поле.
7
Если ввести векторный дифференциальный
оператор
∇
(«набла»)
∇
=
i
∂
∂x
+
j
∂
∂y
+
k
∂
∂z
,
или
∇
=
µ
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
¶
,
(1.5)
то можно записать (1.3) в виде
grad
f
=
∇
f,
а (1.4) в виде
df
dl
= (
τ
· ∇
f
) = (
τ
· ∇
)
f.
Рассмотрим частный случай сферически симметричной функции
f
(т.е.
функции, которая зависит только от расстояния
r
=
|
r
|
до начала коорди-
нат).
Задача 1.
Показать, что
grad
f
(
r
) =
df
dr
r
r
.
Воспользуемся выражением для градиента в д.с.к. (1.3). Выразим
r
=
|
r
|
через
x, y, z
(
r
=
p
x
2
+
y
2
+
z
2
) и вычислим
∂f
∂x
=
df
dr
∂r
∂x
=
df
dr
x
r
.
Аналогично
∂f
∂y
=
df
dr
y
r
,
∂f
∂z
=
df
dr
z
r
, откуда
grad
f
(
r
) =
df
dr
r
r
.
J
(1.6)
Рассмотрим теперь векторное поле
a
(
r
)
и введем операцию дивергенции.
Составим отношение потока поля
a
через замкнутую поверхность
S
к объёму
области, ограниченному этой поверхностью
H
a
d
S
V
.
Предел этого отношения при стягивании области к точке
M
называется
ди-
вергенцией
поля
a
в точке
M
:
div
a
= lim
(
V
)
→
M
H
a
d
S
V
.
(1.7)
Отметим, что дивергенция векторного поля образует скалярное поле.
8
Задача 2.
Получить, исходя из определения ( 1.7), выражение для ди-
вергенции в д.с.к.
Выберем в качестве объема в формуле ( 1.7) бесконечно малый прямо-
угольный параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат. Тогда
поток вектора
a
через поверхность параллелепипеда можно представить в
виде шести слагаемых, отвечающих шести граням параллелепипеда:
I
S
a
d
S
= [
a
x
(
x
+
dx, y, z
)
−
a
x
(
x, y, z
)]
dydz
+
+ [
a
y
(
x, y
+
dy, z
)
−
a
y
(
x, y, z
)]
dxdz
+
+ [
a
z
(
x, y, z
+
dz
)
−
a
z
(
x, y, z
)]
dxdy
≈
≈
µ
∂a
x
∂x
+
∂a
y
∂y
+
∂a
z
∂z
¶
dV.
(1.8)
При вычислении поверхностных интегралов по граням использована теоре-
ма о среднем, величины
x, y, z
— значения координат в некоторой точке со-
ответствующей грани. Учтено также, что нормаль имеет противоположные
направления на противоположных гранях, а при стягивании объема в точ-
ку
M
все координаты принимают значения, соответствующие этой точке.
В результате (1.7) приводит к следующему выражению для дивергенции в
д.с.к.:
div
a
=
∂a
x
∂x
+
∂a
y
∂y
+
∂a
z
∂z
.
J
(1.9)
Принимая во внимание ( 1.5), ( 1.9), запишем дивергенцию векторного
поля
a
в виде скалярного произведения оператора
∇
на вектор
a
:
div
a
= (
∇
a
)
.
(1.10)
Задача 3.
Основываясь на определении дивергенции (1.7), вывести соот-
ношение, связывающее интеграл от
div
a
по некоторому объему с потоком
вектора
a
через поверхность, ограничивающую этот объем.
Выберем произвольный объем
V
, ограниченный поверхностью
S
. Разобъ-
ем его на малые ячейки
∆
V
i
, каждая из которых ограничена поверхностью
S
i
. У ячеек, примыкающих к внешней поверхности
S
, часть ограничивающих
их поверхностей совпадает с
S
. Все остальные участки поверхностей
S
i
бу-
дут общими для двух соседних ячеек. Пользуясь малостью каждой из ячеек,
запишем (1.7) в приближенной форме:
(div
a
)
i
∆
V
i
≈
I
S
i
a
d
S
i
.
Просуммируем теперь левую и правую часть последнего приближенного ра-
венства по
i
и перейдем к пределу, устремляя объем каждой ячейки к нулю.
9
Левая часть равенства перейдет при этом в интеграл по полному объему от
дивергенции. В правой части равенства интегралы по внутренним участкам
поверхностей
S
i
взаимно уничтожатся, так как внешние нормали для двух
соседних ячеек имеют противоположные направления. Останется лишь ин-
теграл по внешней поверхности
S
. В итоге получим соотношение
Z
V
div
a
dV
=
I
S
a
d
S
,
(1.11)
которое называется
теоремой Остроградского—Гаусса
.
J
Наконец, введем понятие ротора векторного поля. Рассмотрим плос-
кую площадку, перпендикулярную некоторому направлению
n
. Найдем цир-
куляцию вектора
a
по контуру, ограничивающему эту площадку и её отно-
шение к величине площадки:
H
a
d
l
S
.
Предел этого отношения при стягивании площад-
Контур
G
Рис. 2
ки (которая остается плоской) к точке
M
называет-
ся проекцией
ротора
векторного поля
a
на направле-
ние
n
(образующего с направлением обхода контура
правовинтовую систему)
(rot
a
)
n
= lim
(
S
)
→
M
H
a
d
l
S
.
(1.12)
Обратим внимание, что операция
rot
применяется к векторному полю и сам
ротор есть векторное поле.
Если рассмотреть циркуляцию по бесконечно малым прямоугольни-
кам, стороны которых параллельны осям координат, то можно найти выра-
жение для
rot
a
в д.с.к.:
rot
a
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
a
x
a
y
a
z
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Через оператор
∇
ротор выражается следующим образом:
rot
a
= [
∇
a
]
,
т.е. ротор векторного поля
a
есть векторное произведение вектора
∇
на век-
тор
a
.
10