ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3447
Скачиваний: 14
§
40. Рекуррентные соотношения
297
ния (8) (т.е.
sup
n
≥
1
k
x
(
n
)
k
=
∞
).
Т е о р е м а 2.
Разностное уравнение (8) (матрица
A
)
1) устойчиво тогда и только тогда, когда
σ
(
A
)
⊂
D
=
{
λ
∈
C
:
|
λ
|≤
1
}
и для любого собственного значения
λ
0
c
|
λ
0
|
= 1
его алгебраическая и
геометрические кратности совпадают;
2) асимптотические устойчиво в точности тогда, когда спектральный ра-
диус
r
(
A
)
оператора
A
меньше единицы;
3) неустойчиво только в том случае, если выполнено одно из условий: a)
r
(
A
)
>
1;
б) существует собственное значение
λ
0
,
|
λ
0
|
= 1
,
и его геометри-
ческая кратность не совпадает с алгебраической.
Если
|
λ
p
|
>
1
для одного из собственных значений
λ
p
оператора
A
,
то для любого собственного вектора
x
0
∈
E
(
λ
p
, A
)
получаем
A
n
x
0
=
λ
n
p
x
0
.
Поскольку
k
x
0
k
=
|
λ
p
|
n
k
x
0
k→ ∞
при
n
→ ∞
,
то решение
x
(
n
) =
A
n
x
0
,
n
≥
1
,
разностного уравнения (8) неустойчиво.
Если оператор
A
имеет собственное значение
λ
p
c
|
λ
p
|
= 1
и его
алгебраическая и геометрические кратности не совпадают, то рассмотрим
некоторый собственный вектор
e
1
и присоединенный к нему вектор
e
2
таких,
что
Ae
1
=
λ
p
e
1
, Ae
2
=
e
1
+
λ
p
e
2
.
Тогда
A
n
e
2
=
nλ
p
e
1
+
λ
n
p
e
2
и поэтому
k
A
n
e
2
k
=
k
nλ
p
e
1
+
λ
n
p
e
2
k≥
≥|
n
|
λ
p
|k
e
1
k − k
e
2
k|→ ∞
при
n
→ ∞
.
Значит, и в этом случае
разностное уравнение (8) неустойчиво.
Пусть теперь собственное значение
λ
p
обладает свойством
|
λ
p
|
<
1
.
Тогда для любого вектора
x
из отвечающего ему корневого подпространства
X
p
получаем, что
Ax
=
λ
p
x
+
Q
p
x,
где
Q
p
- нильпотентный оператор и при
λ
p
6
= 0
A
n
x
=
λ
n
p
I
+
Q
p
λ
p
n
x
=
λ
n
p
n
−
1
p
P
k
=1
C
k
n
Q
k
p
X
λ
k
p
→
0
при
n
→ ∞
(
n
p
- индекс
нильпотентности оператора
Q
p
). Если же
λ
p
= 0
,
то
A
n
x
= 0
∀
n
≥
n
p
.
Если
|
λ
p
|
= 1
,
причем геометрическая и алгебраическая кратности сов-
298
Глава 3. Линейная алгебра
падают для
λ
p
,
то сужение
A
p
оператора
A
на подпространство
X
p
является
скалярным оператором, т.е.
A
p
=
λ
p
I
p
.
Поэтому
A
n
x
=
λ
n
p
x
∀
x
∈
X
p
и, зна-
чит,
k
A
n
x
k
=
k
x
k
для всех
n
≥
1
.
Поскольку
X
=
X
1
L
· · ·
L
X
m
,
то все утверждения теоремы следуют
из проведенного выше анализа поведения степеней оператора
A
на векторах
из инвариантных подпространств
X
p
,
1
≤
p
≤
m.
Теорема доказана.
Отметим, что для матрицы
A
вида (4), возникающей при определении
последовательности, определяемый соотношениями (1), её характеристиче-
ский многочлен
p
A
имеет вид
p
A
(
λ
) = (
−
1)
m
(
λ
m
−
α
1
λ
m
−
1
− · · · −
α
m
−
1
λ
−
α
m
)
, λ
∈
C
.
Т е о р е м а 3.
Для любого оператора
A
∈ L
(
X
)
имеет место равенство
r
(
A
) = lim
n
→∞
n
p
k
A
n
k
.
Доказательство.
Поскольку
σ
(
A
n
) =
{
λ
n
;
λ
∈
σ
(
A
)
}
} (см. теоре-
му 5, § 33), то
r
(
A
n
) =
r
(
A
)
n
.
Поэтому из леммы 1, § 37 получаем, что
r
(
A
)
n
≤k
A
n
k
и, следовательно,
r
(
A
) =
n
p
k
A
n
k
∀
n
≥
1
.
Докажем неравенство в другую сторону. По любому
ε >
0
рассмотрим
оператор
A
ε
=
A
r
(
A
)+
ε
.
Поскольку
r
(
A
ε
) =
r
(
A
)
r
(
A
)+
ε
<
1
,
то из теоремы 2 следует,
что для любого вектора
x
∈
X
lim
n
→∞
A
n
ε
x
= 0
.
Следовательно,
sup
n
≥
m
k
A
n
ε
k≤
1
(докажите это!) для некоторого
m
∈
N
и поэтому
k
A
n
k≤
(
r
(
A
)+
ε
)
n
, n
≥
m,
или, эквивалентно
k
A
n
k≤
r
(
A
) +
ε
∀
n
≥
m.
Поскольку величина
ε >
0
произвольна, то вспоминая неравенство
r
(
A
)
≤
n
p
k
A
n
k
,
приходим к заклю-
чению, что предел
lim
n
→∞
n
p
k
A
n
k
существует и равен
r
(
A
)
.
Упражнения к § 40
1. Определить последовательность
x
:
N
→
R
,
если
x
(
n
+ 2) =
1
2
(
x
(
n
) +
x
(
n
+ 1)
, x
(1) = 0
, x
(1) = 1
/
2
.
§
41. Неотрицательные матрицы
299
2. Предположим, что Фиббоначи начинал свою последовательность с
F
(1) = 1
и
F
(2) = 3
и следовал тому же правилу
F
(
k
+ 2) =
F
(
k
+ 1) +
F
(
k
)
.
Найти последовательность
F
и показать, что последовательность
f
(
k
+ 1)
/f
(
k
)
, k
≥
1
по-прежнему стремится к "золотому сечению".
3. Какие значения числа
α
∈
R
приводят к неустойчивости системы раз-
ностных уравнений
x
n
+1
=
α
(
x
n
+
y
n
)
,
y
n
+1
=
α
(
x
n
−
y
n
)
, n
≥
1
.
4. Доказать устойчивость матрицы
A
=
0 4
0 1
/
2
.
5. Показать, что для матрицы
A
=
1 1
0 1
спектральный радиус равен
1, но матрица
A
не является устойчивой.
§
41. Неотрицательные матрицы
Излагаемые в этом параграфе понятия и результаты находят широкое
применение в математической экономике. Надеюсь, что используемая здесь
терминология не приведет к путанице, которая может возникнуть в связи с
использованием близких по названию терминов из § 37.
Определение 1.
Матрицу
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
m,n
(
R
)
назовем неотри-
цательной, и будем писать
A ≥
0
,
если
a
ij
≥
0
.
Если
a
ij
>
0
для всех
1
≤
i
≤
m,
1
≤
j
≤
n,
то матрица
A
называется положительной и будет
использовано обозначение
A
>
0
.
На множестве (прямоугольных) матриц
M atr
m,n
(
R
)
введем отношение
порядка
A ≤ B
,
если
B − A ≥
0
для
A
,
B ∈
M atr
n
(
R
)
.
Таким образом,
M atr
m,n
(
R
)
- частично упорядоченное множество (как и мно-
жество
R
n
;
см.
§
2
).
300
Глава 3. Линейная алгебра
Для любой матрицы
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
m,n
(
R
)
положим
| A |
= (
|
a
ij
|
)
∈
M atr
m,n
(
R
)
.
Если
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
∈
C
n
,
то
|
x
|
= (
|
x
1
|
, . . . ,
|
x
n
|
)
∈
R
n
.
Все утверждения следующих лемм следуют из определений (докажите
их !).
Лемма 1.
Пусть
A
,
B ∈
M atr
m,n
(
R
n
)
.
Тогда
1)
| A |≥
0
и
| A |
= 0
⇔ A
= 0;
2)
|
α
A |
=
|
α
| | A |
∀
α
∈
R
;
3)
| A
+
B |≤| A |
+
| B |
;
4) если
A
,
B ≥
0
,
то
α
A ∈
β
B ≥
0
∀
α, β >
0;
5) если
A ≥ B
и
≥ D
(
β,
D ∈
M atr
m,n
(
R
))
,
то
A
+
C
≥ B
+
D
.
Лемма 2.
Пусть
A
,
B ∈
M atr
n
(
R
)
и
x
∈
C
n
.
Тогда
1)
| A
x
| ≤ | A ||
x
|
;
2)
| AB | ≤ | A || B |
;
3)
| A
m
| ≤ | A |
m
m
∈
N
;
4) если
0
≤ AB
,
то
0
≤ A
m
≤ B
m
∀
m
∈
N
;
5) если
A
>
0
,
0
6
=
x
≥
0
,
то
A
x >
0;
6) если в
C
n
введена одна из норм примера 4, § 16, то
k
A
kk
A
k
(
A
и
A
операторы из
L
(
C
n
)
,
определенные матрицами
A
и
| A |
соответственно)
и если
| A |≤| B |
,
то и
k
A
k≤k
B
k
.
Т е о р е м а 1.
Пусть
A
,
B ∈
M atr
n
(
R
)
и
A, B
∈ L
(
C
n
)
- операто-
ры, определяемые этими матрицами. Если
|
A
| ≤|
B
|
,
то
r
(
A
) =
r
(
A
)
≤
≤
r
(
|
A
|
)
≤
r
(
B
) =
r
(
B
)
.
Доказательство.
Согласно свойствам 3 и 4 леммы 2
| A
n
|≤| A |
n
≤ B
n
∀
n
≥
1
.
Далее, из свойства в той же леммы имеют место неравенства
k
A
n
k
≤ k|
A
|
n
k
≤ k
B
n
k
n
p
k
A
n
k ≤
n
p
k|
A
|
n
k ≤
n
p
k
B
n
k
, n
= 1
,
2
, . . . .
Переходя к пределу при
n
→ ∞
,
из теоремы 3, § 4 получаем
r
(
A
)
≤
≤
r
(
|
A
|
)
r
(
B
)
.
Теорема доказана.
§
41. Неотрицательные матрицы
301
Следствие 1.
Если
A
,
B ∈
M atr
n
(
R
)
и
0
≤ A ≤ B
,
то
r
(
A
)
≤
r
(
B
)
.
Следствие 2.
Если
0
≤ A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
R
)
,
то
max
1
≤
i
≤
n
a
ii
≤
r
(
A
)
.
Лемма 1.
Если
0
≤ A ∈
M atr
n
(
R
)
и строчные суммы
n
P
j
=1
a
ij
,
1
≤
i
≤
n
для
A
постоянны, то
r
(
A
) = max
1
≤
i
≤
n
n
P
j
=1
a
ij
.
Если для
A
постоянны столбцовые
суммы
n
P
i
=1
a
ij
,
1
≤
j
≤
n,
то
r
(
A
) = max
1
≤
j
≤
n
n
P
i
=1
a
ij
.
Доказательство.
В лемме 1, § 37 было установлено неравенство
r
(
A
)
≤k
A
k
для любого линейного оператора
A
∈
L
(
R
n
)
при любом вы-
боре нормы в
R
n
.
Следовательно (см. следствие 2, § 20)
r
(
A
)
≤k A k
=
k
A
k
для
A
∈
L
(
R
n
)
,
определяемого матрицей
A
.
Если же строчные суммы мат-
рицы
A
постоянны, то вектор
x
0
= (1
, . . . ,
1)
- собственный вектор матрицы
A
,
отвечающий собственному значению
k A k
= max
1
≤
i
≤
n
n
P
j
=1
a
ij
=
k
A
k
(при
норме
k
x
k
3
= max
1
≤
i
≤
n
|
x
i
|
;
см. пример 11, § 18). Следовательно,
r
(
A
) =
k A k
.
Рассматривая столбцовые суммы, можно использовать те же доводы
применительно к
A
t
,
при этом учитывая, что
r
(
A
) =
r
(
A
t
)
(см. упр. 27,
§ 37). Лемма доказана.
Следствие 3.
Если
0
≤ A ∈
M atr
n
(
R
)
,
и
A 6
= 0
,
то
r
(
A
)
>
0
.
Определение 1.
Неотрицательная матрица
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
R
)
называется
марковской
(или
стохастической
), если
n
P
i
=1
a
ij
= 1
для всех
j
= 1
, . . . , n.
Следствие 4.
Если
A
- марковская матрица из
M atr
n
(
R
)
,
то
r
(
A
) = 1
.
Т е о р е м а 2.
Пусть
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
R
)
- неотрицательная
матрица. Тогда
min
1
≤
i
≤
n
n
P
j
=1
a
ij
≤
r
(
A
)
≤
max
1
≤
i
≤
n
n
P
j
=1
a
ij
,
min
1
≤
j
≤
n
n
P
i
=1
a
ij
≤
r
(
A
)
≤
max
1
≤
j
≤
n
n
P
j
=1
a
ij
.
Доказательство.
Положим
α
= min
1
≤
i
≤
n
n
P
j
=1
a
ij
(без ограничения общно-
сти можно считать
α >
0
,
т.е.
A 6
= 0
) и построим новую матрицу
B
та-