Файл: Методичка по ФОКИ.pdf

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Ю. К. Тимошенко

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

КВАНТОВЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ

Учебное пособие для ВУЗов

ЧЕРНОВИК

Издательско – полиграфический центр

Воронежского государственного университета

2014

Утверждено научно-методическим советом факультета
прикладной математики, информатики и механики
XX xxxxxx

2014

г., протокол № x

Рецензент: д – р физ. – мат. наук С. Д. Кургалин

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математическо-
го и прикладного анализа факультета прикладной математики, инфор-
матики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для магистрантов кафедры математического и приклад-
ного анализа.

Для специальности: 010500 – Прикладная математика и информатика

2

Содержание

Введение

4

1 Численное моделирование стационарных состояний части-

цы квантовой яме

5

1.1 Одномерная квантовая яма . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Общие свойства решений одномерного стационар-
ного уравнения Шрёдингера . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3

Компьютерная программа . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.4

Условия задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Сферически симметричная квантовая яма . . . . . . . . . . 21
1.3 Компьютерная программа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.1

Условия задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Приложение 1. Атомные единицы Хартри

31

Приложение 2. Метод Нумерова

33

Список литературы

35

3

Введение

Актуальность темы

В последние годы во всем мире уделяется большое внимание иссле-

дованию физических свойств наноразмерных систем, (в частности, их
пространственной и электронной структуры) в связи с необходимостью
создания устройств с новыми свойствами самого различного назначе-
ния как в интересах фундаментальной науки, так и для технических
приложений.

h

a

| |

b

i

4

1. Численное моделирование стационарных состояний

частицы квантовой яме

1.1. Одномерная квантовая яма

Основные литературные источники по данной теме: [1–3].

1.1.1. Общие свойства решений одномерного стационарного урав-

нения Шрёдингера

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера

ˆ

Hψ

(

x

) =

E ψ

(

x

)

(1)

с математической точки зрения представляет собой задачу определе-
ния собственных значений

E

и собственных функций

ψ

(

x

)

оператора

Гамильтона

ˆ

H

. Для частицы с массой

m

, находящейся в потенциаль-

ном поле (называемом также

потенциалом

)

U

(

x

)

, оператор Гамильтона

имеет вид

ˆ

H

= ˆ

T

+

U

(

x

)

,

(2)

где оператор кинетической энергии

ˆ

T

=

−

~

2

2

m

d

2

dx

2

,

(3)

а

~

- постоянная Планка. Уравнение (2) называют одномерным стаци-

онарным уравнением Шрёдингера. Собственное значение оператора Га-
мильтона имеет смысл энергии соответствующей изолированной кван-
товой системы. Собственные функции называются волновыми функци-
ями. Они полностью определяют квантовые состояния системы. Вол-
новая функция однозначна и непрерывна во всем пространстве. Непре-
рывность волновой функции и её 1-ой производной сохраняется и при
обращении

U

(

x

)

в

∞

в некоторой области пространства. В такую об-

ласть частица вообще не может проникнуть, то есть в этой области, а
также на её границе (что следует из непрерывности волновой функции),

ψ

(

x

)

= 0.

5