ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 796
Скачиваний: 1
1.2. Сферически симметричная квантовая яма
Задача о квантовых состояниях электрона в сферически симметрич-
ном потенциале (сферически симметричной квантовой яме) является
одной из важнейших тем в учебных курсах по квантовой теории. Ре-
зультаты решения этой задачи широко используются не только в фи-
зике атомов, молекул и конденсированных сред, но и в таких смежных
областях как физическая химия и молекулярная биология.
Типичным примером системы со сферически симметричным потен-
циалом является атом водорода, состоящий из электрона и протона. Так
как масса протона более чем в 1800 раз превышает массу электрона,
то приближенно можно полагать, что протон покоится и расположен в
начале координат. Оператор Гамильтона для электрона в поле протона
имеет вид
ˆ
H
=
−
~
2
∇
2
2
m
e
+
U
(
r
)
,
(20)
где
m
e
– масса электрона. Заметим, что, так как потенциал сферически
симметричен, то
U
(
r
) =
U
(
|
r
|
) =
U
(
r
)
.
(21)
Потенциальное поле вида (21) называют
центральным потенциалом
.
Решать уравнение Шрёдингера с потенциалом типа (21) удобнее в сфе-
рической системе координат. Координаты декартовой и сферической си-
стем связаны формулами:
x
=
r
sin
θ
cos
φ,
0
≤
r <
∞
;
y
=
r
sin
θ
sin
φ,
0
≤
φ
≤
2
π
;
z
=
r
cos
θ,
0
≤
θ
≤
π,
где
θ
– полярный, а
φ
– азимутальный угол. См. рис. 7. В сферических
координатах
∇
2
=
1
r
2
∂
∂r
r
2
∂
∂r
+
ˆ
Λ
r
2
.
(22)
Здесь
ˆ
Λ
– оператор Лежандра:
ˆ
Λ =
1
sin
θ
∂
∂θ
sin
θ
∂
∂θ
+
1
sin
θ
∂
2
∂φ
2
.
(23)
21
Рис. 7. Сферическая система координат.
Собственные значения и собственные функции оператора Лежандра хо-
рошо известны
h
ˆ
Λ +
ℓ
(
ℓ
+ 1)
i
Y
ℓm
(
θ, φ
) = 0
,
(24)
что будет использовано нами ниже. Здесь
Y
ℓm
(
θ, φ
)
– шаровая функция
или сферическая гармоника,
ℓ
= 0
,
1
,
2
, . . .
;
m
= 0
,
±
1
,
±
2
, . . . ,
±
ℓ
,
Y
ℓm
(
θ, φ
) = Θ
ℓm
(
θ
)Φ
m
(
φ
)
.
(25)
Аналитический вид
Θ
ℓm
(
θ
)
и
Φ
m
(
φ
)
приведен, например, в [4]. Заме-
тим, что оператор Лежандра с точностью до постоянного множителя
совпадает с оператором квадрата момента количества движения (или
углового момента)
ˆ
L
ˆ
L
2
=
−
~
2
ˆ
Λ;
(26)
ˆ
L
2
Y
ℓm
(
θ, φ
) =
~
2
ℓ
(
ℓ
+ 1)
Y
ℓm
(
θ, φ
)
,
(27)
где
ˆ
L
= [ˆ
r
×
ˆ
p
]
,
ˆ
p
– оператор импульса.
Далее, потенциальная энергия взаимодействия электрона и протона
U
(
r
) =
−
e
2
r
.
(28)
22
0
U
(r
)
r
( ) = -
2
/
Рис. 8. Потенциальная функция взаимодействия электрона и протона.
С учетом (28) и (22), формула (20) приобретает вид
ˆ
H
=
−
~
2
2
m
e
r
2
∂
∂r
r
2
∂
∂r
−
~
2
ˆ
Λ
2
m
e
r
2
−
e
2
r
.
(29)
Волновые функции стационарных состояний ищутся в мультипликатив-
ном виде
ψ
Eℓm
(
r, θ, φ
) =
f
(
r
)
Y
ℓm
(
θ, φ
)
.
(30)
Функцию
f
(
r
)
называют
радиальной
волновой функцией, а функцию
R
(
r
) =
r
·
f
(
r
)
(31)
вспомогательной радиальной волновой функцией. Уравнение Шрёдин-
гера с оператором Гамильтона (29) при учете (30),(31) и (24) приводится
к виду
d
2
R
(
r
)
dr
2
+
2
m
e
E
~
2
+
2
m
e
e
2
~
2
r
−
ℓ
(
ℓ
+ 1)
r
2
R
(
r
) = 0
.
(32)
Уравнение (32) называется
радиальным уравнением Шрёдингера
. Кван-
товые состояния с
E <
0
отвечают области инфинитного движения
(см. рис 8), то есть, дискретному спектру собственных значений. Будем
рассматривать именно такие состояния. Можно показать, что собствен-
ные значения радиального уравнения Шрёдингера выражаются простой
23
аналитической формулой
E
n
=
−
1
2
n
2
·
m
e
e
4
~
2
,
n
= 1
,
2
,
3
, . . . .
(33)
Множитель
m
e
e
4
/
~
2
в этой формуле перепишем в виде
m
e
e
4
~
2
=
e
2
a
=
E
a
≈
27
.
212 (
эВ
)
,
(34)
где
a
=
~
2
m
e
e
2
≈
0
.
5292 (
˚
A
)
.
(35)
называется
боровским радиусом
.
E
a
и
a
являются единицами энергии
и длины соответственно в атомной системе единиц Хартри (см. Прило-
жение 1). В этой системе единиц формула (33) имеет особенно простой
вид
E
n
=
−
1
2
n
2
,
n
= 1
,
2
,
3
, . . . .
(36)
Радиальные волновые функции имеют более сложный вид
f
nℓ
(
r
) =
N
nℓ
2
r
n
ℓ
F
−
n
+
ℓ
+ 1
,
2
ℓ
+ 2
,
2
r
n
exp
−
r
n
,
(37)
где
N
nℓ
=
1
(2
ℓ
+ 1)!
(
n
+
ℓ
)!
2
n
(
n
−
ℓ
−
1)!
1
/
2
2
n
3
/
2
,
(38)
а
F
(
n
1
, n
2
, x
)
– вырожденная гипергеометрическая функция. Функции
(37) нормированы условием
∞
Z
0
f
2
nℓ
(
r
)
r
2
dr
= 1
.
(39)
Целое число
n
r
=
n
−
ℓ
−
1
равно количеству узлов радиальной волновой
функции, т. е. пересечений с осью абсцисс (исключая значение
r
= 0
).
Таким образом, волновая функция электрона в атоме водорода имеет
вид
ψ
nℓm
(
r, θ, φ
) =
f
nℓ
(
r
)
Y
ℓm
(
θ, φ
)
,
(40)
где
n
– главное квантовое число,
ℓ
– орбитальное квантовое число,
m
– азимутальное или магнитное квантовое число. Эти квантовые числа
24
могут принимать следующие значения:
n
= 1
,
2
,
3
, . . .
;
ℓ
= 0
,
1
,
2
, . . . , n
−
1;
(41)
m
=
−
ℓ, . . . ,
0
, . . . ,
+
ℓ.
Для обозначения состояний с данными
n
и
ℓ
часто используют
буквенно-цифровую нотацию. А именно, главное квантовое число обо-
значается соответствующей цифрой, а орбитальное квантовое число –
буквой:
ℓ
(цифра) 0 1 2 3 4 5
ℓ
(буква) s p d f g h
Например,
1
s
обозначает состояния с
n
= 1
и
ℓ
= 0
;
4
d
– состояния с
n
= 4
и
ℓ
= 2
. Квантовым числам
n
и
ℓ
соответствуют
2
ℓ
+1
собствен-
ных функций и одинаковыми энергиями (
2
ℓ
+ 1
- кратное вырождение
по магнитному квантовому числу
m
). Из (36), (40) и (41) следует, что
имеется
n
−
1
X
ℓ
=0
(2
ℓ
+ 1) = 1 + 3 + 5 +
. . .
+ (2
n
−
1) =
n
2
(42)
собственных значений, численно равных друг другу. Таким образом,
кратность вырождения
E
n
по
ℓ
и
m
равна
n
2
. Волновые функции,
соответствующие этим собственным значениям, естественно, различны.
Волновые функции
ψ
nℓm
(
r, θ, φ
)
, вообще говоря, комплекснозначны.
Однако, из них можно получить и вещественные волновые функции.
Для примера рассмотрим волновые функции
2
p
-состояний:
ψ
211
(
r, θ, φ
) =
Cr
exp
−
r
2
a
sin(
θ
) exp(+
iφ
);
ψ
21¯
1
(
r, θ, φ
) =
Cr
exp
−
r
2
a
sin(
θ
) exp(
−
iφ
);
ψ
210
(
r, θ, φ
) =
√
2
Cr
exp
−
r
2
a
cos(
θ
)
.
(43)
Здесь
¯
m
≡ −
m
,
C
– постоянный множитель. Функции (43) вырожде-
ны, то есть описываемые ими квантовые состояния имеют одну и ту же
энергию.
В силу линейности стационарного уравнения Шрёдингера
25