ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3446
Скачиваний: 14
302
Глава 3. Линейная алгебра
кую, что
A ≥ B ≥
0
и
n
P
j
=1
b
ij
=
α
∀
i
= 1
, . . . , n
(например, можно по-
ложить
b
ij
=
α a
ij
n
P
j
=1
a
ij
!
−
1
.
Тогда из леммы 1 следует, что
r
(
B
) =
α
и
α
=
r
(
B
)
≤
r
(
A
)
согласно следствию 1. Таким же образом устанавливаются
верхние оценки. Оценки со столбцовыми суммами для
A
вытекают из оценок
со строчными суммами для матрицы
A
t
.
Теорема доказана.
Следствие 5
. Если
n
P
j
=1
a
ij
>
0
∀
i
= 1
, . . . , n,
то
r
(
A
)
>
0
.
Т е о р е м а 3.
Если
0
≤ A ∈
M atr
n
(
R
)
,
то для любого положительного
вектора
x
∈
R
n
справедливы неравенства
min
1
≤
i
≤
n
1
x
i
n
P
j
=1
a
ij
x
j
≤
r
(
A
)
≤
max
1
≤
i
≤
n
1
x
i
n
P
j
=1
a
ij
x
j
,
min
1
≤
j
≤
n
x
j
n
P
i
=1
a
ij
x
i
≤
r
(
A
)
≤
max
1
≤
j
≤
n
x
j
n
P
i
=1
a
ij
x
i
.
Доказательство.
Рассмотрим диагональную матрицу
S
с диагональ-
ными элементами
x
1
, . . . , x
n
.
Поскольку
r
(
S
−
1
A
S
) =
r
(
A
)
и
S
−
1
A
S
≥
0
,
то
применив теорему 2 к матрице
S
−
1
A
S
= (
a
ij
x
j
x
−
1
i
)
,
получим доказываемые
неравенства. Теорема доказана.
Следствие 6.
Если
0
≤ A ∈
M atr
n
(
R
)
,
0
< x
∈
R
n
и числа
α, β
≥
0
таковы, что
αx
≤ A
x
≤
βx,
то
α
≤
r
(
A
)
≤
β.
Если
αx <
A
x,
то
α < ρ
(
A
);
если
A
x < βx,
то
r
(
A
)
< β.
Лемма 2.
Пусть
A ∈
M atr
n
(
R
)
- положительная матрица,
A
x
=
λx,
x
6
= 0
и
|
λ
|
=
r
(
A
)
.
Тогда
A |
x
|
=
r
(
A
)
|
x
|
.
Доказательство.
Из условий леммы получаем
r
(
A
)
|
x
|
=
|
λ
| |
x
|
=
|
λx
|
=
| A
x
|≤| A | |
x
|
=
A |
x
|
,
так что
y
=
A |
x
| −
r
(
A
)
|
x
|≥
0
.
Поскольку
|
x
|≥
0
и
x
6
= 0
,
то согласно
свойству 5 леммы 1,
A |
x
|
>
0
.
Следствие 4 также гарантирует, что
r
(
A
)
>
0
.
Поэтому, если
y
= 0
,
то
A |
x
|
=
r
(
A
)
|
x
|
и
|
x
|
=
r
(
A
)
−
1
A |
x
|
>
0
.
Если
y
6
= 0
,
то
z
=
A |
x
|
>
0
и, вновь согласно свойству 5 леммы 2,
получаем
0
<
A
y
=
A
z
−
r
(
A
)
z
или
A
z > r
(
A
)
z.
Из следствия 6 получаем
§
41. Неотрицательные матрицы
303
противоречивое неравенство
r
(
A
)
> r
(
A
)
.
Значит,
y
= 0
.
Лемма доказана.
Следствие 7.
Пусть
0
≤ A ∈
M atr
n
(
R
)
.
Если
x >
0
- собственный
вектор для
A
,
то отвечающее ему собственное значение совпадает с
r
(
A
)
.
Доказательство.
Если
x >
0
и
A
x
=
λx,
то
λ
≥
0
и
λx
≤ A
x
≤
λx,
но тогда согласно следствию 6,
λ
≤
r
(
A
)
≤
λ.
Следствие доказано.
Т е о р е м а 4.
Пусть
A ∈
M atr
n
(
R
)
и
A
>
0
.
Тогда
r
(
A
)
>
0
, r
(
A
)
- собственное значение для
A
и существует положительный вектор
x
такой,
что
A
x
=
r
(
A
)
x.
Доказательство.
Пусть
λ
∈
σ
(
A
)
с
|
λ
|
=
r
(
A
)
>
0
и
x
- отвечаю-
щий собственному значению
λ
собственный вектор. Из леммы 2 следует, что
A |
x
|
=
r
(
A
)
|
x
|
.
Теорема доказана.
Следствие 7.
Если
A
- положительная марковская матрица, то
r
(
A
) = 1
и существует положительный собственный вектор
x
такой, что
A
x
=
x.
Сформулированное утверждение вытекает из следствия 4 и теоремы 4.
Лемма 3.
Если
0
<
A ∈
M atr
n
(
R
)
,
A
x
=
λx, x
6
= 0
и
|
λ
|
=
r
(
A
)
.
Тогда для некоторого
Θ
∈
T
имеем
Θ
x
=
|
x
|
>
0
.
Доказательство.
Согласно условиям леммы,
| A
x
|
=
|
λx
|
=
r
(
A
)
|
x
|
и тогда из леммы 2 следует, что
A |
x
|
=
r
(
A
)
|
x
|
и
|
x
|
>
0
.
Из этих двух
равенств получаем
r
(
A
)
|
x
k
|
=
|
λ
| |
x
k
|
=
|
λx
k
|
=
n
X
j
=1
a
kj
x
j
≤
n
X
j
=1
a
kj
|
x
j
|
=
r
(
A
)
|
x
k
|
.
Значит, комплексные (ненулевые) числа
a
kj
x
j
,
1
≤
j
≤
n,
расположены в
плоскости на одном луче. Это влечет существование угла
ϕ
∈
[0
,
2
π
)
такого,
что
Θ
a
kj
x
j
>
0
для
Θ =
e
−
iϕ
и всех
k, j
= 1
, . . . , n.
Лемма доказана.
Т е о р е м а 5.
Пусть матрица
A ∈
M atr
n
(
R
)
положительна. Тогда
любое собственное значение
λ
∈
σ
(
A
)
, λ
6
=
r
(
A
)
,
удовлетворяет неравенству
|
λ
|
< r
(
A
)
.
Доказательство.
Предположим, что
|
λ
|
=
r
(
A
)
и
A
x
=
λx, x
6
= 0
.
304
Глава 3. Линейная алгебра
Согласно лемме 3,
A
y
=
λy,
где
y
= Θ
x >
0
для некоторого
Θ
∈
Π
.
Отсюда
и из следствия 7 получаем, что
λ
=
r
(
A
)
.
Теорема доказана.
Т е о р е м а 6.
Если
0
<
A ∈
M atr
n
(
R
)
,
то геометрическая кратность
собственного значения
r
(
A
)
равна единице.
Доказательство.
Докажем одномерность собственного подпространст-
ва
E
(
r
(
A
)
,
A
)
.
Пусть
x, y
- собственные векторы из
C
n
,
отвечающие соб-
ственному значению
r
(
A
)
.
Из леммы 3 следует существование чисел
Θ
1
,
Θ
2
∈
Π
таких, что
(
x
i
) =
e
x
= Θ
1
x >
0
,
(
y
i
) =
e
y
= Θ
2
y >
0
.
Положим
α
= min
1
≤
i
≤
n
y
i
x
−
1
i
и образуем вектор
z
=
e
y
−
β
e
x.
Заметим, что
z
≥
0
и хотя
бы одна из координат этого вектора не является положительным числом. В
то же время
A
z
=
A
e
y
−
α
A
e
x
=
r
(
A
)
e
y
−
αr
(
A
)
e
x
=
r
(
A
)
z.
Поэтому, если
z
6
= 0
,
то из свойства 5 леммы 2 следует, что
z
=
r
(
A
)
−
1
A
z >
0
.
Получено
противоречие. Значит
e
y
=
α
e
x
и
y
= Θ
−
1
2
Θ
1
αx.
Теорема доказана.
Следствие 8.
Если
0
<
A ∈
M atr
n
(
R
)
,
то существует единственный
вектор
x
∈
C
n
со свойствами:
A
x
=
r
(
A
)
x, x >
0
и
n
P
i
=1
x
i
= 1
.
305
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра / В.В.Воеводин. - М.: Наука, 1980.
2. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре / И.М.Гельфанд. - М.:
Наука, 1971.
3. Глазман И.М. Конечномерный линейный анализ / И.М.Глазман,
Ю.М.Любич. - М.: Наука, 1969.
4. Грей П. Логика, алгебра и базы данных / П.Грей. - М.: Мир, 1989.
5. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре / Х.Д.Икрамов. - М.:
Наука, 1975.
6. Ильин В.А. Линейная алгебра / В.А.Ильин, Э.Г.Позняк . - М.: Наука,
1974.
7. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального ана-
лиза / А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. - М.: Наука, 1980.
8. Кук Д. Компьютерная математика / Д.Кук, Г.Бейз. - М.: Мир, 1990.
9. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г.Курош. - М.: Физматгиз, 1975.
10. Стренг Г. Линейная алгебра и её применения / Г.Стренг. - М.: Наука,
1980.
11. Фаддеев Д.К. Сборник задач по высшей алгебре / Д.К.Фаддеев,
Н.С.Соминский. - М.: Наука, 1977.
12. Халмош П. Конечномерные векторные пространства / П.Халмош. -
М.: Мир, 1963.
13. Сборник задач по алгебре / под ред. А.И.Кострикина. - М.: Факто-
риал, 1995.
14. Кострикин А.И. Введение в алгебру / А.И.Кострикин. Часть I. Осно-
вы алгебры: Учебник для вузов. - 2-е изд., исправл. - М.: Физико-математи-
ческая литература, 2001.
15.Кострикин А.И. Введение в алгебру / А.И.Кострикин. Часть II. Ли-
нейная алгебра: Учебник для вузов. - 2-е изд., исправл. - М.: Физико-матема-
306
тическая литература, 2001.
16. Кострикин А.И. Введение в алгебру / А.И.Кострикин. Часть III. Ос-
новные структуры: Учебник для вузов. - 2-е изд., исправл. - М.: Физико-
математическая литература, 2001.
17. Сборник задач по алгебре / К.Койбаев. Основы алгебры. - Владикав-
каз: Изд-во СОГУ. - 2002.