ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 673
Скачиваний: 5
3.2.
Найти распределение объемной плотности тока в пространстве, если
магнитная индукция имеет вид: а)
B
=
f
(
r
)[
ar
]
, б)
B
= (
ar
)[
ar
]
, где
f
(
r
)
— произвольная дифференцируемая функция,
a
— постоянный вектор.
Ответ:
а)
j
=
c
2
π
·
f
(
r
)
a
+
df
(
r
)
dr
[
r
[
ar
]]
2
r
¸
,
б)
j
=
c
2
π
[3(
ar
)
a
−
a
2
r
]
.
3.3.
Показать, что однородному и постоянному магнитному полю
B
мож-
но сопоставить векторный потенциал
A
=
1
2
[
Br
]
. Удовлетворяет ли он усло-
вию
div
A
= 0
?
3.4.
Найти силу
J
бесконечного прямого тока, при которой на расстоянии
r
от провода создается индукция
B
.
3.5.
По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса
R
параллельно
её оси течет однородный ток с поверхностной плотностью
i
0
. Найти индук-
цию магнитного поля в любой точке пространства.
3.6.
Квадратная рамка со стороной
a
находится в одной плоскости с пря-
молинейным током
J
. На каком расстоянии от тока расположена ближайшая
сторона рамки, если поток магнитного поля через поверхность рамки равен
Φ
0
?
Ответ:
l
=
a
exp
¡
c
Φ
0
2
aJ
¢
−
1
.
3.7.
Показать, что магнитное поле бесконечно длинного цилиндрического
соленоида с густой намоткой (
n
витков на единицу длины, ток
J
) дается
формулами
B
=
4
π
c
nJ
k
внутри соленоида
,
B
= 0
снаружи
,
где ось
z
направлена вдоль соленоида.
3.8.
Внутри однородного длинного прямого провода круглого сечения име-
ется круглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода
и смещена относительно последней на расстояние
a
. По проводу течет посто-
янный ток плотностью
j
. Найти магнитную индукцию внутри полости.
Ответ:
B
=
2
π
c
[
ja
]
,
вектор
a
проведен от оси наружного цилиндра
к оси внутреннего.
3.9.
Ток
J
течет по длинному прямому проводнику в форме полуцилин-
дрической поверхности радиуса
R
. Найти магнитную индукцию на оси дан-
ной поверхности.
Ответ:
B
=
4
J
πcR
,
вектор
B
перпендикулярен плоскости симметрии
полуцилиндра.
46
3.10.
Тонкий диск радиуса
R
, равномерно заряженный с поверхностной
плотностью
σ
, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью
ω
. Найти
индукцию магнитного поля на оси диска.
Ответ:
B
= 2
πσ
|
z
|
"µ
1 +
R
2
z
2
¶
1
/
2
+
µ
1 +
R
2
z
2
¶
−
1
/
2
−
2
#
ω
c
.
3.11.
Ток
J
течет по тонкой бесконечной прямой токовой трубке, кото-
рая имеет локальное искривление в виде полуокружности радиуса
R
. Найти
магнитную индукцию в центре кривизны указанной полуокружности.
Ответ:
B
=
πJ
cR
n
,
где орт
n
нормали к плоскости полуокружности
образует правовинтовую систему с направлением тока, текущего по дуге.
3.12.
По тонкому кольцу радиуса
R
течет ток
J
. Найти магнитную ин-
дукцию
B
на оси кольца.
Ответ:
B
=
2
πR
2
J
n
c
(
z
2
+
R
2
)
3
/
2
,
где
n
— нормаль к плоскости кольца,
образующая с направлением тока
J
правовинтовую систему.
3.13.
Ток
J
течет по тонкой токовой трубке в форме равностороннего
треугольника со стороной
a
. Найти векторный потенциал и магнитную ин-
дукцию на больших расстояниях
r
от тока.
3.14.
Однородно заряженный цилиндр произвольной высоты и радиуса
R
вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью
ω
. Полный
заряд цилиндра равен
Q
, а его ось вращения образует с индукцией
B
внеш-
него однородного магнитного поля некоторый угол
α
. Определить энергию
U
взаимодействия цилиндра с магнитным полем.
Ответ:
U
=
QR
2
4
c
(
ω
B
)
.
3.15.
Заряд
Q
равномерно распределен по конической поверхности
(
x
2
+
+
y
2
=
z
2
,
0
6
z
6
h
)
, которая вращается вокруг своей оси с угловой скоро-
стью
ω
. Найти векторный потенциал
A
и индукцию
B
магнитного поля на
больших расстояниях от поверхности.
Ответ:
A
=
Qh
2
4
cr
3
[
ω
r
]
,
B
=
Qh
2
4
cr
3
(3(
ω
r
)
r
−
r
2
ω
)
.
3.16.
Две одинаковые равномерно заряженные сферические поверхности
радиуса
R
расположены на большом расстоянии друг от друга. Полный за-
ряд каждой сферической поверхности равен
Q
, а их угловые скорости враще-
ния вокруг собственных осей равны
ω
1
и
ω
2
. Определить магнитную энергию
47
U
взаимодействия сферических поверхностей.
Ответ:
U
=
µ
QR
2
3
c
¶
2
µ
3(
ω
1
r
)(
ω
2
r
)
r
5
−
ω
1
ω
2
r
3
¶
.
Рекомендуемая литература: [1], гл. II; [2], гл. V; [3], гл. 3; [4], гл. 5, 6.
48
Приложения
1. Основные дифференциальные операции в сферических
и цилиндрических координатах
В сферических координатах:
grad
f
=
∂f
∂r
e
r
+
1
r
∂f
∂θ
e
θ
+
1
r
sin
θ
∂f
∂ϕ
e
ϕ
,
(П.1)
div
a
=
1
r
2
∂
(
r
2
a
r
)
∂r
+
1
r
sin
θ
∂
(sin
θ a
θ
)
∂θ
+
1
r
sin
θ
∂a
ϕ
∂ϕ
,
(П.2)
rot
a
=
1
r
sin
θ
µ
∂
(sin
θa
ϕ
)
∂θ
−
∂a
θ
∂ϕ
¶
e
r
+
µ
1
r
sin
θ
∂a
r
∂ϕ
−
1
r
∂
(
ra
ϕ
)
∂r
¶
e
θ
+
+
µ
1
r
∂
(
ra
θ
)
∂r
−
1
r
∂a
r
∂θ
¶
e
ϕ
,
(П.3)
∆
f
=
1
r
2
∂
∂r
µ
r
2
∂f
∂r
¶
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂θ
µ
sin
θ
∂f
∂θ
¶
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
2
ϕ
.
(П.4)
В цилиндрических координатах:
grad
f
=
∂f
∂ρ
e
ρ
+
1
ρ
∂f
∂ϕ
e
ϕ
+
∂f
∂z
e
z
,
(П.5)
div
a
=
1
ρ
∂
(
ρa
ρ
)
∂ρ
+
1
ρ
∂a
ϕ
∂ϕ
+
∂a
z
∂z
,
(П.6)
rot
a
=
µ
1
ρ
∂a
z
∂ϕ
−
∂a
ϕ
∂z
¶
e
ρ
+
µ
∂a
r
∂z
−
∂a
z
∂r
¶
e
ϕ
+
+
µ
1
ρ
∂
(
ρa
ϕ
)
∂ρ
−
1
ρ
∂a
ρ
∂ϕ
¶
e
z
,
(П.7)
∆
f
=
1
ρ
∂
∂ρ
µ
ρ
∂f
∂ρ
¶
+
1
ρ
2
∂
2
f
∂ϕ
2
+
∂
2
f
∂z
2
.
(П.8)
49
2. Сферические функции
Сферические функции
Y
lm
(
θ, ϕ
)
определяются формулой
Y
lm
(
θ, ϕ
) =
s
2
l
+ 1
4
π
(
l
− |
m
|
)!
(
l
+
|
m
|
)!
P
|
m
|
l
(cos
θ
)
e
imϕ
,
(П.9)
где
−
l
6
m
6
l
и
l
= 0
,
1
, . . .
, а
P
m
l
(cos
θ
)
— присоединенные полиномы
Лежандра:
P
m
l
(cos
θ
) = sin
m
θ
d
m
P
l
(cos
θ
)
(
d
cos
θ
)
m
.
(П.10)
Функции
Y
lm
(
θ, ϕ
)
с индексами
l
= 0
,
1
, часто встречающиеся в приложе-
ниях, даются формулами
Y
00
(
θ, ϕ
) =
1
√
4
π
,
Y
10
(
θ, ϕ
) =
r
3
4
π
cos
θ,
Y
1
±
1
(
θ, ϕ
) =
∓
r
3
8
π
sin
θe
±
iϕ
.
(П.11)
Сферические функции образуют полную ортонормированную систему,
один из примеров разложения по ней дает мультипольный ряд (2.40).
Условие ортогональности и нормировки функций
Y
lm
имеет вид:
2
π
Z
0
dϕ
π
Z
0
dθ
sin
θ Y
∗
lm
(
θ, ϕ
)
Y
l
0
m
0
(
θ, ϕ
) =
δ
ll
0
δ
mm
0
.
(П.12)
При действии оператора Лапласа на функцию
Y
lm
(
θ, ϕ
)
последняя вос-
производится
∆
Y
lm
(
θ, ϕ
) =
−
l
(
l
+ 1)
r
2
Y
lm
(
θ, ϕ
)
,
(П.13)
т.е.
Y
lm
(
θ, ϕ
)
является собственной функцией оператора
∆
θϕ
(см. (1.31), (П.4))
с собственным значением
−
l
(
l
+ 1)
.
50