ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3444
Скачиваний: 14
292
Глава 3. Линейная алгебра
то матрица
A
обратима.
Доказательство.
Матрицу
A
представим в виде суммы
A
=
A
0
+
B
диагональной матрицы
A
0
= (
a
ii
δ
ij
)
и матрицы
B
=
A −
A
0
.
Матрица
A
0
обратима, причем
A
−
1
0
= (
a
−
1
ii
δ
ij
)
и
A
−
1
0
B
= (
b
ij
)
,
где
b
ii
= 0
,
1
≤
i
≤
n, b
ij
=
=
a
−
1
ii
a
ij
, i
6
=
j.
В алгебре
M atr
n
(
K
)
выберем норму, определенную формулой
(8). Тогда из условия (9) следует, что
kA
−
1
0
Bk
=
k
(
b
ij
)
k
<
1
.
Следователь-
но, из теоремы 1 следует (см. замечание) обратимость матрицы
A
.
Лемма
доказана.
Т е о р е м а 4.
Собственные значения матрицы
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
C
)
находятся в объединении
n
кругов (называемых
кругами Гершгорина
)
{
z
∈
C
:
|
z
−
a
kk
| ≤
r
k
}
, k
= 1
, . . . , n,
где
r
k
=
n
X
j
=1
, j
6
=
k
|
a
kj
|
.
Доказательство.
Если число
λ
0
∈
C
не лежит в объединении кругов
Гершгорина, то
|
λ
0
−
a
kk
|
> r
k
для некоторого
k
(1
≤
k
≤
n
)
.
Тогда матрица
A
−
λ
0
E
имеет диагональные элементы вида
a
ii
−
λ
0
, i
= 1
, . . . , n,
удовлетво-
ряющие условиям леммы 2, и поэтому она обратима.
Упражнения к § 39
1. Докажите, что
χ
(
U
) = 1
для любого унитарного оператора
U
∈
L
(
H
)
.
2. Докажите оценку
χ
(
AB
)
≤
χ
(
A
)
χ
(
B
)
∀
A, B
∈
L
(
X
)
.
3. Докажите равенства
χ
(
U A
) =
χ
(
AU
) =
χ
(
U AU
)
для любого
A
∈
L
(
H
)
и для любого унитарного оператора
U
∈
L
(
H
)
.
4.
χ
(
A
) =
λ
−
1
min
(
A
)
λ
max
(
A
)
∀
A
=
A
∗
∈
L
(
H
) (
λ
min
(
A
))
- минимальное,
λ
max
(
A
)
- максимальное собственное значение обратимого оператора
A
).
5. Установите неравенство
χ
(
A
)
≥ |
λ
max
(
A
)
|
/
|
λ
min
(
A
)
| ∀
A
∈
L
(
X
)
.
§
40. Рекуррентные соотношения
293
6. Проведите детальное доказательство оценки (7).
7. Рассматривая матрицы
1
1
1
−
ε
1
, ε
≥
0
,
установите, что в условиях
(9) строгие неравенства не могут быть заменены нестрогими.
8. Найдите круги Гершгорина для матриц
7 3
6
2 1
−
1
3 1
1
,
5 2 2
1 1 0
−
1 2 1
и оцените её спектральный радиус.
9. Рассмотрите уравнение вида
x
=
Ax
+
b, b
∈
X,
где
A
∈
L
(
X
)
и
k
A
k
<
1
.
Докажите существование и единственность решения
x
0
этого уравнения
и получите оценки
k
x
0
−
(
b
+
Ab
+
· · ·
+
A
m
b
)
k ≤
k
A
k
m
+1
1
− k
A
k
k
b
k
.
10. Найдите с точностью до 0,01 (относительно нормы
k
x
k
= max
k
=1
,
2
,
3
|
x
k
|
в
R
3
) приближенное решение системы уравнений вида
7
x
1
+
x
2
+
x
3
= 1
,
2
x
1
+ 10
x
2
−
x
3
= 0
,
x
1
−
x
2
+ 6
x
2
= 1
(указание: преобразуйте систему уравнений к уравнению из упражнения 9).
§
40. Рекуррентные соотношения
Рассмотрим задачу построения последовательности
x
:
N
→
C
,
для ко-
торой известны первые
m
≥
1
членов
x
(1) =
x
0
1
, . . . , x
(
m
) =
x
0
m
и все после-
дующие задаются рекуррентными соотношениями
x
(
n
+
m
) =
α
1
x
(
n
+
m
−
1) +
α
2
x
(
n
+
m
−
2) +
· · ·
+
α
m
x
(
n
)
, n
≥
1
,
(1)
где
α
1
, . . . , α
m
- известные числа из
C
.
294
Глава 3. Линейная алгебра
Введем в рассмотрение последовательности
x
k
:
N
→
C
,
1
≤
k
≤
m,
определенные равенствами
x
1
(
n
) =
x
(
n
)
,
x
2
(
n
) =
x
(
n
+ 1)
,
.........................
x
m
(
n
) =
x
(
n
+
m
)
, n
≥
1
.
Используя (1), получаем, что такие последовательности связаны друг с
другом равенствами
x
1
(
n
+ 1) =
x
2
(
n
)
,
x
2
(
n
+ 1) =
x
3
(
n
)
,
.........................
x
m
(
n
+ 1) =
α
m
x
1
+
α
m
−
1
x
2
(
n
) +
· · ·
+
α
1
x
m
(
n
)
, n
≥
1
.
(2)
Рассмотрим последовательность
y
:
Z
→
C
m
вида
y
(
n
) = (
x
1
(
n
)
, . . . , x
m
(
n
))
, n
≥
1
.
Из (2) следует, что для нее верны равенства
y
(
n
+ 1) =
A y
(
n
)
, n
≥
1
,
(3)
где оператор
A
∈
L
(
C
n
)
определен с помощью матрицы
A
=
0
1
0
. . .
0
0
0
0
1
. . .
0
0
. . .
. . .
. . .
. . . . . . . . .
0
0
0
. . .
1
0
α
m
α
m
−
1
α
m
−
2
. . . α
2
α
1
.
(4)
Поскольку
y
(1) = (
x
0
1
, . . . , x
0
m
) =
x
0
- известный вектор из
C
m
,
то из (3)
получаем, что
y
(2) =
Ax
0
, y
(3) =
A
2
x
0
, . . . ,
и, значит,
y
(
n
) =
A
n
−
1
x
0
, n
≥
1
.
(5)
Таким образом, определяемая соотношениями (1) последовательность
x
:
N
→
C
получается из формулы (5) и имеет вид
x
(
n
) = (
A
n
−
1
x
0
, e
1
)
, n
≥
1
,
(6)
§
40. Рекуррентные соотношения
295
т.е.
x
(
n
)
является числом, равным скалярному произведению вектора
A
n
−
1
x
0
на вектор
e
1
= (1
,
0
, . . . ,
0)
∈
C
n
(в
C
n
обычным образом введено скалярное
произведение).
Итак, установлена
Т е о р е м а 1.
Задаваемая рекуррентными соотношениями последо-
вательность
x
:
N
→
C
с известными первыми её
m
членами
x
(
k
) =
x
0
k
,
1
≤
k
≤
m,
определяется равенствами (6).
Пример 1.
Последовательность целых чисел вида
0
,
1
,
1
,
2
,
3
,
5
,
8
,
13
, . . .
называется последовательностью Фиббоначи. Легко уловить её характер:
каждое из чисел Фиббоначи равняется сумму двух предшествующих
F
(
k
+ 2) =
F
(
k
+ 1) +
F
(
k
)
, k
= 0
,
1
, . . . .
(7)
Отметим, что рекуррентные соотношения (7) возникают в огромном чисел
приложений.
Обращаясь к общей схеме, ясно, что в данном случае
m
= 2
, x
0
= (0
,
1)
,
α
1
=
α
2
= 1
,
и матрица
A
имеет вид
A
=
0 1
1 1
.
Её собственными значениями являются числа
λ
1
=
1+
√
5
2
, λ
2
=
1
−
√
5
2
,
т.е. она
является матрицей простой структуры. Из теоремы 5, § 29 следует, что она
допускает спектральное разложение вида
A
=
1 +
√
5
2
P
1
+
1
−
√
5
2
P
2
,
где идемпотентные матрицы
P
1
и
P
2
имеют вид
P
1
=
A −
λ
2
E
λ
1
−
λ
2
=
1
5
√
5
−
1
2
1
1
√
5+1
2
!
,
P
2
=
1
√
5
−
1
−
√
5
2
+1
+1
1
−
√
5
2
!
.
296
Глава 3. Линейная алгебра
Поэтому
A
n
=
λ
n
1
√
5
√
5
−
1
2
1
1
√
5+1
2
!
+
2
√
5
−
1
−
√
5
2
−
1
−
1
−
1+
√
5
2
!
,
и, следовательно,
из формулы (5) получаем, что последовательность чисел Фиббоначи име-
ет вид
F
(
n
) =
h
1+
√
5
2
n
−
1
−
√
5
2
n
i
,
n
≥
1
.
Ответ является несколько
неожиданным, поскольку числа Фиббоначи являются целыми. Однако, ясно,
что полученные дроби и квадратные корни в представлении
F
(
n
)
должны
сократиться. Поскольку число
1
√
5
1
−
√
5
2
всегда меньшем чем 1/2, причем
lim
n
→∞
1
√
5
1
−
√
5
2
= 0
,
то оно превращает первый член в ближайшее целое
число. При больших
n
число
F
(
n
+ 1
/F
(
n
))
должно быть очень близко к
величине
1+
√
5
2
'
1
.
618
,
которая была названа греками "золотым сечением"
(стороны наиболее красивых прямоугольников относятся друг к другу как
1.618 к 1).
Итак, рассматривая последовательности, задаваемые рекуррентными со-
отношениями, мы пришли к задаче определения векторной последовательно-
сти
x
:
N
→
C
,
которая удовлетворяет "одношаговому" разностному урав-
нению
x
(
n
+ 1) =
Ax
(
n
)
, n
≥
1
,
(8)
где
A
∈
L
(
C
)
и
x
(1) =
x
0
- заданный вектор из
C
n
.
Последовательность
x
определяется формулой
x
(
n
+ 1) =
A
n
x, n
≥
0
.
(9)
В дальнейшем
X
рассматривается как линейное (9) нормированное простран-
ство.
Определение 1.
Разностное уравнение (8) (или матрицу
A
) назовем
1)
устойчивым
, если любое решение
x
:
N
→
C
n
этого уравнения огра-
ничено (т.е.
sup
n
≥
1
k
x
(
n
)
k
<
∞
);
2)
асимптотическим устойчивым
, если
lim
n
→∞
x
(
n
) = 0
для любого
решения
x
этого уравнения;
3)
неустойчивым
, если существует неограниченное решение
x
уравне-